第4章 图像基本变换

值。
N=8时，Haar基图像
右下象限部分可以用来 搜索图像中不同位置的 小特征
Haar变换的特征： Haar函数的一个重要特性——收敛均匀而迅速
复合剪切可看作水平剪切和垂直剪切的组合，故：
先水平后垂直
先垂直后水平
次序不同产生的 结果是不一样的
不一样
(6) 仿射定理（自学）
前述5个定理实际上是仿射定理的特例。仿射定理的通用形式：
其中，
(7)
卷积定理
卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即一个域 中的卷积对应于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积对应于频域中的乘积。
实数：real；虚数：Image
2-D Discrete Fourier Transform
正弦信号的傅里叶频谱
均值为0 两条竖线（共轭对称）为频 谱响应 Fourier变换得频率单位和正 弦频率单位不同
空间频率
空间域（正弦波形的浓淡变化）
2-D离散函数的平均值
2-D傅立叶变换的频谱（幅度函数）、相位角和功率谱（频谱的平方）定义如下：
figure(1); subplot(221); imshow(img); title(’原始图'); subplot(222); imshow(255* ampfft/max(ampfft(:))); title(‘频谱图'); subplot(223); imshow(255* phasefft/max(phasefft(:))); title(‘相位图'); subplot(224); imshow(ifftimg,[]); title(‘复原图');
0 + + + + + + + +
1 + + + + -
2 + + + + -
3 + + + +
4 + + + + -
5 + + + +
6 + + + +
7 + + + + -
行列正交性、 对称性
N=8时1DWalsh变换核的值
u\x 0 1 2 3 4 5 0 + + + + + + 1 + + + + 2 + + + + 3 + + 4 + + + 5 + + + 6 + + + 7 + + +
写成矩阵形式：
2-D DCT
2-D DCT的矩阵形式
Example:
离散余弦变换具有很强的“能量集中”特性， 能量主要集中在左上角处，因此在实际图像应 用中,能量不集中的地方可在余弦编码中忽略
原始图像
DCT系数
反变换图像
DCT的应用——压缩编码
Haar函数的定义
故，Haar函数进一步定义为
到频率分布上来观察图像的特征。即：傅里叶变换提供了一条从空域到
频域自由转换的途径。
图像变换在图像处理中的应用
沃尔什变换(Walsh Transform, WT)
由于傅里叶变换和余弦变换的变换核由正弦、余弦函数组成， 运算量大。在特定问题中，往往引进不同的变换方法，以求运 算简单且变换核矩阵产生方便。 Walsh Transform 中的变换矩阵简单（只有1 和－1），占用 存储空间少，产生容易，有快速算法，在需要实时处理大量数 据的图像处理问题中，应用广泛。 Walsh 和哈达玛变换相比傅立叶变换缺乏明确的物理意义和比 较直观的解释。
thresh = 1.15*mean(corr(:)); figure subplot(221); imshow(img); title('orignal'); subplot(222); imshow(img1); title('cropped image'); subplot(223); imshow(corr,[]); title('correlation'); subplot(224); imshow(corr>thresh,[]); title('matching points');
快速傅立叶变换
快速傅立叶变换（FFT， Fast Fourier Transform）：根据傅立叶变换的 可分离性，2D变换可分解为两次连续的1D变换得到。 计算结果存储，备查
结论
• 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信
号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小 反应了信号的变化快慢。高频分量解释信号的突变部分，而低频分量决 定信号的整体形象。 • 在图像处理中，频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度，也就是图像 灰度的变化速度，即图像的梯度大小。 • 对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域 上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部 分则为低频分量。 • 傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化
反变换
(4) 正交性
称为正交变换。正交变换的逆变换仍是正交变换。
任何周期函数都可以 表示为不同频率的正 弦和 / 或余弦和的形 式 对非周期函数也成立 （有限性条件下）
Jean Baptiste Joseph Fourier Born: 21 March 1768, France Died: 16 May 1830
空间卷积
频域乘积
(8) 相关定理 相关函数，是指两个信号之间相似性的一种量度
相关定理指出：两个函数在空间的相关与它们的傅立叶变换（其中一个为其复共轭）在 频域的乘积构成一个变换对，而两个函数（其中一个为其复共轭）在空间的乘积与它们 的傅立叶变换在频域的相关构成一对变换。
傅立叶变换可用于与卷积密切有关的相关运算（Correlation）。——匹配模板 bw = im2bw(imread('text.jpg')); a = bw(46:59, 82:93); C = real(ifft2(fft2(bw) .* fft2(rot90(a,2),256,256))); thresh = max(C(:))-11; figure subplot(131); imshow(bw); subplot(132); imshow(C,[]); subplot(133); imshow(C>thresh);
DCT变换是一种可分离和对称变换，可借助Fourier变换的实数部分计算。在傅
里叶级数展开式中，被展开的函数是实偶函数时，其傅里叶级数中只包含余弦 项，称之为余弦变换 近年来DCT得到广泛应用，尤其是图像编码（压缩）算法中 归一化加权系数
1-D DCT
Example:
如果令N=4，由一维解析式定义可得如下展开式：
Haar-like特征，即很多人常说的Haar特征，是计算机视觉领域一种常用的特征描述 算子。它最早是由Papageorigiou 等人用于人脸描述。目前常用的Haar-like特征可 以分为三类：线性特征、边缘特征、点特征（中心特征）、对角线特征。
显然，边缘特征有4种：x方向，y方向，x倾斜方向，y倾斜方向；线特征有8种，点特征 有2种，对角线特征有1种。每一种特征的计算都是由黑色填充区域的像素值之和与白色 填充区域的像素值之和的差值。而计算出来的这个差值就是所谓的Haar-like特征的特征
背景
图像变换：指在不同空间对图像进行的变换
目的：为了快速和有效地对图像进行处理，
通常需要：空域空间→变换空间→处理→空域空间 图像的变换空间具有特殊的性质，有利于进行滤波等处理 正变换：空域空间→变换空间 反变换（逆变换）：变换空间→空域空间
图像变换的方法和种类很多，其原理和效果是不同的 变换不同的原因是不同变换其变换核存在差异 变换之后的有利特性有：可分离性、对称性、正交性
������������ ������=1,������ℎ������������ ������=0,������=1
N=8时的Haar函数波形见右图，有如下特征
h(0,t) t h(1,t)
t
h(2,t) t h(3,t) t h(4,t) t h(5,t) t h(6,t) t h(7,t) t
另一个例子
img = rgb2gray(imread('demo4.jpg')); [r c] = size(img); img1 = img(:, floor(2*c/3):end);
corr = real(ifft2(fft2(img) .* fft2(rot90(img1,2),r,c)));
频（幅度）谱
相位角
功率谱
img = rgb2gray(imread('tiananmen.jpg')); img = imresize(img, 0.5); fftresult = fft2(img); fftimg = fftshift(fftresult); ampfft = abs(fftimg); phasefft = angle(fftimg); ifftimg = ifft2(fftresult);
N=2时，
例如，
Example
原图像
WHT结果
二维 WHT 具有能量集中的特性，而且原始数据中数据越是
均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此， 二维WHT可用于压缩图像信息。
图像压缩示例
如果Walsh变换后的右下角存在非零元素，则按此方法复原的图像会丢失细节（高 频）信息
傅立叶变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于 实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换
（1）变换核
正向变换核
一 维 情 况
反向变换核
二维情况的正反变换
(2) 可分离性 变换核可分离
2D变换=1D变换+1D变换
(3) 对称性
此时，一个2D变换可借助两个同样的1D变换来计算。变换可用矩阵形式描述：
利用矩阵形式的变 换表示，得到的变 换矩阵可分解成若 干个具有较少非零 元素的矩阵乘积， 减少冗余和操作次 数。
1-D沃尔什变换
N=8时1DWalsh变换核的值
u\x 0 1 2 3 4 5 6 7 0 + + + + + + + + 1 + + + + 2 + + + + 3 + + + + 4 + + + + 5 + + + + 6 + + + + 7 + + + + -
行列正交性、 对称性
反变换核
反变换
2-D Walsh变换
正反变换核
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正反变换
2-D Walsh变换的矩阵形式
Example:
解:
?
能量集中性质
Walsh 变换后的数据会集中于 矩阵的边角上，可见此变换可
以用于图像信息压缩
1-D Hadamard Transform 变换核
Walsh变换核
Example
u\x 0 1 2 3 4 5 6 7
任何周期函 数都可以表 示为不同频 率的正弦和/ 或余弦和的 形式
http://zhuanlan.zhihu.com/w
Fourier变换是数学棱镜，将函数基于频率分成不同成分
空间坐标函数
Fourier Transform
频率成分
1-D Discrete Fourier Transform
变换核
（1）平移定理
推导
(2)旋转定理
(3)尺度定理
幅度也受影响
效果相反
比较结果
(4) 纯剪切定理
纯剪切指沿水平或垂直方向的剪切。水平剪切描述了水平方向的剪切失真，垂直
剪切描述了垂直方向的剪切失真 比如正方形的剪切失真结果，高度和宽度不变，具有相同面积
(5) 复合剪切定理（自学）
将平移定理和尺度定理相结合可得到复合剪切定理：
1-D Walsh变换的离散形式
Example:
一维Walsh变换的物理意义
正如一维傅立叶变换（连续）是将一个函数分解成无
穷个正弦波的叠加，而傅立叶幅度谱是这些正弦波的
幅度系数。 一维 Walsh 变换（连续）是将一个函数分解成无穷 个 Walsh 函 数 （ 方 波 ） 的 叠 加 ， 而 F(u) 是 这 些 Walsh函数的幅度系数
行列正交性、 对称性
6
7
+
+
-
-
+
+
+
-
+
+
+
-
2-D Hadamard Transform
相同
两种变换的联系
两种变换的 1和 -1的次序不同，但仍保持正交和对称，故 Walsh-Hadamard变换指
两者之一 如 果 变 换 核 是 可 分 离 的 和 对 称 的 函 数 时 ， 变 换 可 写 成 矩 阵 形 式 。 Walsh 和 Hadamard都可以写成矩阵形式，区别在于Hadamard矩阵可用迭代方式获得。