高斯(Gauss)求积公式剖析

第四节 高斯(Gauss)求积公式
前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式， 其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于
构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式
的精度。 n是偶数时，代数精度为n+1， n是奇数时， 代数精度为n 。
我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精 确度不低于n 。设想：能不能在区间[a,b]上适当选择 n+1个节点 x 0x1,x2,……,xn ,使插值求积公式的代数精 度高于n？
于n，故有
b
n
n
( x)r( x)dx
a
Akr( xk ) Ak f ( xk ) (4)
k0
k0
由性质3）及(4)式，有
b
b
b
(x) f ( x)dx a
a ( x)q( x)Pn1( x)dx
( x)r( x)dx
a
b
n
0 ( x)r( x)dx a
Ak f ( xk )
求解得：c1 c2 1,
x1
3 3
,
x2
3 3
所求Gห้องสมุดไป่ตู้uss公式为：
1
f ( x)dx f (
3) f(
3)
1
3
3
计算物理
计算物理
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式
设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x)
具有如下性质：
1）对每一个n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,…
a
Ak f ( xk )
对一切
不高于m次的多项式p(x)都等号成立k0，即R(p)=0;而对
于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的
代数精度为m.
计算物理
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定理1：设节点x0, x1…,xn∈[a,b]，则求积公式
b
n
( x) f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
的代数精度最高为2n+1次。
例：选择系数与节点，使求积公式（1）
1
1 f ( x)dx c1 f ( x1 ) c2 f ( x2 ) (1)
成为Gauss公式。
解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则
其是Gauss公式。
为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让
其成为等式，得 c1 + c2=2 c1 x1+ c2 x2=0 c1 x12+ c2 x22 =2/3 c1 x13+ c2 x23 =0
xn)2 代入求积公式,这里 x0, x1…,xn是节点，有
左 b ( x)g( x)dx 0， a
n
右 Ak g( xk ) 0
k0
左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为
2n+1次。
证毕.
计算物理
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b
n
定义: 使求积公式
( x) f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
(r+1)
计算物理
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上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.
事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-
答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度 最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。
计算物理
一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法
考虑更一般形式的数值积分问题
b
n
I( f ) ( x) f ( x)dx a
Ak f ( xk )
k0
定义：若求积公式
b
n
( x) f ( x)dx
f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk)
这里， Pn+1(x)是 n+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是
次数≤n的多项式。
b
b
b
(x) f (x)dx a
a ( x)q( x)Pn1(x)dx
( x)r ( x )dx
a
计算物理
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由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低
k0
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。
Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数.
因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d
满足： n d 2n+1。
计算物理
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(1) 用待定系数法构造高斯求积公式
b
n
( x) f ( x)dx
a
Ak f ( xk ),
k0
Ak
b
n
(x)
x xi dx
a
i0 xk xi
是Guass型求积公式。
ik
证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对 任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。
设 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式，则有
k 1
即对 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都
精确成立。
证毕
计算物理
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利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：
1. 以n 1次正交多项式的零点x0 , x1, xn作为积分点
(高斯点），
2.用 高 斯 点x0 , x1 , xn对f ( x)作Lagrange插 值 多 项 式
证明：取特殊情形 ( x) 1,
分别取 f(x)=1, x，x2，...xr 代入公式，并让其成为
等式，得：
A0 + A1 + …… + An =∫ab1dx.= b-a
x0 A0 + x1 A1+ …… +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2
...... x0 rA0 + x1 rA1+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)
2）(正交性)
b
a ( x)Pi ( x)Pj ( x)dx 0,(i j)
3）对任意一个次数≤n-1的多项式P(x)，有
b
a ( x)P( x)Pn( x)dx 0, n 1
4）Pn(x)在(a,b)内有n个互异零点。
计算物理
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定理2 设x0,x1, …,xn 是n+1次正交多项式Pn+1(x)的n+1 个零点,则插值型求积公式
n
f ( x) li ( x) f ( xi )
i0
代入积分式
b
b
n
( x) f ( x)dx ( x)(
a
a
li ( x) f ( xi ))dx
i0
因此，求积系数为
n i0
b a
(
x
)l
i
(
x
)dx
f
(
xi
)
b
Ai a ( x)li ( x)dx