-空间曲线的切线与法平面

解2 将所给方程的两边对 x 求导并移项，得
dz dy y dx z dx x dy dz 1 dx dx

dy z x , dx y z
dz x y , dx y z
dy 0, dx (1, 2 , 1)
dz 1, dx (1, 2 , 1)
曲面在M处的法线方程为 x x0 y y0 z z0 . f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 1
曲面z f ( x , y )在M 0处 n { f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ), 1}

若 、 、 表示曲面的法向量的方向角， 并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z 轴的正向所成的角 是锐角，则法向量的方向 余弦为
2 x 0 ( x x 0 ) 4 y 0 ( y y0 ) 6 z 0 ( z z 0 ) 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y 0 6 z0 , 2 x 0 y0 z 0 . 1 4 6
因为 ( x0 , y0 , z0 ) 是曲面上的切点， 满足方程 x0 1, 所求切点为 (1,2,2), ( 1,2,2), 切平面方程(1)
切线方程为 法平面方程为
Fy Gy = 0.
x - x0 Fy Fz G y Gz
0
y - y0 z - z0 = = , Fz Fx Fx Fy Gz G x 0 G x G y 0
Fz Fz ( x - x0 ) Gz Gz 0
Fx Fx ( y - y0 ) Gx Gx 0
Fy ( z - z0 ) Gy
2( x 1) 8( y 2) 12( z 2) 0 x 4 y 6 z 21
切平面方程(2)
2( x 1) 8( y 2) 12( z 2) 0 x 4 y 6 z 21
思考题
如果平面 3 x y 3 z 16 0 与椭球面
x x 0 y y0 z z 0 , x y z t t t
当M M ,即t 0时 ,
曲线在M处的切线方程
x - x 0 y - y0 z - z0 = = . φ( t0 ) ψ ( t0 ) ω( t 0 )
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
t
u
cos t , z 1 e 3 t 在t 0 处的切线和法平面方程.
解 当 t 0 时， x 0, y 1, z 2,
t x e cos t , y 2 cos t sin t , z 3e 3 t ,
x(0) 1,
y ( 0 ) 2 , z ( 0 ) 3 ,
0
例 2 求曲线 x 2 y 2 z 2 6 ， x y z 0 在 点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
解 1 直接利用公式;
设
F x, y, z = x 2 + y 2 + z 2 - 6, G x, y, z = x + y + z
则
Fx = 2 x, Fy = 2 y, Fz = 2 z G x = 1, G y = 1, Gz = 1
2 x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0 . 2 1 0
例 5
求 曲面 x 2 2 y 2 3 z 2 21 平行于平面
x 4 y 6 z 0 的各切平面方程.
解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点, 切平面方程为
z


M
M ( x 0 x , y0 y , z 0 z ) 对应于 t t0 t .
x
o
M
y
割线 MM 的方程为
z


M
x x 0 y y0 z z 0 x y z
M
x
o
y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 t ,
' ' ' x 0 y 0 z 0 0 0 0
令 n = { Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
由于曲线是曲面上通过 M 的任意一 切平面方程为： 则 nT , 0 条曲线，它们在 M0 的切线都与同一向量 n 垂直， Fx x0 , y0 , z 0 x - x0 + Fy ( x 0 , y 0 , z 0 y - y0 故曲面上通过 M0 的一切曲线在点 M0的切线都在 M0的切平面. +Fz x0 , y0 , z0 z - z0 = 0 同一平面上， 这个平面称为曲面在点
第六节 偏导数的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线
第六节 偏导数的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面
x (t ) 设空间曲线的方程 y ( t ) z (t ) (1)
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t 0 ;
由于Γ 在Σ 上，故有F ( t )，ψ ( t )，ω( t ) ＝0, 上 式在M 处关于t求导，有：
Fx ( M 0 ) ' ( t0 ) + Fy ( M 0 )ψ' ( t0 ) + Fz ( M 0 )ω' ( t0 ) = 0
F M , F M , F M x t , y t , z t 0
n { Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
特殊地：空间曲面方程形为 z f ( x , y ) 令 F ( x, y, z ) f ( x, y ) z, 曲面在M处的切平面方程为
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 ,
由此得切向量
T {1, 0,1},
x 1 y 2 z 1 , 所求切线方程为 1 0 1
法平面方程为 ( x 1) 0 ( y 2) ( z 1) 0,

xz0
二、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
: F ( x , y, z ) 0
切线方程为
x - x 0 y - y0 z - z0 = = , 1 ψ ( t0 ) ω( t0 )
法平面方程为
( x - x0 ) ψ (t 0 )( y - y0 ) ω(t 0 )( z - z0 ) 0.
F ( x, y, z ) 0 2.空间曲线方程为 , G ( x , y , z ) 0
T2
n
M0
T1
在曲面上任取一条通 过点 M 0 x0 , y0 , z0 的 曲线 x = (t ) Γ : y = ψ(t ) , z = ω( t )
1
2
曲线在M0处的切向量 T { x ' ( t 0 ), y ' ( t 0 ), z ' ( t 0 )},
Fx (1, 2 , 0 ) 2 y (1, 2 , 0 ) 4, Fy (1, 2 , 0 ) 2 x (1, 2 , 0 ) 2,
Fz (1, 2 , 0 ) 1 e z (1, 2 , 0 ) 0,
切平面方程 4( x 1) 2( y 2) 0 ( z 0) 0,



通过点 M ( x0 , y0 , z 0 ) 而 垂直于切平面的直线称 为曲面在该点的法线.
n
M
T
法线方程为： x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) F y ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M处的法向量, 即
Fz Gz
x=1 y=-2 z=1
Fy Gy

2 y 2z 1 1
x=1 y= -2 z=1
6
Fz Gz
Fx Gx
Fx Gx
Fy Gy
x=1 y=-2 z= 1

2z 2 x 1 1
x=1 y=-2 z= 1
0
由此得切向量 T {1, 0,1},
x 1 y 2 z 1 所求切线方程为 , 1 0 1
切点满足曲面和平面方程
3 x0 2 x0 9 x0 16 0 , 2 2 2 2 3 x0 x0 9 x0 16 0
T = φ( t 0 ) ,ψ ( t 0 ) ,ω( t 0 )
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
φ(t 0 )( x - x0 ) ψ (t 0 )( y - y0 ) ω(t 0 )( z - z0 ) 0
例1
求曲线 : x 0 e cos udu ， y 2 sin t
x=1 y= -2 z=1
2x 2 y 6 x= 1 1 1ห้องสมุดไป่ตู้y= -2
z=1
法平面方程为 ( x 1) 0 ( y 2) ( z 1) 0,

xz0
例 2 求曲线 x 2 y 2 z 2 6 ， x y z 0 在 点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
fx cos , 2 2 1 fx fy fy cos , 2 2 1 fx fy 1 cos . 2 2 1 fx f y
n
M
T
求法向量的方向余弦时注意符号
其中 f x f x ( x0 , y0 ), f y f y ( x0 , y0 )
全微分的几何意义
因为曲面在M处的切平面方程为
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
切平面 上点的 竖坐标 的增量
函数z f ( x , y )在点( x0 , y0 )的全微分
z f ( x , y ) 在( x0 , y0 ) 的全微分，表示 曲面 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的
切平面上的点的竖坐标的增量.
例 3
求旋转抛物面 z x 2 y 2 1在点 ( 2,1,4)
处的切平面及法线方程.
解
f ( x , y ) x 2 y 2 1,
n ( 2 ,1, 4 ) { 2 x , 2 y , 1} ( 2 ,1, 4 ) {4, 2,1},
3 x y z 16 相切，求 .
2
2
2
思考题解答
设切点 ( x0 , y0 , z0 ), 依题意知切向量为
n {6 x0 , 2 y0 , 2 z0 },
{3, ,3}
y0 x 0 , z 0 3 x 0 ,
6 x0 2 y0 2 z 0 3 3
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) ( z 4) 0,
4 x 2 y z 6 0,
法线方程为
x 2 y 1 z 4 . 4 2 1
例 4
求曲面 z e z 2 xy 3 在点(1,2,0) 处的
切平面及法线方程.
z F ( x , y , z ) z e 2 xy 3, 解 令
x 0 y1 z 2 切线方程 , 1 2 3 法平面方程 x 2( y 1) 3( z 2) 0,
即 x 2 y 3 z 8 0.
特殊地：
y = ψ x 1.空间曲线方程为 z = ω x 在M ( x0 , y0 , z0 )处,