指数与指数函数

指数与指数函数

一、知识概述

学习了指数与指数函数，讲到了根式的概念，n次方根的基本性质.然后又学习了指数幂，规定了分数指数幂的意义以及基本运算性质，并且要简单了解无理指数幂. 在

指数函数性质的学习中，要区分当底数在（0，1）和两种不同的情况时其函数值

的变化，还利用了信息技术作出函数图象，并利用图象归纳函数基本性质.

二、重难点知识归纳

1．幂的概念的推广，对于指数式来说，当指数x取各种不同的有理数时，式子的定义如下（m，n∈N，n>1）；

（1）正整数指数幂

（2）零指数幂：（a≠0）；

（3）负整数指数幂：

（4）分数指数幂：

（5）无理指数幂：

2．实数的指数幂的运算性质（其中a>0，b>0，m、n为实数）；

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

3．根式

(1)定义若（，n>1），则称x为a的n次方根(n throot)．

当n=2，n=3时，上述定义就是我们在初中学过的平方根、立方根．

若n为奇数，用符号表示a的n次方根，这时．

若n为偶数，则要求a≥0，用符号表示a的n次方根．

(2)性质

①

②

③（n为大于1的奇数）

④（n是不等于零的偶数）

4.指数函数定义

一般地，函数叫做指数函数(exponential function)，其中x是自变量．函数的定义域是R，指数函数的值域是．

5．指数函数的图象和性质

一般地，指数函数在底数a>1及0

为了能够主动研究指数函数的图象和性质，可以充分利用信息技术提供的互动环境，先随意地取a的值，并在同一个平面直角坐标系内画出它们的图象，然后再通过底数a的连续动态变化展示函数图象的分布情况，这样可以更容易的概括出函数性质. 三、典型例题剖析

例1. (1)化简.

(2)计算.

分析：要掌握分数指数幂的基本运算性质，并且要明白运用的前提条件.

解：(1)原式

(2)原式.

例2．若的值．

分析：先由已知求得x再代入所求式子，可以求出值，但较为麻烦，能否不求x，利用整体代换呢？观察所求式子的特点，可由已知两边平方，三次方求出所求式子分母、分子的值．

解：

由两边平方得，再平方得，

由

两边立方得，

∴，∴

评述：带条件的求值问题或证明问题，常有两种解决方法：①把要求的式子化成用已知表示，再代入；②由已知式子求出要求的式子需要的值．整体思想是解决这类问题的常用技巧．

例3．如图是指数函数（1）（2），（3）（4）的图象，则a,b,c,d与1的大小关系是（）

A．B．

C．D．

分析：可先分两类：（3）、（4）的底数一定大于1，（1）、（2）的底数小于1，然后再由（3）（4）中比较c,d的大小，由（1）（2）中比较a,b的大小．解法1：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴．

解法2：令x=1，由图知：

∴b

例4．已知，求函数的最大值和最小值.

分析：此函数为一个指数函数和一个二次函数的复合函数，处理这类问题的基本方法是用换元法转化为区间上二次函数的最值问题．

解：设

∵∴且，

∴当t=3,即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9,即x=2时，f(x)取最小值－24.

例5．已知f(x)＝（a>0且）．

（1）求f(x)的定义域、值域．（2）讨论f(x)的奇偶性．（3）讨论f(x)的单调性．

解：（1）定义域R

∴值域为（－1，1）

（2）

∴f(x)为奇函数．

（3）设，则，

当a>1时，由，得，

∴当a>1时f(x)在R上为增函数．

当0