善用八种函数的单调性证明不等式

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善用八种函数的单调性证明不等式

作者：蔡勇全

来源：《中学生理科应试》2017年第05期

单调性与几个重要不等式

单调性与几个重要不等式 [摘要] 本文利用单调性或函数的凹凸性证明不等式,并由此给出了詹生(Jensen)不等式,杨氏不等式,Holder不等式以及不等式等几个重要的不等式。 [关键词] 单调性詹生(Jensen)不等式杨氏不等式Holder不等式不等式 [Abstract] An effective method which is used constantly on proving inequalities in advanced mathematics has been introduced in the paper.And we also gave some important inequalities such as Jensen Inequality, Yang-Inequality, Holder Inequality, andInequality. [Key words] Monotone Jensen Inequality Yang-Inequality Holder InequalityInequality 在高等数学中,利用函数的单调性证明不等式的具有普遍的意义。本文通过利用函数的单调性证明数学中几个重要的不等式: 詹生(Jensen)不等式,杨氏不等式,Holder不等式以及不等式。以期对高等数学的教学有一定的启发和帮助。引理1:设在区间有可导,且,,则。引理2 设在区间有二阶导数,且,则对任意的,下面不等式成立 (1) 证无妨设, 对任意取定的,令则当时,有。又因为,所以由引理1知严格递增,于是有,因此严格递减,从而有,即。在引理2的条件下,假设 ,利用数学归纳法可以证明如下詹生(Jensen)不等式,即且等号仅在时成立。证明:由引理2有

不等式典型例题之基本不等式的证明

5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题）雪慕冰一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????

构造函数法证明不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 1、从条件特征入手构造函数证明【例1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，求证：．a )(a f >b )(b f 【变式1】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式)(x f >)(x f '，且1)(-=x f y 为奇函数. 求不等式)(x f 2 x . 求不等式0)2(4)2015()2015(2 >--++f x f x 的解集. 2、移项法构造函数【例2】已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+- )1ln(1 1 1 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数11 1 )1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。 3、作差法构造函数证明【例3】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2 )(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f + 都成立. 分析：本题是山东卷的第（II ）问，从所证结构出发，只需令 x n =1，则问题转化为：当0>x 时，恒有32)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(2 3 ++-=x x x x h ，求导即可达到证明。

考研数学：如何用单调性与凹凸性证明不等式

考研数学：如何用单调性和凹凸性证明不等式纵观考研数学多年来的考试大纲和考试真题试卷，总体上讲变化不大。每年的考试范围和知识点基本相同或相近，考试题型的变化幅度也不是很大，其中有一些重要题型是年年考或经常考，如果考生能完全掌握这些重要题型的解题思路和方法，并能熟练地解答这些题型，则对于顺利地通过考研数学考试将有极大帮助。为了帮助各位考生学会并提高解答数学重要题型的水平，文都老师针对历年考研数学中的重要题型进行深入解剖，分析提炼出各种常考重要题型及方法，供考生们参考。下面分析高等数学中如何用单调性和凹凸性证明不等式这类问题。用单调性和凹凸性证明不等式的基本思路：大部分不等式的证明题，往往需要根据条件作辅助函数，然后由导数判断函数的单调性、凹凸性，再由单调性、凹凸性得出要证的不等式。根据单调性证明：若函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，且()(),()()f a g a f x g x ''≥≥，则在(,)a b 上，()()f x g x ≥；若将上面的“≥”都改成“>”（或“≤”，或“<”），则不等式亦成立。根据凹凸性证明：若在区间I 上()<0f x ''，则()f x 是凸函数，12,x x I ?∈，恒有1212()()( )22x x f x f x f ++> ；对凹函数则相反，若()0f x ''>，则1212()()( )<22x x f x f x f ++ 。典型例题：例1.设()f x 在(,)a b 内二阶可导，且()0f x ''>，证明：对于(,)a b 内任意两点12x x 、及01t ≤≤，有1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+≤-+ 证：不妨设12x x <，令11()(1)()()[(1)]g x t f x tf x f t x tx =-+--+，12x x x ≤≤，记1(1)u t x t x =-+，则 1()0g x =，()()()()()0,g x tf x tf u tf x u u x ξξ'''''=-=-≥<<，故()g x 单调不减，于是1()()0g x g x ≥=，取2x x =，得2()0g x ≥，1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+≤-+ 注：1）此题是用单调性证明凹函数的一个重要特性。 2）此题结论的几何意义：凹函数图形上任意两点之间的连线都在其图形之上。

利用函数单调性证明积分不等式(修改)

利用函数单调性证明积分不等式黄道增浙江省台州学院（浙江 317000）摘要：积分不等式的证明方法多种多样，本文主要利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。关键词：函数单调性积分不等式辅助函数中图分类号 O172.2 积分不等式是微积分学中一类重要的不等式，其证明方法多种多样。如果题目条件中含“单调性”或隐含“单调性”的条件，利用函数单调性证明比较简单。本文主要讨论利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。 1 利用被积函数的单调性证明方法根据----定积分性质之一：设)(x f 与)(x g 为定义],[b a 在上的两个可积函数，若],[),()(b a x x g x f ∈≤，则dx x g dx x f b a b a ??≤)()(. 例1 设)(x f 为]1,0[上非负单调递减函数，证明：对于10<<<βα，有?? >βααβαdx x f dx x f )()(0 证明：由)(x f 的单调递减性得：若10<≤<αx ，有)()(αf x f ≥ 所以)()()(00αααα αf dx f dx x f =≥?? （1）同理有 )()()()(ααβαβαβ αf dx f dx x f -=≤?? （2）由（1）（2）得： dx x f f dx x f ??-≥≥β αα αβαα)(1)()(10 （3）将（3）式两边同乘以β αβα)(-，有 dx x f dx x f ??≥-βαα βαβα β)()(0 因为1<-β αβ，所以??>βααβαdx x f dx x f )()(0 例2 试证：dx x x dx x x ??-≥-1021021sin 1cos . 分析：不等式两边的积分是瑕积分。在两边的积分中分别作变换x t arccos =与

高等数学不等式的证明试题及答案

微积分中不等式的证明方法讨论不等式的证明题经常出现在考研题中，虽然题目各种各样，但方法无非以下几种： 1.利用函数的单调性证明不等式若在),(b a 上总有0)(>'x f ，则)(x f 在),(b a 单调增加；若在),(b a 上总有0)(<'x f ，则)(x f 在),(b a 单调减少。注：考研题的难点是，构造恰当的辅助函数，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对),(b a 进行分割，分别在小区间上讨论。例１：证明：当0a b π<<<时， sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解】令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即 sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 【评注】证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数()f x ，然后求导验证()f x 的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值）。例2：设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 2 22a b e a b ->-. 【分析】即证a e a b e b 2 222 4ln 4ln ->- 证明：设x e x x 224ln )(-=?，则 24ln 2)(e x x x -='?， 2ln 12)(x x x -=''?, 所以当x>e 时，,0)(<''x ? 故)(x ?'单调减少，从而当2 e x e <<时，

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键．题型一用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

用微积分理论证明不等式的方法

用微积分理论证明不等式的方法高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似．微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ．证明：因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(．得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤．所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的．二．用可导函数的单调性证明不等式法

高中数学基本不等式证明

不等式证明基本方法例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选用。例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--

证明函数单调性的方法总结

证明函数单调性的方法总结导读：1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，

则为减(增）函数，为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的'单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象．【证明函数单调性的方法总结】 1.函数单调性的说课稿 2.高中数学函数的单调性的教学设计 3.导数与函数的单调性的教学反思

复合函数的单调性与不等式恒成立问题

复合函数的单调性与不等式恒成立问题班级学号姓名 1、对于（0，3）上的一切实数x ,不等式()122-<-x m x 恒成立，则实数m 的取值范围是。 2、不等式a 220x ax ++≥对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为． 3、不等式022 ≥-+ax ax 的解集为φ，则a 的取值范围为． 4、当[]1,3x ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则a 的范围为． 5、当[]1,3a ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则x 的范围为． 6、已知函数36,2(),63,2x x y f x x x +≥-?==?--<-? 若不等式()2f x x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是 . 6．若二次函数()()22 42221f x x p x p p =----+在区间[－1，1]内至少存在一实数c ，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围（） A ．121<<-p B ．233<<-p C ．3-≤p D ．2 13-<<-p 8．若满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和同时成立的x 的值，使关于x 的不等式0 922<+-a x x 也成立，则（） A ．9>a B ．9=a C ．90≤+p x px x 恒成立的x 的取值范围是． 7、已知a ax x x f -++=3)(2 ，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 例1.若函数bx x a x f 1)1()(2++=，且3)1(=f ，2 9)2(=f ⑴求b a ,的值，写出)(x f 的表达式； ⑵判断)(x f 在),1[+∞上的增减性，并加以证明。例4.已知f(x)=x a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。