04183 概率论与数理统计(经管类)讲义

④A与B相互对立 A与B互不相容. 小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立； 运算：和，积，差，对立. （7）事件的运算性质
①（和、积）交换律 A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；
②（和、积）结合律 （A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；
③（和、积）分配律 A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）
A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}， C={HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT}， 所以A，B，C中样本点数分别为 rA=3，rB=1，rc=7，
则
解法2 抛一枚硬币3次，基本事件总数n=23，事件A包含了3个基本事件：“第i次是正面，其他两次都是反面”，i＝1，2，
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例6. 习题1.2 13 设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝ ，P（AB）＝P（BC）＝ ，P（AC）＝0。求： （1）A，B，C中至少有一个发生的概率； 【答疑编号：12010305】 （2）A，B，C全不发生的概率。 【答疑编号：12010306】 解： （1）“A，B，C至少有一个发生”表示为A∪B∪C，则所求概率为 P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）－P（AC）－P（BC）+P（ABC）
结论：随机现象是不确定现象之一。
2.随机试验和样本空间
随机试验举例：
E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。 E3：记录110报警台一天接到的报警次数。 E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。 E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。 E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
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举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则AB＝{3, 4}
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（4）差事件 概念：称“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A－B.
性质：① A－
；② 若
，则A－B＝ 。
举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则A－B＝{1，2} （5）互不相容事件 概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB＝ ，则称事件A与事件B互不相容。 推广：n个事件A1，A2，…，An两两互不相容，即AiAj＝ ，i≠j，i，j＝1，2，…n。 举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于5”则A与B互不相容。 （6）对立事件： 概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事件，记做 . 解释：事件A与B互为对立事件，满足：①AB＝ф；②A∪B＝Ω
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3，而且rA=3。 显然B就是一个基本事件，它包含的基本事件数rB=1 它包含的基本事件数rC=n-rB=23-1=7，
故
例4.P10 例 1－12。 一批产品共有100件，其中3件次品。现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况： （1）不放回抽样，第一次取一件不放回，第二次再抽取一件； 【答疑编号：12010302】 （2）放回抽样，第一次取一件检查后放回，第二次再抽取一件。 【答疑编号：12010303】 试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次抽到正品，第二次抽到次品”的概率。
④对偶律
；
.
例1 习题1.1，5（1）（2）
设A，B为两个随机事件，试利用事件的关系与运算证明：
【答疑编号：12010201】 证明：
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【答疑编号：12010202】 证明：
（1）
（2）
计算公式：设AB为两个事件，且P（B）>0，则
。
乘法公式：当P（A）>0时，有P（AB）＝P（A）P（B|A）； 当P（B）>0时，有P（AB）＝P（B）P（A|B）.
推广：
①设P（AB）>0，则P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB）
②设
，则
例8 P15例 1－22. 盒中有5个白球2个黑球，连续不放回地在其中取3次球，求第三次才取到黑球的概率。 【答疑编号：12010403】 解：设Ai（i=1，2，3）表示“第i次取到黑球”，于是所求概率为
；
④
.
例5.习题1.2 11
设P（A）=0.7，P（B）=0.6，P（A－B）＝0.3，求
【答疑编号：12010304】 解：（1）P（A－B）＝P（A）－P（AB） ∴P（AB）＝P（A）－P（A－B）
＝0.7－0.3＝0.4
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（3）积事件
概念：称“事件A与事件B同时发生”ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ事件A与事件B的积事件，或称为事件A与B的交，记作A∩B或AB。
解释：A∩B只表示一种情况，即A与B同时发生。
性质：①
，
；② 若
，则AB＝A。
推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作
和
。
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§1.2 概率 1.频率与概率 （1）频数与频率：在相同条件下进行n次试验，事件A发生nA次，则称nA为事件A发生的频数；而比值nA/n称为事件A发生的 频率，记作fn（A）.
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第一章 随机事件与概率
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本章概述
内容简介 本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性 质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。
考情分析
单项选择题 填空题 计算题 合计
2007年4月 2题4分 4题8分 1题8分 7题20分
（2）fn（A）的试验特性：随n的增大，fn（A）稳定地趋于一个数值，称这个数值为概率，记作P（A）.
（3）由频率的性质推出概率的性质
①
推出①
②
，
推出②P（ф）＝0，P（Ω）＝1
③A，B互不相容，
推出③P（A∪B）=P（A）＝P（B），可推广到有限多个和无限可列多个.
2.古典概型
概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：
（2）和事件
概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作
解释：
包括三种情况①A发生，但B不发生，②A不发生，但B发生，③A与B都发生。
性质：①
，
；②若
；则
。
或A＋B。
推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作
和
举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于4”则A∪B{1，2，5，6}
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2.全概率公式与贝叶斯公式
（1）划分：设事件 ① ， ，…， ② 当 ， ，…，
， ，…， 满足如下两个条件：
互不相容，且
，i＝1，2，…，n；
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例2.习题1.1，6 请用语言描述下列事件的对立事件： （1）A表示“抛两枚硬币，都出现正面”； 【答疑编号：12010203】 答案： ：“抛两枚硬币，至少有一枚出现反面”。
（2）B表示“生产4个零件，至少有1个合格”。 【答疑编号：12010204】 答案： ：“生产4个零件，没有1个是合格的”。
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例7 P13例 1－17. 某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为20人与40人，从中任选一名职工，试问： （1）该职工技术优秀的概率是多少？ 【答疑编号：12010401】 （2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率是多少？ 【答疑编号：12010402】 解：设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的职工为男职工”。按古典概型的计算方法得：
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试
验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作 。所有样本点的集合称为样本空间，记作 。 举例：掷骰子： ＝{1，2，3，4，5，6}, ＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。 3.随机事件：样本空间 的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。只包含一个样本点 的单点子集{ }称为
2007年7月 3题6分 4题8分 1题8分 8题22分
2007年10月 2题4分 4题8分
6题12分
内容讲解
§1.1 随机事件
1.随机现象：
确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；
不确定现象：
随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；
其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
基本事件。
必然事件：一定发生的事件，记作
不可能事件：永远不能发生的事件，记作
4.随机事件的关系和运算
由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏
图来直观描述。
（1）事件的包含和相等
包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作
，或
。
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性质：
例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则
。
注：与集合包含的区别。
相等：若
且
，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。
，即 ， ，…， 至少有一个发生，则称 ， ，…，
为样本空间Ω的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。
为样本空间Ω的一个划分。
（2）全概公式：设随机试验的样本空间为Ω， ， .
，…，
为样本空间Ω的一个划分，B为任意一个事件，则
证明：
注意：当0<P（A）<1时，A与 就是Ω的一个划分，对任意事件B则有全概公式的最简单形式：
§1.3 条件概率 1.条件概率与乘法公式 条件概率定义：设A，B为两个事件，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事件A发生的条件 概率，记做P（A|B）.
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解：（1）
（2）
3.概率的定义与性质 （1）定义：设Ω是随机试验E的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为 P（A），称P（A）为事件A的概率，如果它满足下列条件： ①P（A）≥0；
②P（Ω）＝1； ③设 ， ，…，
，…是一列互不相容的事件，则有
.
（2）性质
①
，
；
②对于任意事件A，B有
；
③
①基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点；
②每个基本事件发生的可能性相同。
计算公式：
例3.P9 例1－8。 抛一枚均匀硬币3次，设事件A为“恰有1次出现正面”，B表示“3次均出现正面”，C表示“至少一次出现正面”，试求P （A），P（B），P（C）。 【答疑编号：12010301】
解法1 设出现正面用H表示，出现反面用T表示，则样本空间Ω={HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT，TTT}，样本点总 数n=8，又因为
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举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于2”则A与B相互对立
性质：①
；
②
，
；
③A－B＝ ＝A－AB； 注意：教材第5页的第三条性质有误。