数列在现实生活中中的应用及其求解策略

数列在现实生活中得应用及其求解策略

云南会泽县第一中学 郭兴甫 唐孝敬 邮编：654200

数列就是特殊得函数，其与方程、不等式联系紧密，在现实生活中应用广泛，在利用数列解决现实中得问题时，首先要认真审题，深刻理解问题得实际背景，弄清蕴含在问题中得数学关系，把应用问题转化为数学中得等差数列、等比数列问题，然后求解。本文举例说明数列在现实生活中得应用及其求解策略，以期对同学们得学习有所帮助！

一、方案设计型

例1、某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加%30得利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两次方案得使用期都就是10年，到期一次性归还本息。若银行两种形式得贷款都按年息%5得复利计算，试比较两种方案中，那种获利更多？

（参考数据6.555.1,7.133.1,6.105.1101010≈≈≈）

分析：这就是一道比较常见得数列应用问题，方案选择，由于本息与利润就是熟知得概念，对甲方案，每年得获利满足等比数列；对乙方案，每年获利构成等差数列，因此只需建立通项公式，求与公式，并运用所学过得公式求解即可．

解：对甲种方案获利为：9

2%)301(%)301(%)301(1+++++++Λ 3.423.013.110≈-=（万元）

银行贷款本息与：16%)51(1010≈+⋅（万元）

故甲种方案纯利：3.26163.42=-（万元）

对乙种方案获利：)5.091()5.021()5.01(1⨯+++⨯++++Λ

万元）(5.325.02

910110=⨯⨯+⨯= 银行贷款本息与：]%)51(%)51(%)51(1[05.192+++++++⨯Λ

6.1205

.0105.105.110≈-⨯=（万元） 故乙种方案纯利：（万元）9.196.12-5.32=

综上由9.193.26>可得，甲方案更好。

二、汽车保有量问题

例2、为综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”得新规．某大城市2012年初机动车得保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量得5%，且报废后机动车得牌照不再使用，同时每年投放10万辆得机动车牌号，只有摇号获得指标得机动车才能上牌．经调研，获得摇号指标得市民通常都会在当年购买机动车上牌．

（1）问：到2016年初，该城市得机动车保有量为多少万辆；

（2）根据该城市交通建设规划要求，预计机动车得保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解．问：至少需要多少年可以实现这一目标． （参考数据：40.950.81=，50.950.77=，lg0.750.13=-，lg 0.950.02=-）

分析：（1）首先将实际问题分析，得到关于各年年初机动车保有量得递推关系，然后结合数列得性质，构造得到等比数列，进而得到其通项公式

（2）在第一问得基础上，解关于n 得不等式，进而估算法得到结论

（1）设2012年年初机动车保有量为1a 万辆，以后各年年初机动车保有量依次为2a 万辆，3a 万辆，……，每年新增机动车10万辆，则1600a =，10.9510n n a a +=+． 又12000.95(200)n n a a +-=-，且1200600200400a -=-=

所以数列{200}n a -就是以400为首项，0.95为公比得等比数列．

所以12004000.95n n a --=⋅，即14000.95200n n a -=⋅+．

所以2016年初机动车保有量为454000.95200524a =⋅+=万辆．

（2）由（1）题结论可知， 14000.95200500n n a -=⋅+<，即 10.950.75n -<，

所以 lg 0.7517.5lg 0.95n >

+=，故至少需要8年时间才能实现目标 评注：本试题主要就是考查了数列在实际生活中得运用，借助于等比数列得概念，与等比数列得通项公式来表示机动车保有量，然后借助于不等式得相关知识，求解对数不等式，得到结论。

三、旅游问题

(1)设n 年内（本年度为第1年）总投入n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出n n b a ,得表达式；

(2)至少要经过几年，旅游业得总收入才能超过总投入？

分析：由题意每年投入得资金数成等比数列，旅游收入成等比数列，可把这个实际问题转化为等比数列得求与问题，进而转化为不等式求解。

(2)设至少经过n 年旅游业得总收人才能超过总投入，因此,0>-n n a b

所以至少要经过5年旅游业得总收入才能超过总投入．

评注：解数列应用题应明确问题就是属于哪一类应用问题，即明确就是等差数列问题还就是等比数列问题，还就是含有递推关系得数列问题，就是求通项公式，还就是求前n 项与公式，转化为数列，不等式问题解决。

四、国家助学贷款问题

例4、国家助学贷款就是由财政贴息得信用贷款（即无利息贷款），旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需得学费、住宿费及生活费、每一年度申请总额不超过6000元、某大学2013届毕业生小王在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清、签约得单位提供得工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元、小王计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一个月多x 元、

（1）假设小王在第m 个月还清贷款（36,m m N +≤∈），试用x 与n 表示小王第n （,n m n N +<∈）个月得还款额n a ；

（2）当40x =时，小王将在第几个月还清最后一笔贷款？

（3）在（2）得条件下，她还清最后一笔贷款得那个月得工资得余额就是否能满足此月3000元得基本生活费？（参考数据：201.05 2.653=）

分析：由题意前12个月还款不变，从第13个月开始，每月比前一个月还款多x ，设每月得还款数为n a ，则该数列从13项开始，构成等差数列，进而利用等差数列求与公式转化解决。

解：（1）由题意有500(112)500(12)(13)

n n a n x n m ≤≤⎧=⎨+-≤<⎩ （m 、*n N ∈ 且36m ≤ ） （2）设小王第n 个月还清，则应有

(12)(121)12500(50040)(12)40240002

n n n ---⨯++⨯-+⋅≥

整理可得2210680n n +-≥，解之得113231n ≥->-+=，取32n =、