高中数学必修5等比数列

么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表
示(q≠0)．
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(2)符号语言： aan＋n 1＝ q (q 为常数，q≠0，n∈N*)． 2．等比中项 (1)前提：三个数 x，G，y 成等比数列． (2)结论： G 叫做 x，y 的等比中项． (3)满足的关系式：G2＝ xy .
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2．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为 an＝ aq1·qn ，而 y＝aq1·qx(q≠1)是一个不为 0 的常数aq1与指数函数 qx 的乘积，从图象上看，表示数列｛aq1·qn｝中的各项的点
是函数 y＝ aq1·qx 的图象上的孤立 点．
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1．在等比数列{an}中，a1＝4，公比 q＝3，则通项公式 an＝
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判断一个数列{an}是等比数列的方法： 1定义法：若数列{an}满足aan＋n1＝qq 为常数且不为零或aan－n1＝qn≥2，q 为 常数且不为零，则数列{an}是等比数列. 2等比中项法：对于数列{an}，若 a2n＋1＝an·an＋2 且 an≠0，则数列{an}是等 比数列. 3通项公式法：若数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1a1≠0，q≠0，则数列 {an}是等比数列.
.
【解析】 an＝a1qn－1＝4·3n－1.
【答案】 4·3n－1
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2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比 q＝
.
【解析】 ∵a2＝a1q＝2， ①
a5＝a1q4＝14，
②
∴②÷①得：q3＝18，∴q＝12.
【答案】
1 2
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3．在等比数列{an}中，已知 a2＝3，a5＝24，则 a8＝
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[再练一题]
2．设等差数列{an}的公差 d 不为 0，a1＝9d，若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项，
则 k 等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
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【解析】 ∵an＝(n＋8)d，又∵a2k＝a1·a2k， ∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得 k＝－2(舍去)， k＝4. 【答案】 B
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等比中项应用的三点注意： 1由等比中项的定义可知Ga ＝Gb ⇒G2＝ab⇒G＝± ab,所以只有 a,b 同号 时,a,b 的等比中项有两个,异号时,没有等比中项. 2在一个等比数列中，从第二项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的 前一项和后一项的等比中项. 3a,G,b 成等比数列等价于 G2＝abab>0.
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教材整理 2 等比数列的通项公式
阅读教材 P49 倒数第 1 行～P51 例 3，完成下列问题． 1．等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{an}的第 n 项 an，有公式 an＝a1qn－1 .这就是等比数 列{an}的通项公式，其中 a1 为首项，q 为公比．
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【自主解答】 (1)由 an＝18·2n－1＝2n－4 知，a4＝1，a8＝24，所以 a4 与 a8 的等 比中项为±4.
【答案】 A
(2)证明：b 是 a，c 的等比中项，则 b2＝ac，且 a，b，c 均不为零， 又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab ＋ bc)2 ＝ a2b2 ＋ 2ab2c ＋ b2c2 ＝ a2b2 ＋ 2a2c2 ＋ b2c2 ， 所 以 (ab ＋ bc)2 ＝ (a2 ＋ b2)·(b2＋c2)，即 ab＋bc 是 a2＋b2 与 b2＋c2 的等比中项．
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[再练一题] 3．在等比数列{an}中， (1)若它的前三项分别为 5，－15,45，求 a5； (2)若 a4＝2，a7＝8，求 an. 【导学号：05920035】
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【解】 (1)∵a5＝a1q4，而 a1＝5，
q＝aa21＝－3，∴a5＝405.
(2)因为aa74＝＝aa11qq63，， 所以aa11qq36＝ ＝28， ，
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探究 3 在等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 中，若已知 a1＝2，q＝12，你能 求出 a3 吗？若已知 a1＝2，a3＝8，你能求出公比 q 吗？这说明了什么？
【提示】 若 a1＝2，q＝12，则 a3＝2·122＝12； 若 a1＝2，a3＝8，则 2·q2＝8，所以 q＝±2， 由此说明在 an＝a1qn－1 中所含四个量中能“知三求一”．
阶
阶
段
段
一
三
2.4 等比数列
第 1 课时 等比数列
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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[基础·初探]
教材整理 1 等比数列的定义
阅读教材 P48～P49 倒数第一行，完成下列问题． 1．等比数列的概念
(1)文字语言：
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同一常数 ，那
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(1)在等比数列{an}中，已知 a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n； (2)(2012·辽宁高考改编)已知等比数列{an}为递增数列，且 a25＝a10,2(an＋an＋ 2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式 an.
【精彩点拨】 (1)先由 a2＋a5＝18，a3＋a6＝9， 列出方程组，求出 a1，q，然后再由 an＝1 解出 n. (2)根据条件求出基本量 a1，q，再求通项公式．
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1．等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知道其中任意三个 就能求出另外一个，在这四个量中，a1 和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两 个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于 a1 和 q 的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于 a1，q 的方程组，求出 a1，q 后再求 an，这是常 规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求 an，这种方 法带有一定的技巧性，能简化运算．
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【自主解答】 (1)法一
因为aa23＋ ＋aa56＝ ＝aa11qq＋ 2＋aa1q1q4＝ 5＝198，，
① ②
由② ①得 q＝12，从而 a1＝32.
又 an＝1，所以 32×12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
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法二 因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，得 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，得 n＝6. (2)由 2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2 或12，由 a25＝a10＝a1q9>0⇒ a1>0，又数列{an}递增，所以 q＝2. a25＝a10>0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为 an＝2n.
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探究 2 由等比数列的定义式aan＋n1＝q(q≠0)你能用累乘法求出用首项 a1，公 比 q 表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项 am 及公比 q 表示 an 吗？
【提示】 由aan＋n 1＝q，知aa21＝q，aa32＝q， aa43＝q，…，aan－n 1＝q，将以上各式两边分别相乘可得aan1＝qn－1，则 an＝a1qn－1； 由aanm＝＝aa11qqnm－－11， 两式相比得aamn＝qn－m， 则 an＝am·qn－m，事实上该式为等比数列通项公式的推广．
.
【解析】
由aa25＝ ＝aa11qq＝ 4＝32，4，
得a1＝32， q＝2，
【导学号：05920033】
所以 a8＝32·27＝192.
【答案】 192
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
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[小组合作型] 等比数列的判断与证明
(1)下列数列是等比数列的是( ) A．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，… B．－1,1，－1,1，－1，… C．0,2,4,6,8,10，… D．a1，a2，a3，a4，…
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(2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列. 【导学 号：05920034】
【精彩点拨】 (1)利用等比数列的定义判定． (2)先利用 Sn 与 an 的关系，探求 an，然后利用等比数列的定义判定．
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【自主解答】 (1)A.从第 2 项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故 不选 A.
B．由等比数列定义知该数列为等比数列． C．等比数列各项均不为 0，故该数列不是等比数列． D．当 a＝0 时，该数列不是等比数列；当 a≠0 时，该数列为等比数列．
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)常数列一定是等比数列．
()
(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．
()
(3)等比数列中的项可以为零．
()
(4)若 a，b，c 三个数满足 b2＝ac，则 a，b，c 一定能构成等比数列．
()
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【解析】 (1)×.因为各项均为 0 的常数列不是等比数列． (2)√.因为任何一个各项不为 0 的常数列既是等差数列，又是等比数列． (3)×.因为等比数列的各项与公比均不能为 0. (4)×.因为等比数列各项不能为 0；若 a，b，c 成等比数列，则 b2＝ac，但 是反之不成立，比如：a＝0，b＝0，c＝1，则 a，b，c 就不是等比数列． 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
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等比中项
(1)(2015·石家庄高二检测)等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则 a4 与
a8 的等比中项是( )
A．±4
B．4
C．±14
D.14
(2)已知 b 是 a，c 的等比中项，求证：ab＋bc 是 a2＋b2 与 b2＋c2 的等比中项．
【精彩点拨】 (1)用定义求等比中项． (2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可．
【答案】 B
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(2)证明：∵Sn＝2－an， ∴Sn＋1＝2－an＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝12an.
又∵S1＝2－a1， ∴a1＝1≠0. 又由 an＋1＝12an 知 an≠0，
∴aan＋n 1＝12， ∴{an}是等比数列．
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等比数列的通项公式
[探究共研型]
探究 1 类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为 a1，公比为 q 的等比数列{an}的通项公式吗？
【提示】 由等比数列的定义可知： a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3， a5＝a4q＝a1q4… 由此归纳等比数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1.
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[再练一题] 1．已知数列{an}是首项为 2，公差为－1 的等差数列，令 bn
＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
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【证明】 由已知得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 故bbn＋n 1＝12123－3－n＋n 1＝123－(n＋1)－3＋n ＝12－1＝2， ∴数列{bn}是等比数列． ∵b1＝123－1＝14， ∴bn＝14×2n－1＝2n－3.