第四章 解析函数的级数表示

1 1 1 1 所以 I ( )dz dz dz cz c1 z c z 1 z
2i 0 2i .
说明：同实变函数幂级数一样，我们有
(1) 幂级数
f ( z ) cn ( z a ) n
n 0
的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞) 内解析.
z 1 对任意固定的z, 从某个n开始,总有 , n 2 n zn 1 于是有 n , 故该级数对任意的z均收敛. n 2
(2) 对于任意z≠a幂级数（4.3）都发散. 例如,级数 1 z 22 z 2 nn z n
当 z 0 时, 通项不趋于零, 故级数发散.
(Series of complex number）
一、复数序列的极限
二、复数项级数
设 { n } ( n 1,2,) 为一复数列, 其中
n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数,
如果对于任意给定 0, 总存在正整数 ( ), N 当n N时，有 n .
z
展开式.
解： ) (e
z (n) z0
e
z z0
1 ( n 0,1,2, )
z2 z3 zn ez 1 z 2! 3! n! 而e z 在 复 平 面 上 解 析 所 以 该 级 数 的 收 敛 半 径 . R 收 敛 圆 是z
e zi e zi 1 ( zi ) n ( zi ) n sin z 2i 2i n 0 n! n! n 0

c n 1 n 2 1, 解 因为 lim lim n c n n 1 n
所以 R 1.
利用逐项积分,得:
0 (n 1)z dz 0 n 0 n 0
n n
z

z
z n 1 ( n 1) z dz
n

n 0
z . 1 z
cn1 n lim 1, 即 R 1. n n 1 cn
1 0时, (1) n收敛, n 1
n
当z
当z 2时,
1 n 发散, n 1

(1 i )n z n 的收敛半径. 例2 求
n 0

解 因为 1 i 2 (cos i sin ) 2e ,
n (8i) 是否收敛，若收敛， 例4 判断级数 n! n 1

是绝对收敛？还是条件 收敛
解 因为
( 8i )n 8 n , n! n!
所以由正项级数的比值判别法知:
8n n! 收敛, 故原级数收敛, 且为绝对收敛. n1

( 1)n 1 n i ] 是否收敛， 例5 判断级数 [ n 2 n 1 若收敛，是绝对收敛， 还是条件收敛。 1 ( 1)n 解 因为 收敛; n 也收敛, n n1 2 n1
n
收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使
za n za n | cn ( z a ) || cn ( z1 a ) ( ) | M | | z1 a z1 a
n n
(n=0,1,2,…),
因为|z-a|<|z -a|, 故级数
1
收敛
cn ( z a ) n
n 0
cn 1 n 3 lim 解 (1) 因为 n c lim ( n 1) 1, n n

所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1 内收敛, 在圆外发散, 在圆周 z 1 上,级数 n 1
( 2) lim
n
zn 1 3收 敛 。 n 3 n 1 n
f(z) cn(z z0 )n (4.4)
n 0
1 (n) 其中: cn f (z 0 ) n!
n 0 ,1,2 ,
此式称为 f z 在 z 0 的泰勒展开式, 它右
端的级数称为 f z 在 z 0 处的泰勒级数.
说明：(1)若 f(z)有奇点, 那么 f(z)在 解析点z0的Talor展开式的收敛半径 等 R 于从z0到 f(z)的最近的一个奇点之间 α 的距离, 即 R z0 α
lim n | cn | l , (柯西Cauchy )
n
cn ( z a ) n 则幂级数
n 0

ຫໍສະໝຸດ Baidu的收敛半径为:
1/l R=
(l≠0,l≠+∞);
0
+∞
(l=+∞);
(l=0).
(4.4)
幂级数的和函数的解析性:
例1 求下列幂级数的收敛半径:
zn (1) n3 (并讨论在收敛圆周上的情形) n1 ( z 1)n z n (并讨论 0 , 2 时的情形) (2) n 1
z 1 ) . 所以 ( n 1) z ( 2 1 z (1 z ) n 0
z 1
例4计算 解
1 I ( z ) dz , 其中c为 z . c 2 n 1
n

1 在 z 内, 2
n
n 1
z n 收敛,

1 1 n 1 和函数 S ( z ) z z , z 1 z z n 0 n 1
第四章 解析函数的级数表示
(The representation of power series of analytic function)
§4.1复数项级数
§4.2复变函数项级数
§4.3泰勒（Taylor）级数 §4.4洛朗(Laurent)级数
第一讲
§4.1复数项级数
§4.2复变函数项级数
§4.1 复数项级数
a
n 1

n
a
b
n 1

n
b
证明
（留给学生课堂讨论）
解（1）
（2）
1 i 2 n1 例3 级数 是否收敛 ？ n n 1

1 i 2 n1 1 ( 1)n i 1 n 1 n n n i (1) n 解 n1 n1 n1 n1
( 1) n z 2 n1 n 0 ( 2n 1)!
(3)存在一点z1≠a,使级数收敛(此时,根据定理 4.5的第一部分知,它必在圆周|z-a|=|z1-a|内部绝 对收敛),另外又存在一点z2,使幂级数（4.3）
发散.(肯定|z2-a|≥|z1-a|);根据推论知,它必在
圆周|z-a|=|z2-a|外部发散.)
在这种情况下,可以证明,存在一个有限正数R, 使得级数(4.3)在圆周|z-a|=R内部绝对收敛, 在圆周|z-a|=R外部发散.R称为此幂级数的收 敛半径;圆|z-a|<R和圆周|z-a|=R分别称为它 的收敛圆和收敛圆周.在第一情形约定R=+∞; 在第二情形,约定R=0 ,并也称它们为收敛半径.
§4.3泰勒（Taylor）级数
(Taylor’s series)
一、解析函数泰勒定理
二、一些初等函数的泰勒展式
一、解析函数泰勒定理
幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个 解析函数.反过来，解析函数能否展开成幂级数? 定理4.6 设f(z)在区域D内解析 z0 D,R 为z0 , 到D的边界上各点的最短距 则当 z z0 R时, 离,
就能找到一个正数N,
从而有 所以 lim an a . n 同理
lim bn b.
n
反之, 如果 lim an a , n
lim bn b,
n
从而有
[证毕]
二、复数项级数
设 n 是一复数列，则
称为复数项级数.
称为级数的部分和. 若{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限, 即
c z
n 1 n

n
c0 c1 z c2 z .
2
定理4.5(阿贝尔)如果幂级数(4.3)
在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆
K:|z-a|<|z1-a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆)
内绝对收敛.
a
•z1
证明
设z是所述圆内任意点.因为
c z
n 0 n

1
a
4 4


i 4
cn (1 i )n ( 2 )n e ;
c n 1 l lim n c n
n i 4
( 2 ) n 1 lim n n ( 2 )
2.
所以
1 2 R . 2 2
例3 求级数 (n 1)z 的收敛半径与和函数.
n n 0
(2) 奇点α在收敛圆上, 这是因为 在收敛圆 f(z) 内解析, 所以奇点 不可能在收敛圆内.又 α α 奇点 不可能在收敛圆外, 不然的话, 收敛半径还可以扩 大, 因此, 奇点α只能在收敛圆周上.
（）f(z)在点z 的泰勒展式唯一 3 。
0
二、一些初等函数的泰勒展式
例1、求f(z) e , sinz,cosz在z 0的Talor
(2)在收敛圆K内,幂级数
(3)在收敛圆K内,幂级数 可以逐项求积分。
f ( z ) cn ( z a ) n
n 0

可以逐项求导至任意阶。
f ( z ) cn ( z a ) n
n 0
课后作业
P 一、 思考题：1、2
100101
二、习题四：1-5
第二讲
§4.3泰勒（Taylor）级数 §4.4洛朗(Laurent)级数
y
z2 .
R
收敛圆
. z1
收敛半径
o
x 收敛圆周
cn z n 的收敛范围是以a点为中心的圆域. 幂级数
n 0

一个幂级数在其圆周上的敛散性有三种可能: (1)处处发散. (2)处处收敛.
(2)既有收敛点,又有发散点. 幂级数的收敛半径的求法
cn 1 lim l ,(达朗贝尔D ' Alembert） n c n

1 n 1 因为级数 发散, 虽 ( 1) 收敛, n n 1 n n1

原级数仍发散.
定理4.3级数
收敛的必要条件是
证明
因为级数
收敛的充分必要条件是
都收敛，再由实级数 收敛的必要条件是

定理4.4若级数
n 1
zn
收敛，则级数 z 也收敛。
n 1 n

若级数 收敛, 则称 绝对收敛.若级数 收敛, 发散，则称 为条件收敛。

故原级数收敛.
( 1)n 但 为条件收敛, n n1
所以原级数条件收敛。

§4.2 复变函数项级数
(Series of function of complex variable)
一、复变函数项级数 二、幂级数
一、复变函数项级数
设复变函数项级数 f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+… (4.2)
则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为 (4.1)的和,写成 S

n 1
n
否则称级数(4.1)为发散.
例1 级数 z n
n 0
1 zn ( z 1), 1 z n 1 z 1 , lim sn lim n n 1 z 1 z
定理4.2 复级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数) 的充要条件为:
那末 称为复数列{ n } 当 n 时的极限, 记作
lim n .
n
此时也称复数列{ n } 收敛于 .
定理4.1 设复数列 n an bn , a ib, 则
lim n 的充分必要条件是
n
证明
那末对于任意给定 0
的各项均在区域D内有定义,且在D内存在一个函
数f(z),对于D内的每一点z,级数（4.2）均收敛于
f(z),则称f(z)为级数(4.2)的和函数,记为:
f z f n z
n 1
二、 幂级数
形如：
的复函数项级数称为幂级数,其中 a,c0,c1,
c2 ,…, 都是复常数. 以上幂级数还可以写成如下形式

在圆K内绝对收敛.
推论 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散, 则满足|z-a|>|z -a|的点z都是幂级数(4.3)发散.
2
z1
z2
a
幂级数, 首先它在z=a点处总是收敛的，
当 z≠a有以下三种情况:
(1)对所有的复数z 幂级数（4.3）均收敛. 例如,
z2 zn 级数 1 z 2 n 2 n