2014-2015 高数期中测试题

2014-2015年第一学期《高等数学》期中测试题

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一、选择题（每小题2分，共20分）

1、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则下列说法正确的是 。

A 、()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值

B 、()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值

C 、()f x 在0x 的函数值可以不存在

D 、如果0()f x 存在，则必等于极限值

2、1lim

sin x x x

→∞ 。 A 、1 B 、0 C 、∞ D 、不存在 3、函数()f x 在x a =处左右极限都存在是lim ()x a f x →存在的 条件。

A 、充分

B 、必要

C 、充要

D 、非充分非必要

4、下列说法正确的是 。

A 、0是无穷小

B 、无穷小是0

C 、两个无穷大之和是无穷大

D 、无穷小的倒数是无穷大

5、0x =是曲线2

1cos ()sin x f x x -=的 。 A 、可去间断点 B 、跳跃间断点 C 、无穷间断点 D 、振荡间断点 6、设()f x 在x 处可导，则0

()()lim 2x f x x f x x x ∆→+∆--∆=∆ 。 A 、()f x ' B 、 ()f x '- C 、 2()f x ' D 、2()f x '-

7、函数x

y e =在0x =处的导数为 。

A 、1

B 、1-

C 、0

D 、不存在 8、21sin ,0(),0, 0

x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x = 。 A 、连续且可导 B 、不连续也不可导 C 、不连续但可导 D 、连续但不可导

9、下列说法正确的是 。

A 、单调数列必收敛

B 、有界数列必收敛

C 、单调有界数列必收敛

D 、发散的数列必无界

10、函数2

()3f x x x =+当0x →时 。

A 、是与x 同阶非等价的无穷小

B 、是与x 等价的无穷小

C 、是x 的高阶无穷小

D 、是x 的低阶无穷小

二、填空题（每小题3分，共15分） 1、20ln(1tan 2)lim sin 3x x x

+→- 。

2、

函数y =dy = 。

3、如果lim ()x a f x →存在，但lim ()x a g x →不存在，则lim ()()x a

f x

g x →+ 存在。 （请填写：“一定”、“一定不”或“不一定”）

4、函数3 02 0x e x y x a x ⎧<=⎨+≥⎩

在0x =处连续,则a = 。 5、函数3sin 2y x x =则(10)y = 。

三、计算题（41分）

1、求极限

（1）22

30tan sin lim 32x x x x x

→-+ （4分） （2）51lim (1)x x x →+∞-（4分） （3）csc 0lim(1)x x x +→+ （4分） （4）3

113lim 11x x x →---（4分） 2、求下列函数的导数y '

（1

）y =（4分）

（2

）(y x =-4分） （3）tan (1)x y x =-（4分）

（4）设sin 0() 1 0x x x f x e x ≤⎧=⎨->⎩

，求()f x '.（4分） 3、设t t x te y e

-⎧=⎪⎨=⎪⎩，求22,dy d y dx dx 以及该曲线在0t =处的切线方程。（7分）

4、求由方程x y xy e +=所确定的函数的导数。（6分）

5、如果cos 1() 1

x x f x ax b x ≤⎧=⎨+>⎩在点1x =可导，求,a b 的值。（6分）

四、证明题（14分）

1、证明

lim n →+∞+ (12)

= （7分） 2、已知()f x 在[],a b 上可导，且(),()f a a f b b ≤≥，证明：存在[,]a b ξ∈，使得()f ξξ=。 （7分）