利用单调性证明不等式
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1 x2 0 由 于f ' ( x ) 1 x 当x 0时， 1 x 1 x
所以，函数 f ( x )在[0,)上单调递增， 从而， f ( x ) f (0) 0.
x2 即， ln( 1 x) x 2
例3 证明下列不等式： (1) 当x 0时，e x 1 x; (2) 当x 0时，x
x2
2
ln(1 x )
Baidu Nhomakorabea
提示：函数的单调性.
证明 (1) 当x 0时，存在 介于x与0之间，使得 e x e 0 e ( x 0) x
e 1 x
x
x2 证 明 (2) 令f ( x ) ln( 1 x) x , 则f (0) 0 2
所以，函数 f ( x )在[0,)上单调递增， 从而， f ( x ) f (0) 0.
x2 即， ln( 1 x) x 2
例3 证明下列不等式： (1) 当x 0时，e x 1 x; (2) 当x 0时，x
x2
2
ln(1 x )
Baidu Nhomakorabea
提示：函数的单调性.
证明 (1) 当x 0时，存在 介于x与0之间，使得 e x e 0 e ( x 0) x
e 1 x
x
x2 证 明 (2) 令f ( x ) ln( 1 x) x , 则f (0) 0 2