三角形全等的条件 要点全析

三角形全等的条件·要点全析
1．探索三角形全等的条件
三角形有三条边，三个内角共六个基本元素，全等三角形的六个元素都分别对应相等．反过来，如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等．那么它们必定可以重合，根据定义，它们一定全等．
但是，判定两个三角形全等真的需要六个条件吗？探索发现：两个三角形满足一个条件（一条边或一个内角相等）或两个条件都不能确定它们是否全等，而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等．
2．三角形全等的条件一：“SSS ”或“边边边”
（1）SSS ：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”．
（2）书写格式：如图13-2-1．
在△ABC 和△A ′B ′C ′中，①
⎪⎩⎪⎨⎧''''''，＝，
＝，＝C B BC C A AC B A AB ② ∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．③
（3）书写格式的步骤分三步：
第一步：指出在哪两个三角形中．如上边的①，在△ABC 和△A ′B ′C ′中． 第二步：按条件中的边角顺序列出三个条件．如上边的②． 第三步；写出结论，如上边的③，△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．
【说明】①第一步中，两个三角形之间的“和”不能写成“≌”，也不能取消．②第二步中，大括号内的三个条件的书写是有顺序的，必须与判定条件一致，并且注意边、角字母的对应．一般前一个三角形的边、角写在等号的左边，另一个三角形的对应边、角写在右边．
③写结论时，注意对应顶点写在对应位置上，并在后面的括号内注明判定条件的简写，如“SSS ”或“边边边”．
例如：如图13-2-2．已知AB ＝AC ，D 为BC 中点．试说明∠B ＝∠C 是否成立，为什么？
解：∠B ＝∠C 成立．∵ D 为BC 中点，
∴ BD ＝CD ．
在△ABD 和△ACD 中，
⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），
＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB
∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．
∴ ∠B ＝∠C （全等三角形的对应角相等）．
【说明】①在本例中使用了证明的格式．
②在本例中的最后两步中有两个“∴”符号，前一个“∴”，是由前面大括号内的三个条件得出的．后一个“∴”，是将前一个“∴”当成了“∵”，然后推出后一个“∴”，这里省略了一步：∵△ABD ≌△ACD ．因此，今后在书写中要注意．
3．三角形全等的条件二：“边角边”或“SAS ”
（1）SAS ：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS ”．
（2）表达格式为在△ABC 和△DEF 中（图13-2-3）
⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，
＝，＝EF BC DEF ABC DE AB
∴ △ABC ≌△DEF （SAS ）．
例如：如图13-2-4中，AD 、BC 相交于点O ．OA ＝OD ，OB ＝OC ，那么AB ＝DC 是否成立．
解：∵ AD 、BC 相交于点O ，
∴ ∠AOB ＝∠DOC （对顶角相等）．
在△AOB 和△DOC 中，
⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（已知）＝（已证），
＝（已知），＝OC OB DOC AOB OD OA
∴ △AOB ≌△DOC （SAS ）．∴ AB ＝DC
【说明】本题中，书写三条件时，应该按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，用括号括起来；或者写成一行，也按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，再推出两个三角形全等．
4．三角形全等的条件三：“角边角”或“ASA ”
（1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或
“ASA ”．
（2）表达格式：如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，
⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，
＝，＝DEF B DE AB D A ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．
5．三角形全等的条件四：“角角边”或“AAS ”
（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”．
（2）表达格式，如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，
⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，
＝，＝EF BC D A DEF B ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．
例如：如图13-2-6中，AB ∥CD ，AE ∥DF ，AB ＝CD ．求证：AE ＝DF ．
证明：∵ AB ∥CD ，
∴ ∠ABC ＝∠DCB ．
∵ AE ∥DF ，∴ ∠AEB ＝∠DFC ．
在△ABE 和△DCF 中，
⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，
＝（已证），＝DF AE DFC AEB DCF ABC
∴ △ABE ≌△DCF （AAS ）．∴ AE ＝DF ．
6．直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”或“HL ”
（1）HL ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL ”．
（2）表达格式：如图13-2-7，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＝AC 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，
⎩⎨⎧，＝，＝AD AD AC AB
∴ Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）
（3）直角三角形是三角形中的一种特殊情况，因此，它也可以用一般三角形全等的条件．如两条直角边对应相等，可用“SAS ”，一边一锐角对应相等可用“ASA ”或“AAS ”．它的特殊条件就是“斜边、直角边”．
7．“角角角”与“边边角”
在三角形全等的条件中，上面已说过的有：三边的SSS ，两边一角的SAS 和一边两角的ASA ，AAS ，那么“AAA ”和“SSA ”能否成为三角形全等的条件呢？
（1）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如图13-2-8，DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∠A ＝∠A ，△ADE 与△ABC 有三角对应相等，但它们没有重合，所以不全等．
（2）如图13-2-9，在△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等．也就是有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
8．证明的意义和步骤
（1）证明的意义
证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程，简单地说，证明就是推理过程．
（2）证明的步骤
证明一个命题为正确的时候，其步骤如下：
①弄清命题的条件和结论，画出图形．
②根据条件，结合图形，写出已知．
③根据结论，结合图形、写出求证．
④写出证明过程．
证明一个命题不正确的时候，只需举出一个反例即可．
例如：若a 2＝b 2，则a ＝b ．这是一个错误命题，证明如下．
证明：∵ （－5）2＝52＝25，而－5≠5．
∴ 若a 2＝b 2，则a ＝b ，是一个错误命题．
9．证明题目时常用的三种方法
在探索三角形全等的过程中，经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题，如何分析条件与结论之间的关系，常用的分析方法有以下三种：
（1）综合法
就是从题目的已知条件入手，根据已学过的定义、定理、性质、公理等，逐步推出要判断的结论，有时也叫“由因导果法”．
例如：如图13-2-10，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．
求证：BF ＝DE ．
分析：从已知条件到推出结论，其探索过程如下
⇒
⎪⎭⎪⎬⎫∠∠⇒⇒∠∠⇒C BDF AC DF CD BD BC D CDE B AB DE ＝∥＝的中心是＝∥△BFD ≌△DEC （ASA ） ⇒BF ＝DE （目标）．
以上这种由因导果的方法就是综合法．
（2）分析法
就是从要判断的结论出发，根据已学的定义、定理、公理、性质等，倒过来寻找能使结论成立的条件，这样一步步地递求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止，有时也叫“执果索因法”．
如上题，用分析法的探索过程如下：
BF ＝DE ⇒△BFD ≌△DEC ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒⇒∠∠⇒⇒⇒⇒∠∠已知∥＝已知
中点是＝已知∥＝AC DF C BDF BC D CD BD AB DE CDE B
（3）分析—综合法
在实际的思考过程中，往往需要使用这两种方法，先从结论出发，想一想需要什么条件，层层逆推，当思维遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得出什么结论，从而两边凑，直至沟通“已知”和“结论”的两个方面． 即：
已知 中间条件 结论 综合法 分析法
例如：如图13-2-11，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 是AD 上任一点，连接EB 、EC ，
求证：EB ＝EC ．
分析：本题比较复杂，可用上述的三个方法均可，现在以分析一综合法为例，说明分析过程．
先用综合：由因导果．
⇒⎪⎭⎪⎬⎫⇒CD BD D AD AD AC AB ＝为中心＝＝△ABD ≌△ACD ⇒⎩⎨⎧∠∠∠∠．＝，＝CDA BDA CAD BAD
再用分析：执果索因．
EB ＝EC ⇒△ABE ≌△ACE ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧⇒∠∠⇒已知＝＝已知＝AE AE CAE
BAE AC AB ⇒△ABD ≌△ACD ． 证明：∵ D 是BC 的中心，∴ BD ＝CD ． 在△ABD 和△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），
＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB
∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠BAD ＝∠CAD ．
在△ABE 和△ACE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（公共边）＝（已证），
＝（已知），＝AE AE CAE BAE AC AB
∴ △ABE ≌△ACE （SAS ）．
∴ BE ＝CE （全等三角形的对应边相等）．
【说明】①本题证明过程中，后一次三角形全等，也可选△BDE ≌△CDE ，方法同上．
②本题两次用到全等三角形，在分析中应找准三角形，理清思路．
10．判定两个三角形全等方法的选择
选择哪种方法判定两个三角形全等，要根据具体已知条件而定，见下表：已知条件寻找条件判定方法
—边一角对应相等一边SAS
一角SAS或AAS
两角对应相等一边ASA或AAS
两边对应相等一角SAS 一边SSS
11．如何选择三角形判定全等
在学过本节内容之后，经常会遇到判定两条线段相等，两个角相等的问题，而要判断它们相等，就要考虑选择三角形全等．如何选择三角形呢？可考虑以下四个方面：
（1）可以从判断的结论（线段或角）出发，寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中，就试着判定两个三角形全等．
（2）可以从题目的已知条件出发，看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等．
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后判定它们全等．
（4）如果以上方法都行不通，可考虑添加辅助线的办法，构造三角形全等．例如：如图13-2-12，已知AB＝AC，BD＝CD，试判断∠B与∠C的关系，并说明理由．
分析：要判断∠B与∠C的关系，先看∠B与∠C是否在两个全等三角形中，而此题没有两个全等三角形，只有一个四边形，目前由已知条件四边形ABDC，要创造三角形，可以连接AD或BC，那么连接谁更合适呢？
若连接AD，则∠B、∠C分在左、右两个三角形中，若全等，则∠B＝∠C，事实上，∠B＝∠C，若连接BC，则∠B、∠C分在上、下两个三角形中，根据目前所学知识还不能确定∠B＝∠C因此，连接AD较为合适．
解：∠B＝∠C
连接AD，
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠B＝∠C
12．探索三角形全等时常作的辅助线
在利用三角形全等进行解题时，有时题目所给条件不足或不明显，还需从题目本身或图形中挖掘它的隐含条件，还有的需加上一些辅助线，为解题铺路搭桥，起到很好的辅助作用，这些辅助线常见的有以下几种：
（1）连接图形中的已知点，构造全等形．
例如：如图13-2-13，已知AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝CD ，AC ＝BD ，判断∠A 与∠D 的关系，并说明理由．
解：∠A ＝∠D ．连接BC ，
在△ABC 与△DCB 中，
AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，
则△ABC ≌△DCB （SSS ）．
因此∠A ＝∠D ．
（2）取线段中点构造全等三角形．
例如：如图13-2-14，已知在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，试判断∠ABC 与∠DCB 的关系，并说明理由．
解：∠ABC ＝∠DCB ．
取AD 的中点N ，取月C 的中点M ．
连接MN 、BN 、CN ，则AN ＝DN ，BM ＝CM ，在△ABN 和△DCN 中，
⇒
⎪⎭⎪⎬⎫∠∠DC AB D A DN AN ＝＝＝△ABN ≌△DCN ，
则∠ABN ＝∠DCN ，NB ＝NC （全等三角形的对应角、对应边相等）． 在△BMN 和△CMN 中，
⇒
⎪⎭⎪⎬⎫MN MN CM BM CN BN ＝＝＝△BMN ≌△CMN ， 则∠MBN ＝∠MCN （全等三角形的对应角相等）．
那么∠ABN ＋∠MBN ＝∠DCN ＋∠MCN ．
即∠ABC ＝∠DCB ．
【说明】在本题中，辅助线起到了很好的桥梁作用，为解题创造了条件．
（3）有角平分线时，常在角两边截相等的线段，创造全等三角形．
如图13-2-15，OC平分∠AOB，在OC上任取一点P，在OA、OB上截取OM＝ON，连接PM、PN，那么，PM＝PN．
事实上，在△MOP和△NOP中，
OM＝ON，∠MOP＝∠NOP，OP＝OP，
则△MOP≌△NOP（SSS）．
因此有PM＝PN．
（4）三角形中有中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形．
如图13-2-16，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若延长AD至E，使AD＝DE，连接B E，在△ACD和△EBD中，BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝ED，则△ACD≌△EBD，因此BE＝AC
13．利用全等三角形解决实际问题的步骤
全等三角形在日常生活、科技生产中有很多的用途，在用它解决实际问题时可分以下几个步骤：
（1）先明确实际问题与哪些知识有关，确定用哪些知识来解决．
（2）根据实际问题画出图形．
（3）结合图形写出已知和结论．
（4）分析已知，找出解决问题的途径．
（5）写出解决问题的过程（或探索过程）．
例如：如图13-2-17，要测河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使E、C、A三点在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．你能用数学原理说明吗？
分析：这是一个实际应用题，应先把其转化为数学问题，然后再解答．
解：已知：AB⊥BF，DE⊥BF，A、C、E三点在一条直线上，BC＝DC．
判断AB与DE是否相等？
在△ABC和△DEC中，由于AB⊥BF，DE⊥BF，则∠ABC＝∠EDC＝90°，又A、C、E三点在一条直线上，则∠ACB＝∠ECD（对顶角）．
又BC＝CD，则ABC≌△EDC（ASA），因此AB＝DE．。