2020版高考数学一轮复习专题6数列第43练数列小题综合练练习

第43练 数列小题综合练

[基础保分练]

1.(2019·宁波十校联考)已知数列{a n }是等比数列，其公比为q ，则“q >1”是“数列{a n }为单调递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.(2019·浙江衢州二中模拟)已知数列{a n }是各项为正数的等比数列，点M (2，log 2a 2)，N (5，log 2a 5)都在直线y ＝x －1上，则数列{a n }的前n 项和为( ) A.2n

－2 B.2n ＋1

－2 C.2n －1

D.2

n ＋1

－1

3.已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1，a 99为方程x 2

－10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80等于( ) A.32B.64C.256D.±6

4.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递增，若数列{a n }是等差数列，且a 3>0，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＋f (a 5)的值( ) A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0

D.可正可负

5.(2018·绍兴柯桥区调研)已知等比数列{a n }中有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且a 7＝

b 7，则b 5＋b 9等于( )

A.2

B.4

C.8

D.16

6.(2019·温州模拟)数列{a n }的前n 项的和满足S n ＝32a n －n ，n ∈N *

，则下列为等比数列的是

( ) A.{a n ＋1} B.{a n －1} C.{S n ＋1}

D.{S n －1}

7.两个等差数列{a n }和{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 2＋a 20

b 7＋b 15

等于( )

A.94

B.378

C.7914

D.149

24

8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 8＝36，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n a n ＋1的前n 项和为( )

A.1n ＋1

B.

n

n ＋1

C.

n －1

n

D.

n －1

n ＋1

9.(2018·杭州高级中学模拟)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝7，设其前n 项和为S n ，且S 4＝

S 6，则其公差d ＝______，其前n 项和S n 取得最大值时n ＝________.

10.(2019·丽水模拟)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝12，S 7＝49.若记[x ]表示不超过x 的最大整数，(如[0.9]＝0，[2.6]＝2).令b n ＝[lg a n ]，则数列{b n }的前2000项和为________.

[能力提升练]

1.(2019·浙江绍兴一中模拟)已知函数y ＝f (x )为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数g (x )＝f (x －5)＋x ，数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g (a 1)＋g (a 2)＋…＋g (a 9)＝45，则a 1＋a 2＋…＋a 9等于( ) A.45B.15C.10D.0

2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A.2B.3C.4D.5

3.已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *

且n ≥2)，则a 81等于 ( ) A.641B.640C.639D.638

4.若三个非零且互不相等的实数x 1，x 2，x 3成等差数列且满足1x 1＋1x 2＝2

x 3

，则称x 1，x 2，x 3成

一个“β等差数列”.已知集合M ＝{x ||x |≤100，x ∈Z }，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为( ) A.25B.50C.51D.100

5.对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n

n

为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优

值”H n ＝2

n ＋1

，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n 恒成立，则实数k 的取

值范围是________.

6.(2019·浙江绍兴一中模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且S 1，

S 22

，S 4

4

成等比数列，则S n ＝________，a n ＝________.

答案精析

基础保分练

1.D

2.C

3.B

4.A

5.C

6.A

7.D

8.B

9.－1 5

解析 由S 4＝S 6，知a 5＋a 6＝0，

则有⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＋a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝92，

d ＝－1，

所以a n ＝92＋(n －1)×(－1)＝112－n .由112－n ≥0，得n ≤112，又n ∈N *

，所以当n ＝5时，S n

取得最大值. 10.5445

解析 设等差数列{a n }的公差为d ，

∵a 3＋a 4＝12，S 7＝49，∴2a 1＋5d ＝12,7a 1＋7×6

2d ＝49，解得a 1＝1，d ＝2.

∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝[lg a n ]＝[lg(2n －1)]，n ＝1,2,3,4,5时，b n ＝0. 6≤n ≤50时，b n ＝1；51≤n ≤500时，b n ＝2； 501≤n ≤2000时，b n ＝3.

∴数列{b n }的前2000项和为45＋450×2＋1500×3＝5445. 能力提升练

1.A [函数y ＝f (x )为定义域R 上的奇函数， 则f (－x )＝－f (x )，关于点(0,0)中心对称， 那么y ＝f (x －5)关于点(－5,0)中心对称， 由等差中项的性质和对称性可知：a 1－5＋a 9－5

2

＝a 5－5，

故f (a 1－5)＋f (a 9－5)＝0，

由此f (a 2－5)＋f (a 8－5)＝f (a 3－5)＋f (a 7－5)＝f (a 4－5)＋f (a 6－5)＝2f (a 5－5)＝0， 又g (x )＝f (x －5)＋x ，若g (a 1)＋g (a 2)＋…＋g (a 9)＝f (a 1－5)＋f (a 2－5)＋…＋f (a 9－5)＋

a 1＋a 2＋…＋a 9＝45，则a 1＋a 2＋…＋a 9＝45，故选A.]

2.C [因为S 4＝2(a 2＋a 3)，所以a 2＋a 3≥5，

又S 5＝5a 3，所以a 3≤3，而a 4＝3a 3－(a 2＋a 3)，故a 4≤4，当a 2＝2，a 3＝3时等号成立，所以

a 4的最大值为4.]