弹性力学空间问题解答优秀课件

,
z wz
rz
ur z
w, r
r z 0
（7-6） （7-7）
(3)物理方程：将式（7-5）代入式（7-4），得
r
E 1
v
v 1 2v
r
E 1
v
v 1 2v
z
E 1
v
v 1 2v
z
rz
E 2 (1
v ) rz
（7-8）
(4)空间轴对称问题位移求解的基本方程
空间轴对称问题共有四个应力分量，两个位移分量。 以位移求解更方便。
r
z
v
2
2 r 2
z
v
2
1 r
r
z
z
( 2
v )
2
2 z2
rz
r
(1
v )
2
2 z2
（7-14）
拉甫位移函数 的量纲比应力 分量高三次
• 对空间轴对称问题，只要找到满足式（7-13）的位移函
弹性力学空间问题 解答
§7-1 空间问题的基本方程
1. 平衡微分方程方程
x x
yx y
zx z
X
0
xy x
y y
zy z
Y
0
xz
yz
z
Z
0
x y z
2. 几何方程
x
u x
v y y
z
w z
xy
yx
v x
u y
yz
zy
w y
v
• 一. 柱坐标系下的基本方程
直角坐标系下，空间一点M的位置由（x,y,z）表示，在柱坐
标系下，空间一点M的位置由（r, , z）表示。两坐标间的关
系为：
x r co , s y r si,n z z
在柱坐标系下的应力分量为
r ,,z ,r r , z z ,z rrz
应变分量为
r,,z,r,z,zr
位移分量为
ur ,u , w,
柱坐标表示的基本方程
• 1. 平衡方程
r
r
1 r r
rz
z
r
r
Fr
0
2ur t 2
r
r
1 r
z
z
2r
r
F
0
2u t 2
rz
r
1 r
z
z
z
rz
r
Fz
0
2w t 2
（7-1）
• 2. 几何方程
r
ur r
,
1 r
u
ur r
,
z
w z
zr0, zr0
（7-5）
应力分量、应变分量、位移分量仅是r，z的函数， 与无关。
4. 空间轴对称问题的基本方程
(1)平衡方程：将式（7-5）代入式（7-1），得
r
r
rz
z
r
r
Fr
0
2ur t2
rz
r
z
z
rz
r
Fz
02tw2
(2)几何方程：将式（7-5）代入式（7-2），得
r
ur r
,
ur r
E 2(1 v)
1 1 2v
r
2ur
ur r2
Fr
0
E 2(1 v)
1 1 2v
z
2w
Fz
0
（7-10）
2
2 r 2
1 r
r
2 z2
• 不计体力：
1 1 2v
r
2ur
ur r2
0
1 2w 0
1 2v z
（7-11）
位移控制方程
• 为求得式（7-11）的解，拉甫（Love,A.E.H）引进一
2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用应 力表示——应力控制方程
3. 应力函数法：先引入应力函数，满足微分平衡方
程。
由微分平衡方程得应力函数与应力分量的关系，再将 用应力函数表示的应力分量代入相容方程，得到一组 用应力函数表示的相容方程，即应力函数表示的控制 方程。
§7-2柱坐标和球坐标系下的基本方程
z
zx
xz
w x
u
z
ij 12(ui,j uj,i)
3. 物理方程
x 2 G x y 2 G y
z 2 G z xy G xy
yz G yz
zx G zx
kkxyz
ij ij2G ij
x
x 2G
2G
3
2G
y
y 2G
2G
3
2G
个位移函数 (r, z) ，它和位移分量有如下关系：
ur
1 2G
2
rz
w
1 2G
2(1
v)2
2 z2
（7-12）
• 将式（7-12）代入式（7-11），其中第一式满足，第二 式为：
4 0
（7-13）
表明 (r, z) 为双调和函数，称为拉甫位移函数。
• 将式（7-12）代入式（7-9）,得应力分量与位移函数的 关系式:
1v 12v
r
,
z
E 2(1
v)
z
E v
1v 12v
,
rz
E 2(1
v)
r
z
z
E 1 v
v
1 2v
z
,
r
E 2(1
v)
r
（7-3） （7-4）
• 当物体的几何形状、约束情况以及外力都对称于z轴时， 则称为空间轴对称问题。
• 在空间轴对称问题中，有：
urur(r,z), u0, ww (r,z)
将几何方程（7-7）代入物理方程（7-8），得
r
E 1
v
v 1 2v
ur r
E v 1 v 1 2v
u r r
z
E 1
v
v 1 2v
w z
rz
E u r 2 (1 v ) z
w r
ur ur w r r z
（7-9）
• 将式（7-9）代入平衡方程（7-6），化简后得
2 z x2
2 x z2
2 zx xz
2
2 x yz
x
yz x
zx y
xy z
2
2 y zx
y
yz
x
Baidu Nhomakorabea
zx y
xy z
2
2 z xy
z
yz
x
zx y
xy z
5. 边界条件：
位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿
x，y，z方向给定位移为 u,v,w，则
uu ,vv,w w
应力边界条件：给定表面上的面力为 Tx ,Ty ,Tz
xl xym xzn Tx
xy
l
y
m
yzn
Ty
xzl
yzm
zn
Tz
• 求解空间问题同样有位移法、应力法和应力函 数法三种方法。
1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。
z
1 r
w
u z
rz
ur z
w r
r
1 r
w
u z
（7-2）
• 3. 物理方程
r 2G r , 2G , z 2G z ,
z G z
rz
G rz
r
G
r
r z
Ev
, G E
(1 v)(1 2v)
2(1 v)
或
r
E v
z
z 2G
2G
3
2G
xy
xy G
yz
yz G
zx
zx G
ü各种弹性常数之间的关系
xyz
G 2 1 E , 1 E 1 2 ,K 3 1 E 2
4. 相容方程
2 x 2 y 2 xy y2 x2 xy
2 y z2
2 z y2
2 yz yz