高中数学课时作业18等比数列的前n项和(第2课时)新人教版必修5

高中数学课时作业18等比数列的前n 项和（第2课时）新人教版

必修5

1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C

2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4

a 2

＝( ) A ．2 B ．4 C.172D.15

2 答案 D

3．设公比为q (q ≠1)的等比数列{an }的前n 项和为Sn ，且Sn ＝q n

＋k ，那么k 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 答案 D

解析 Sn ＝a 11－q n 1－q ＝a 11－q －a 11－q

q n

＝A －A ·q n .

4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1

4，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )

A ．16(1－4－n

) B ．16(1－2－n

) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 答案 C

解析 考查的是等比数列的性质，令b n ＝a n a n ＋1＝16·(12

)2n －1

也是等比数列．

5．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为5

4

，则S 5＝( )

A ．35

B ．33

C ．31

D ．29 答案 C

解析 设数列{a n }的公比为q ，a 2·a 3＝a 2

1·q 3

＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3

＝2＋4q 3

＝2×54⇒q ＝12

.

故a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 11－q 5

1－q

＝31.

6．在等比数列{an }中，已知a 1＋a 2＋…＋an ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2

n 等于( ) A ．(2n －1)2B.13(2n －1)2

C ．4n

－1 D.13(4n －1)

答案 D

解析 ∵Sn ＝2n

－1，∴a 1＝1，q ＝2. ∴{a 2

n }也成等比数列．a 2

1＝1，公比为4. ∴a 2

1＋a 2

2＋…＋a 2

n ＝

1·

4n

－14－1＝13

·(4n

－1)．

7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6

S 3＝3，则S 9S 6

＝________. 答案 7

3

解析 设数列{a n }的公比为q ，则S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 31－q 3

1－q

3

＝1＋q 3＝3，所以q 3

＝2.S 9S 6＝1－q 91－q 6＝1－231－22＝73

. 另解 ∵{a n }为等比数列， ∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比， 即(S 6－S 3)2

＝S 3·(S 9－S 6)． 又S 6S 3＝3，S 6

3＝S 3代入上式， 得49S 26＝S 63·(S 9－S 6)及S 9S 6＝73

. 8．在数列{an }和{bn }中，a 1＝2，且对任意正整数n,3an ＋1－an ＝0，bn 是an 与an ＋1的等差中项，则{bn }的前n 项和为__________．

答案 2－23

n

解析 {an }成等比数列a 1＝2，公比q ＝1

3

.

an ＝2·⎝ ⎛⎭

⎪⎫13

n －1.

∴bn ＝

an ＋an ＋12

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝43·⎝ ⎛⎭

⎪⎫13n －1

.

∴{bn }的前n 项和为

43·⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－13n 1－13

＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＝2－2

3n . 9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13

解析 由题意得2(2S 2)＝S 1＋3S 3，即4S 2＝S 1＋3S 3，很明显公比q ≠1，则4a 11－q 2

1－q ＝

a 1＋3a 11－q 31－q ，解得q ＝13

.

10．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an }是公比为q 的无穷等比数列，下列{an }的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第________组．(写出所有符合要求的组号)

①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与an ；④q 与an . 其中n 为大于1的整数，Sn 为{an }的前n 项和． 答案 ①④

解析 ②不能唯一．．确定 ③需对n 讨论． 11．(2013·陕西)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；

(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列． 解析 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2

＋…＋a 1q

n －1

，①

qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②

①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n

.

∴S n ＝

a 11－q

n

1－q

，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

na 1，q ＝1，a 11－q n

1－q

，q ≠1.

(2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2

＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，

a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，

a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q

k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1

， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q

k －1

＋q

k ＋1

.

∵q ≠0，∴q 2

－2q ＋1＝0，∴q ＝1，与已知矛盾． ∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．