可降解的二阶微分方程
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第四节 可降阶的二阶微分方程
一、y (n) f (x) 型的微分方程 二、y f (x, y) 型的微分方程
三、y f ( y, y) 型的微分方程
一、y(n) f (x) 型
特点：等式右端仅含有自变量x.
解法：令 z y(n1) , 则 d z y (n) f (x) ,
dx
因此 z f (x) dx C1
即 y (n1) f (x) d x C1
再次积分得 y (n2) ( f (x) d x C1 ) d x C2
( f (x) d x ) d x C1 x C2
依次n次积分, 得含n个任意常数的通解 .
例1 求 y e2x sin x 的通解.
解 积分得
y e2x sin x dx C1
关于x, p的 一阶微分方程
故方程的通解为：y ( x,C1 )dx C2
例2 求微分方程 (1 x 2 ) y 2xy 1
满足初始条件 y x0 0, y x0 1的特解.
解
设 y
p
p(x)，则 y
d
p
p
代入方程得
dx
(1 x2 ) p(x) 2xp(x) 1
整理有
p(x) 2x p(x) 1 ，
2. y arcsin(C2e x ) C1；
3. y 1 1 . C1 x C2 x
4.
y
1 6
x3
sin
x
c1 x
c2
5. y c1 ln x c2
二、 y 1 x3 1 x 1. 62
以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢 谢大家！
17
y 原方程的通解为 C2 eC1x .
小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
1. y (n) f (x) 逐次积分
2. y f (x , y)
令 y p(x) , 则 y dp
dx
3. y f ( y , y)
令 y p( y) , 则 y p dp
dy
练习题
一、求下列各微分方程的通解:
1 2
e2x
cos
x
C1
y
1 4
e2x
sin
x
C1 x
பைடு நூலகம்
C2
y
1 8
e 2 x
cos
x
C1 2
x2
C2 x
C3
二、y f ( x, y) 型
特点： 不显含 y.
解法：设 y p p(x)，则 y
d
p
p
方程变为 p f（x，p）. d x
设其通解 p (x,C1 )
即
d d
y x
(x,C1 )
1 x2
1 x2
故方程的通解为：
p(x) (
1 1 x2
e
2 1
x x
2
dx
d
x
C1
)e
2 1
x x
2
dx，
(
1 1 x2
e d ln(1 x2 )
x
C1 ) e ln(1 x2 )
1 1 x2
(
1
1 x
（1
2
x
2）d
x
C1
)，
1 ( 1 x2
1d x C1 )，
1
1 x2
dy
( y,C1)
x
C2.
例3 求 yy ( y)2 0 的通解.
解一 设 y p p( y)，则
y dp dy p dp ,
dy dx dy
代入原方程得 y p dp p2 0,
即
p(
y
dp
p)
dy
0,
dy
由 y dp p 0，得 1 d p 1 d y
dy
p
y
故 p C1 y,
特点： 方程中不显含x.
解法：设 y p p( y)，则
y d p d p d y p d p
dx dy dx dy
方程变为 p dp f ( y, p) dy
关于y, p的一阶微分方程
设通解为：p ( y, C1 ) 即 y ( y,C1 )
分离变量并积分，可得原方程的通解为：
1． y 1 y2
2. y ( y)3 y
3. y 2 y2 0 1 y
4. y x sin x
5. xy y 0
二 、 试 求 y x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线
y x 1相切的积分曲线 . 2
练习题答案
一 1. y ln cos( x C1 ) C2
(x
C1 )，
即 y x C1
1 x2
故
y
1 2
ln( 1
x2
)
C1
arctan
x
C2
,
由 y x0 0, y x0 1 得
0
1
1
2 0
1
ln 1
C1 02
C1
arctan 0 C2
故
CC21
1 0
所以
y 1 ln( 1 x2 ) arctan x. 2
三、y f ( y, y) 型
即 dy dx
C1 y，分量变量得
1 y d y C1 d x
所以原方程的通解为 y C2 eC1x .
解二
两端同乘不为零因子
yy y2 d y
1 y2
,
y2
( ) 0, dx y
故 y C1 y,
从而通解为 y C2 eC1x .
y y 解三 原方程变为 ,
y y 两边积分得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
一、y (n) f (x) 型的微分方程 二、y f (x, y) 型的微分方程
三、y f ( y, y) 型的微分方程
一、y(n) f (x) 型
特点：等式右端仅含有自变量x.
解法：令 z y(n1) , 则 d z y (n) f (x) ,
dx
因此 z f (x) dx C1
即 y (n1) f (x) d x C1
再次积分得 y (n2) ( f (x) d x C1 ) d x C2
( f (x) d x ) d x C1 x C2
依次n次积分, 得含n个任意常数的通解 .
例1 求 y e2x sin x 的通解.
解 积分得
y e2x sin x dx C1
关于x, p的 一阶微分方程
故方程的通解为：y ( x,C1 )dx C2
例2 求微分方程 (1 x 2 ) y 2xy 1
满足初始条件 y x0 0, y x0 1的特解.
解
设 y
p
p(x)，则 y
d
p
p
代入方程得
dx
(1 x2 ) p(x) 2xp(x) 1
整理有
p(x) 2x p(x) 1 ，
2. y arcsin(C2e x ) C1；
3. y 1 1 . C1 x C2 x
4.
y
1 6
x3
sin
x
c1 x
c2
5. y c1 ln x c2
二、 y 1 x3 1 x 1. 62
以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢 谢大家！
17
y 原方程的通解为 C2 eC1x .
小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
1. y (n) f (x) 逐次积分
2. y f (x , y)
令 y p(x) , 则 y dp
dx
3. y f ( y , y)
令 y p( y) , 则 y p dp
dy
练习题
一、求下列各微分方程的通解:
1 2
e2x
cos
x
C1
y
1 4
e2x
sin
x
C1 x
பைடு நூலகம்
C2
y
1 8
e 2 x
cos
x
C1 2
x2
C2 x
C3
二、y f ( x, y) 型
特点： 不显含 y.
解法：设 y p p(x)，则 y
d
p
p
方程变为 p f（x，p）. d x
设其通解 p (x,C1 )
即
d d
y x
(x,C1 )
1 x2
1 x2
故方程的通解为：
p(x) (
1 1 x2
e
2 1
x x
2
dx
d
x
C1
)e
2 1
x x
2
dx，
(
1 1 x2
e d ln(1 x2 )
x
C1 ) e ln(1 x2 )
1 1 x2
(
1
1 x
（1
2
x
2）d
x
C1
)，
1 ( 1 x2
1d x C1 )，
1
1 x2
dy
( y,C1)
x
C2.
例3 求 yy ( y)2 0 的通解.
解一 设 y p p( y)，则
y dp dy p dp ,
dy dx dy
代入原方程得 y p dp p2 0,
即
p(
y
dp
p)
dy
0,
dy
由 y dp p 0，得 1 d p 1 d y
dy
p
y
故 p C1 y,
特点： 方程中不显含x.
解法：设 y p p( y)，则
y d p d p d y p d p
dx dy dx dy
方程变为 p dp f ( y, p) dy
关于y, p的一阶微分方程
设通解为：p ( y, C1 ) 即 y ( y,C1 )
分离变量并积分，可得原方程的通解为：
1． y 1 y2
2. y ( y)3 y
3. y 2 y2 0 1 y
4. y x sin x
5. xy y 0
二 、 试 求 y x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线
y x 1相切的积分曲线 . 2
练习题答案
一 1. y ln cos( x C1 ) C2
(x
C1 )，
即 y x C1
1 x2
故
y
1 2
ln( 1
x2
)
C1
arctan
x
C2
,
由 y x0 0, y x0 1 得
0
1
1
2 0
1
ln 1
C1 02
C1
arctan 0 C2
故
CC21
1 0
所以
y 1 ln( 1 x2 ) arctan x. 2
三、y f ( y, y) 型
即 dy dx
C1 y，分量变量得
1 y d y C1 d x
所以原方程的通解为 y C2 eC1x .
解二
两端同乘不为零因子
yy y2 d y
1 y2
,
y2
( ) 0, dx y
故 y C1 y,
从而通解为 y C2 eC1x .
y y 解三 原方程变为 ,
y y 两边积分得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，