7刚体的简单运动
理论力学6—刚体的基本运动
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt
大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量
dw dw
k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3
86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw
w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0
刚体的简单运动
A 图6-6
a
C
(3).如图6-7所示机构中， M为AB上的点。且 O1 A O2 B r,
AM BM。若O1A按 t 的规律绕 O1 轴转动， O1O2 AB l 。 则M点的轨迹是（ ）B
M A.半径为 r 圆 B.半径为 l 圆 1 C.半径为 l 圆 2 D.与AB 平行的直线 A O1
vA ＝0.86m/s 答案：
r
A
r
图6-9
4、如图6-10,摆式运输机构中,摆杆O1 A O2 B r 10cm,
O1O2 AB, 已知 O1 A 与 O2 B 成 60角时,铰接在摆
杆上的平板CD 的端点D 的加速度大小。
答案：
0.5 2rad / s, 0.5 3rad / s
d dt
故
a r
an
即
a a an
§4 .轮系的传动比
v r11 r22
传动比：
ω1 r1
ω2 r2Leabharlann 1 r2 i12 2 r1
ω1 r1
v
r2 ω2
2n 转速 n 转/分， rpm； 角速度 (1 s ) 60
概念题 1)转动刚体的角加速度为正时，则刚体 （1）越转越快 （2）越转越慢 （3）不一定
O2 图6-7
（4）半径为 R 的飞轮,绕垂直与图面的O轴转动。图示瞬时， a A 的大小、方向均为已知，则 轮缘上A点加速度 此时 A点速度大小为（ C ） A. B. C. D.
Ra A Ra A sin Ra A cos Ra A cos
A
O
a
图6-8
3、平板 A放置在两个半径为 r 25cm的圆筒上,如图6-9所示。 2 a 0 . 5 cm s 在某瞬时,平板具有向右的匀加速度 A ,在同一瞬 2 时的圆筒周边上一点的加速度 a 3m s ,假设平板 A与圆 筒之间无滑动,试求该瞬时平板A 的速度 A 。
刚体的运动
(b)
1
<0
• 刚体减
2
速转动，角 加速度与角
2 速度方向相
反.
单位：角速度 s1 或 rad s1，角加速度 s2 或 rad s2
二 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .d dtd 0t
0 dt t
d
dt
d
0
t
dt
0
例：在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可
绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速
度 0 0，经300s 后，其转速达到 18000r·min-1 . 已知转
子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转
过多少转？
解 由题意，令 ct ，即 d ct，积分
dt
t
d c tdt
2. 转动(rotation) :
刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一 点或同一直线做圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直 线就叫做转轴 .
定轴转动:转轴相对于参照系不动的转动.
非定轴转动:转轴相对于参照系变化的转动.
定点转动：
o·′
运动中刚体上只有一点固定不动，整个
刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动（如陀
角速度矢量 ➢角速度与转速（rev/min）的关系：
2 n n
60 30
刚体定轴转动（一维转动）
的转动方向可以用角速度的正负
来表示,一般情况下用角速度矢
量来表示 .注意 是有正负的，
其方向是为了处理问题的方便而
引入的 .
角加速度
d
dt
z
>0
z
<0
定轴转动(fixed-axis rotation)的特点
第七章刚体的简单运动
均相同，但 (2) 任一质点运动 , , 不同；即各质点的位矢在相同的时 v, a 间内转过的角度是相同的。
（3）各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心 在轴线上，这个平面我们称为转动平面。 (4) 运动描述仅需一个坐标．
§6– 4 轮系的传动比
1 R1 O1 A B
第六章 刚体的简单运动
本章将研究刚体的两种最基本的运动 ——— 平动和转动. 注意这两种运动在概念上的独立性和不相容性, 以及实现这两 种运动 的约束条件.
§ 7 – 1 刚体的平行移动( 平动 )
定义: 刚体在运动时, 如果刚体上的任意一固连直线始终 与其初始位置保持平行, 则这种运动称为平动.
1 2 两个圆盘的角速度 和角加速度 不相等。
1 2
§ 6 – 5 以矢量表示的角速度和角加速度 ·以矢积表示的 点 的速度和加速度
一. 角速度矢量 – 右手定则 二. 定轴转动刚体的角加速度
z( k )
矢量
O'
k d k dt
三. 欧拉公式 — 转动刚体上点的速度的矢量表示
此机构有4 个构件 6个铰链约束 组成. 其中有一个构件作平动.
平动
平动的性质: 作平动的刚体, 其上各点的轨迹的形状相同; 在 每一瞬时,各点的速度和加速度也都相同.( 三相同) A
证: 任取平动刚体上的两点A , B， 由平动的定义可知 , AB连线 在运动中方向始终不变, ( 定向) 且 A, B为 刚体上的两点, ( 定长 ) 所以,
同一根绳上各点的速度相同， 而加速度 也相同。
A B C D
M 2 o2 R 2
第7章 刚体的简单运动
自然法
2．点的速度
s R
v ds R d R
dt dt
v 指向为刚体转动的方向或与 ω 的转动方向一致。
刚体绕定轴转动 （逆时针为正）
刚体绕定轴转动
2．点的加速度
s R （逆时针为正）
切向加速度
a
dv dt
R d
dt
R
aτ 指向沿轨迹的切线与α 的转
动方向一致。
点M的全加速度大小。
解： M点的速度为
vM
vM
vA
dx dt
10t
m/s
M点的加速度为
aMt aMt
aMn
vM2 R
aA 200t 2
d2x dt 2 m/s2
10
m/s2
aM
aMt
2
aMn
2
10
1 400t 4
m/s2
三、轮系的传动比
刚体绕定轴转动
齿轮系
带轮系
刚体绕定轴转动
同一瞬时荡木上各点的速度、加速 度相等 vM vA aM aA
点A绕圆心O1，作半径为 l 的圆弧 运动
自然法： 假设弧坐标s向右为正，
s
l
l0
sin
4
t
刚体的平行移动
运动方程：
s
l
l0
sin
4
t
任一瞬时t， v ds l0 cos t
dt 4 4
， 0 sin t 4aΒιβλιοθήκη dv dt2l0 16
解： d 1681t 2 rad/s dt 162t rad/s2 4 0 时，即 16 81t2 0 时，解得 t 9 s 此时刚体改变转向。容易算得：在此之前，ω>0，刚体 逆时针转动；在此之后，ω<0，刚体顺时针转动。
理论力学 第7章 刚体的平面运动
M4 ω
M2
C ωO
A
r
M1
M3
O R
解: OA绕O转动
v2
v4
M4
vA
ω A
r
M2 v3
C ωO
M1 Ⅱ M3
RO
Ⅰ
vA AC r OAO (R r) O
C点是齿轮II的速度瞬心
因此轮
II
的角速度
R r
r
O（逆时针）
所以轮 II 上 M1，M2 ，M3 和 M4 各点的速度分别为：
8
7.2 平面图形内各点速度的求法 1、基点法 通常把平面图形中速度为已知的点选为基点
平面图形内任一点的速度 =基点的速度与绕基点转动
速度的矢量和
9
y
例7.1 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动，
AB=l。
B
解：一、基点法
1、 AB 作平面运动
O
基点：A
2、 vB vA vBA
大小 ？ vA ?
vA AB ACv , vB AB BCv
得
vB
BCv ACv
vA
对三角形ABC应用正弦定理，可得
ACv
BCv
sin ( π ) sin ( )
2
注意到
，代入上式后得
B
x
vB
R0
sin ( ) cos
速度投影法
应用速度投影定理，有
vAcos vBcos
将v A = R ω ， α ＝90o -ψ - β ＝ψ
速度瞬心C必定在速度垂线上
速度垂线A N
速度瞬心C
vM vA vMA vM vA AM
v
v 0 AC A
运动学(刚体简单运动)
刚体的简单运动
§1 刚体的平行移动 §2 刚体的定轴转动 结论与讨论
习题
刚体的平行移动
刚体的简单运动
一、刚体平动的定义
在刚体上任取一条直线，若在运动过程中这 条直线始终与其初始的空间位置平行，则该 运动称为刚体的平行移动，简称平动。
刚体的平行移动
刚体的简单运动
二、刚体平动的运动分析
rA rB rBA rA rB rBA v A vB a A aB
刚体平移可归结为刚体内任一点（通常是质心）的运动。
2 O1 950 99.48rad/s 60
O
2
Z1 20 O1 99.48 39.79rad/s Z2 50
vC O2 AO2 0.25 39.79 9.95m/s
刚体的定轴转动
刚体的简单运动
例三 曲柄滑杆机构中,滑杆上有一圆弧滑道,其半径R=100mm, 圆心O1在导杆BC上.曲柄OA=100mm，以等角速度 4 rad 绕 s O轴转动.求导杆BC的运动规律以及当曲柄与水平线间的交角为 30时,导杆BC的速度和加速度。
刚体的简单运动
例六 图示一减速箱，由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1＝10， Z2＝60 ， Z3＝12 ， Z4＝70 。（1）求减速箱的总传动比i13（2） 如果n1=3000rpm，求n3 。
n1 n1 n2 Z 2 Z 3 i13 i12 i23 34.8 n3 n2 n3 Z1 Z 2
刚体的简单运动—转动刚体内各点的速度和加速度(理论力学)
设角加速度如图所示
A MO
O
切向加速度 at dv d (R) R d R (+)
dt dt
dt
R
an
v
at
即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加 速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线
M
B
垂直距离的乘积。
它的方向由角加速度的符号决定，当是正值时，它沿圆周的切线，
[例]半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 t 2 4t ，单位为弧度。 求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度。如在此轮缘上绕一柔软而不
可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
d 2t 4
dt
d2 2
• ①滑轮3s内的转数； • ②重物B在3s内的行程；
• ③重物B在ｔ＝3s时的速度；
• ④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；
• ⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。
解：① 因为绳子不可以伸长，所以有
C aA 1m/s2
aCt 1 2 rad/s2
R 0.5
（ ）常数
vC
vA
1.5m /s， 0 vC
4.5m /s2
a (at )2 (an )2 12 4.52 4.61 m/s2
C
C
C
tan aCt 1 0.222， 12.5
aCn 4.5
⑤ t=3s 时，
at a
1m/s2，a n
R 2
2
0.5 9
40.5m/s2
a 12 40.52 40.51m/s2，tan 1 0.0247， 1.41 C
第七章 刚体的基本运动
第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时 ，刚体内（刚体外）有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴； （2）其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动 刚体上任一点的速度分布：
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 ： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 ：
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线 （垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。
第07章 刚体的简单运动(彭)
第七章 刚体的简单运动7-1、试指出图中刚体AC 、BD 、CD 的运动形式并画出图中M 点的速度方向和加速度方向。
（AB=CD,AC=BD ）7-2、图示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆OA=1.5m 在铅垂面内转动，杆AB=0.8m ，A 端为铰接，B 端有放置工件的框架。
在机构运动时，工件的速度恒为0.05m/s ，AB 始终铅垂。
设运动开始时，角ϕ=0。
求运动过程中角ϕ与时间的关系。
同时，求点B 的轨迹方程。
(答案：rad t 30=ϕ,22225.1)8.0(m y x =++)7-3、揉茶机的揉桶由三个曲柄支持，曲柄的支座A 、B 、C 与轴a 、b 、c 都恰成等边三角形，如图所示。
三个曲柄长度相等，均为L=150mm ，并以相同的转速n=45r/min 分别绕其支座在图平面内转动。
求揉桶中心点O 的速度和加速度。
(答案：s m v /707.00=,20/331.3s m a =)7-4、已知搅拌机的主动齿轮1O 以n=950r/min 的转速转动。
搅杆ABC 用销钉A 、B 与齿轮2O 、3O 相连，如图所示。
且AB=2O 3O ，3O A=2O B=0.25m ，各齿轮齿数为1z =20，2z =50，3z =50，求搅杆端点C 的速度和轨迹。
(答案：s m v c /948.9=;轨迹为半径为0.25m 的圆。
）7-5、机构如图所示，假定杆AB 以匀速v 运动，开始时ϕ=0。
试求当4πϕ=时，摇杆OC 的角速度和角加速度。
（答案：L v 2=ω；222L v =α）7-6、如图所示，曲柄CB 以等角速度0ω绕C 轴转动，其转动方程为t 0ωϕ=。
滑块B 带动摇杆OA 绕轴O 转动。
设OC=h ，CB=r 。
求摇杆的转动方程。
（答案：t r h tA 00cos sin arctan ωωθ-=）7-7、一飞轮绕固定轴O 转动，其轮缘上任一点的全加速度在某段运动过程中与轮半径的交角恒为60º。
07 刚体的简单运动Hxj
角位移
Δ d lim * lim Δt 0 Δt 0 Δt dt
说明： 角速度单位是rad/s,工程单位n rpm(r/min或转/分) 换算关系为:
2n n 0.105n rad/s 60 30
3、 角加速度 设当t 时刻为 , t +△t 时刻为+△ (1) 平均角加速度
R
0.4m/s
a
M t t 1
R
t 1
d 2 R 2 dt
t 1
d 2 t 2 4t R dt 2
t 1
v
0.4m / s 2
a
M n t 1
R
2 t 1
0.2 2 0.8m / s
2
2
A
aA
全加速度大小及方向
a a 2 a 2 0.4 2 0.82 0.894m/s2 t n t 1 t 1 2 t 1 arctan 2 arctan t 1 4
§7-1 刚体的平行移动
一、概念 刚体运动时，如果在刚体内任取一直线段，在运动过程中 该直线段始终与其最初位置平行，这种运动称为平行移动 (translation),简称平移或平动。
河南理工大学力学系
理论力学
第七章 刚体的简单运动
二、刚体平行移动的性质 设刚体作平行移动，如图。在刚 体内任取两点A和B，设其矢径分别为 rA和rB，则两条矢端曲线就是两点的轨 迹。由图中几何关系可知
1、 转动方程 Ⅰ和Ⅱ夹角 ---转角（位 置角）,单位为弧度(rad)
• 定轴转动方程 对着z轴正向看
t
7 2
• 的正、负规定 逆为正 顺为负
大学物理刚体部分知识点总结
大学物理刚体部分知识点总结大学物理质心刚体部分知识点总结一、刚体的简单运动知识点总结1.刚体运动的最简单形式型态为平行移动和绕定轴转动。
2.刚体平行移动。
刚体内任一直三角形在运动运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。
刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能出现是直线，也可能是曲线。
刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的加速度和加速度大小、方向都相同。
3.刚体绕定轴转动。
刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为参考点绕定轴转动，或转动。
刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。
角速度ω坦言刚体转动快慢程度和转向，是代数量，，当α与ω。
角速度也可以用矢量表示，角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，同号时，刚体作匀迟滞转动；当α与ω异号时，刚体作匀减速转动。
角加速度也可以用矢量表示，绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：速度、加速度的第六代数值为。
传动比。
二．转动定律转动惯量转动定律力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同与牛顿定律比较：转动惯量刚体绕给定车轴的转动惯量J等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积之总和。
定义式质量不连续分布质量连续分布物理意义转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。
它与刚体的形状、质量原产以及转轴的位置有关。
计算转动惯量的三个要素:(1)总质量；(2)质量分布；(3)转轴的位置(1)J与刚体的总质量有关几种典型性的匀质惯性力刚体的转动惯量刚体细棒（质量为m，长为l）细棒（质量为m，长为l）转轴位置过中心与棒垂直过一点与棒垂直转动惯量Jml212ml23细环（质量为m，半径为R）过中心对称轴与环面横向垂直细环（质量为m，半径为R）圆盘（质量为m，半径为R）圆盘（质量为m，半径为R）球体（质量为m，半径为R）薄球壳（质量为m，半径为R）平行轴定理和转动惯量的可加性1）平行轴定理直径过中心与盘面直径过球心过球心mR2mR22mR22mR242mR252mR23设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic，相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I，则可以证明I与Ic之间有下列关系IIcmd22）转动惯量的可加性对同一转轴而言，物体各部分转动惯量之和等于整个物体的转动惯量。
刚体的基本运动
2
0.556,
29
转动刚体内各点得速度和加速度
例题2
vM at
a
M
O an
α ω
A
vA aA
vM r 0.36 m s－1
aτ r 0.36 m s－2
an r 2 0.648 m s－2
A点:
vA vM 0.36 m s－1 aA aτ 0.36 m s－2
O1 l A
刚体得平行移动
例题1
O2 l
M
B
已知:O1A＝ O2B ＝l;
0
sin
π 4
t
求:当t = 0和t = 2 s时,荡木 得中点 M 得速度和加速 度。
刚体得平行移动
例题1
O1
l
A O
(+)
O2
0
sin
π 4
t
l
解: 1、 分析荡木得运
M
B
动 AB平动
2、 求A点得运动
A点得运动方程
lim
t0 t
d
dt
角加速度
lim
t 0
t
d
dt
第6章 刚体得简单运动
转动刚体内各点得 速度和加速度
转动刚体内各点得速度和加速度
转动刚体内各点得速度和加速度
P点得运动方程
s = r ( t )
aP
AO
a
n P
vP
r
a
τ P
s
P
B
aP r 2 4
aPτ aPn
arctan 2
继续保持安静
刚体得平行移动 速 度
刚体得平行移动 加 速 度
平动刚体上各点得加速度
第七章 刚体的简单运动
答案： ① (b) ； ② (a)
§7-４ 轮系的传动比
１、齿轮传动
① 啮合条件
Rω1 = vA = vB = R2ω2 1
② 传动比
ω1 R2 z2 i12 = ± = ± = ± ω2 R z1 1
２、带轮传动
rω1 = vA = v′ = v′ = vB = r2ω2 1 A B
ω1 r2 i12 = = ω2 r 1
M点切向加速度 M点法向加速度
r r r at = α × r
r r r r r r an = ω×v = ω×(ω× r )
减速箱的齿轮Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的 转轴在同一水平线上。各齿轮的齿数分别 为z1 = 36、z2= 112、z3 = 32 和 z4 = 128。 主动轮Ⅰ的转速n1 = 1450 r/min，求从动 轮Ⅳ的转速 n4 。 Ⅱ
例7-1 图示机构O1A = O2B = a，O1O2 = AB =
2R，半圆轮半径为R 。试问图示瞬时，轮上M点 的速度为 ① ；M点的轨迹曲率半径为 ② 。 M ① (a) Rω (b) a ω R A B (c) a ω sin 60° O ω
60 °
O1
O2
②
(a) a
(b) R
(c) a+R
( )
r r r dvB dvA r aB = = = aA dt dt
刚体平移→点的运动 →
§7-2 刚体绕定轴的转动
1、定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称 为刚体绕定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ转动，简称刚体的转动。 转轴 ：两点连线 转角： 单位:弧度(rad)
2、运动方程
= f (t )
3、角速度和角加速度
工程力学-材料力学-第7章 刚体的基本运动(唐学彬)
=0.2m,O1O2=AB=0.6m,AM=0.2m，如O1A按φ=15πt的规律转动， 其中φ以rad计，t以s计。试求t=0.8s时，M点的速度与加速度。
解： 在运动过程中，杆AB始终与O1O2平行。因此，杆AB为 平移，O1A为定轴转动。根据平移的特点，在同一瞬时M、A两 点具有相同的速度和加速度。A点作圆周运动，它的运动规律为
rB rA rAB
(7-1)
式（7-3）、（7-4）两式表明，在任何瞬时，A、B两点的速 度相同，加速度也相同。由于A、B是任取的两点，于是可推得如 下的定理： 刚体平移时，其内所有各点的轨迹的形状相同。在同一瞬时， 所有各点具有相同的速度和相同的加速度。
既然平动刚体上各点的运动规律相同，因此只须确定出刚体 内任一点的运动，就确定了整个刚体的运动。由此可知刚体平动 的问题，可归结为点的运动问题。若刚体上任一点的轨迹为直线， 则刚体的运动称为直线平移；若刚体上任一点的轨迹为平面曲线 或空间曲线，则刚体的运动称为平面平移或空间平移，或称为曲 线平移。火车沿直线轨道行驶时，其车厢的运动即是直线平动， 其平行杆的运动就是平面运动。
沿逆时针方向量取为正值，反之为负值。当刚体转 动时，位置角φ随时间t变化，是时间t的单值连续函 数，可表示为
t
（7-5）
这就是刚体的定轴转动方程。若转动方程φ（t） 已知，则刚体在任一瞬时的位置即可确定。
转角φ实际上是确定转动刚体位置的“角坐标”。
设由瞬时t到瞬时t+Δt，位置角由φ改变到φ+ Δφ ，位置角的增 量Δφ称为角位移。比值Δφ/Δt称为在时间Δt内的平均角速度。当 Δt→0时， Δφ/Δt的极限称为刚体在瞬时t的角速度，并用字母ω表 示，即
at a sin 40sin 30 m s 20 m s
哈尔滨工业大学 第七版 理论力学 第7章 课后习题答案
解
设轮缘上任 1 点 M 的全加速度为 a，切向加速度 a t = rα ，法向加速度 a n = ω r ，如图
2
7-11b 所示。
tan θ =
把
α=
dω ， θ = 60° 代入上式，得 dt
at α = 2 an ω
dω tan 60° = dt2
ω
分离变量后，两边积分：
∫ω
得
ω
0
dω
ω
2
=∫
⎤ ⎡ ⎥ ⎢ sin ω t 0 θ = tan −1 ⎢ ⎥ ⎢ h − cos ω 0 t ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣r
故
50 π ⋅ 600 100π r ω1 = rad/s ⋅ = 100 − 5t 30 10 − 0.5t d dω 5 000 π d ⎛ 1 000π ⎞ α2 = 2 = ⎜ ⎟= dt dt ⎝ 100 − 5t ⎠ (100 − 5π )2
故得
h1 =
h4 = 2 mm 6
图 7-7
7-8 如图 7-8 所示，纸盘由厚度为 a 的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速 v 拉纸条。求 纸盘的角加速度（以半径 r 的函数表示） 。 解 纸盘作定轴转动，当纸盘转过 2π rad 时半径减小 a。设纸盘转过 dθ 角时半径增加 dr ，则
dθ =
y
B
t aB
α j
O
vA x
ω
(a) 图 7-12
aC
(b)
i 45° A n
C
t aC
解
由图 7-12b 得出
84
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
v A = 0.2 j m/s ， v A = ω × Ri ， ω × 0.1i = 0.200 j ， ω = 2k ，
刚体运动的动力学方程解析
二、刚体定轴转动的动力学方程
三、刚体定轴转动动力学方程的应用
四、动静法
质点系的达朗伯原理
五、点的复合运动
• 点的速度合成
六、刚体的复杂运动
基点法
速度投影法
速度瞬心法
J
＝J＝1对2 对M1mRmM:2
:m
Rm2 g
T m2a a
g T1
T ma
R
m
a
amgR
a R
2
解方程得：
a
m m M
g
2
R
例2 一个飞轮的质量为69kg ，半径为0.25m,正在以每分1000转 的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而 最后停下来。摩擦系数为0.46。求闸瓦对轮子的压力N为多大？ （J = mR2 ）
J
＝
A
J
＋
C
m
L 2
2
1 12
mL2
1 4
mL2
1 mL2 3
推广: 若有任一轴与过质心的轴 平行且相距d ，刚体对其转动惯 量为: J J C m d 2 , 称为平行轴 定理。
dc
第三节 刚体简单运动动力学方程的应用
主要研究刚体定轴转动动力学方程的应用
一、已知刚体的转动规律，求作用于刚体上的外力 例12-4
二、已知作用于刚体上的力矩，求转动规律 例12-5 例12-6
第四节 动静法
节
一、质点的达朗伯原理
二、质点系的达朗伯原理
平面任意力系的平衡条件: （1）力系中各力在X 轴和Y轴上投影的代数和为零； （2）力系中各力对平面内任一点的力矩的代数和为零
动静法的应用：刚体的平动和绕定轴转动 1、刚体的平动
第7章 刚体的简单运动
第七章 刚体的简单运动在工程实际中，最常见的刚体运动有两种基本运动形式：平动和转动。
一些较为复杂的刚体运动，如车轮在直线轨道上的滚动等，都可以归结为这两种基本运动的组合。
因此，平动和转动是分析一般刚体运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动平动是刚体最简单的一种运动。
例如，车刀的刀架，摆式输送机的料槽，以及沿直线轨道行驶的列车的车厢等，都是平动的实例。
这些刚体的运动具有一个共同的特点：运动时，刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。
刚体的这种运动称为平行移动，简称为平动。
刚体作平动时，刚体上的点可以是直线运动(刀架)，也可以是曲线运动(送料槽)。
现在就一般情形，研究刚体内各点的运动轨迹，速度和加速度。
刚体作平动在刚体上任取一线段AB 。
该刚体的运动可由AB 在空间的位置确定。
为研究刚体内各点的运动，可以O 为参考点，向A 、B 两点分别引矢径r A 和r B ，则点A 和B 的运动方程分别为r A =r A (t), r B =r B (t)AB B A r r r += (*)由于刚体作平动，在运动中矢量AB 的大小和方向都不改变，所以AB 为一常矢量。
这说明：点A 和B 不仅运动轨迹形状相同，而且运动规律也相同。
如上面的各例中，刀架上各点的轨迹是相互平行的直线；料槽上各点的轨迹都是半径等于AC 的圆弧。
将式(*)对时间t 取一阶和二阶导数，同时注意到常矢量AB 的导数等于零，于是有B A v v =B A a a =这说明：刚体内任意两点的速度、加速度相等。
综合以上分析，可得如下结论：(1) 刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；(2) 同一瞬时各点的速度彼此相等，各点的加速度也彼此相等。
因此，在研究刚体平动时，只要知道刚体上某一点的运动，就能知道所有点的运动。
所以，刚体的运动可归结为点的运动。
§7-2 刚体绕定轴的转动定轴转动是工程中常见的一种运动，如电动机的转子，机床中的胶带轮、齿轮以及飞轮等的运动，都是定轴转动的实例。