1.9：三矢量的混合积

（a b）c （a b） c （a b） c
a
b
2.定义
c ，数量 b 、 定义 1.9.1 设已知三个矢量 a 、
(a b ) c
称为这三个矢量的混合积，记为 (a, b, c)或(abc) .
关于混合积的说明：
（1）矢量混合积的几何意义：
向量的混合积
(abc ) (a b ) c 是这样
式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.
计算[( a b ) ( b c )] ( c a ) . 解 [(a b ) (b c )] (c a ) [a b a c b b b c )] (c a ) (a b ) c (a c ) c 0 c (b c ) c 0 0 (a b ) a (a c ) a 0 a (b c ) a 0 0 (a b ) c 2(a b ) c 2(abc ) 4.
定理1.9.2 三向量a 、b 、 c 共面 (abc ) 0.
证明: 先证明必要性 “”，即已知三个矢 a , b , c 量 共面，求证 (abc ) 0.
因为 三向量a 、b 、 c 共面 ，所以 a b c，
（因为由定义可知：a b a且a b b）
ab
a b c
右手系时， (abc ) V
h
a
b
c

b
S=|a b|
a c
左手系时， (abc ) V
3.
混合积的几何意义
| [abc] | | a b c | | a b | | 射影ab c | S h V
因此，三矢 a, b, c共面
(abc ),(bca ),(cab ) 的绝对值都等于以 a , b , c
棱的平行六面体的体积, 即它们的绝对值相等.
为
又因为
(abc ), (bca ), (cab )
a
具有相同的左右手系,
(因为轮换不改变左右手系)
c
b
a
b c c
b
即它们的符号也相同. 证毕.
a百度文库
推论
(a b ) c a (b c )
1 V [ AB AC AD] 6
AB { x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 }
AC { x3 x1 , y3 y1 , z3 z1 } AD { x4 x1 , y4 y1 , z4 z1 }
1 V x3 x1 6 x4 x1 x2 x1 y2 y1 y3 y1 y4 y1 z2 z1 z3 z1 z4 z1
X3 X1
推论 三个矢量
Y3 Y1
Z3 Z2
X1 X3
Y1 Y3
Z1 Z2 Z3
Z1 X 2 Y2
X 2 Y2
a, b , c
X1 X3 Y1
共面的充要条件为
Z1 Z2 0 Z3
X 2 Y2 Y3
思考：在仿射坐标系下以上二式成立否？
例2. 已知四面体ABCD的顶点坐标A(0, 0, 0), B(6, 0, 6),
例4 已知 ( abc ) 2 ，
例5 设三矢量 a 、b 、c 不共面， 求矢量 d 对
a , b , c 的分解式. (也即将 d 表示成 a , b , c 的
线性组合)
解: 因为三矢量 a 、b 、 c 不共面， 所以可设
d xa yb zc
上式两边同时点乘 b c , 得
1.9 三矢量的混合积
1.复习(数性积和矢性积) 数性积
a b a b cos (a , b ) 是一个数量.
是一个矢量.
矢量a 与 b 的 矢性积为 a b
方向既垂直于 a ，又垂直于 b ，且符合右手 ab 系{a ,b , }. a b
现在考虑：
| a b || a || b | sin (其中 为a 与b 的夹角)
所以,
(abc ) 0， 即三矢量 a 、b 、c 共面.
5.矢量混合积在直角坐标系下的分量表示
• 设直角坐标系 {O; i , j , k },
a X1i Y1 j Z1k , b X 2i Y2 j Z 2 k , c X 3i Y3 j Z3k ,
ab
其混合积 (abc) = 0
h
c

b
a
定理1.9.1 三个不共面的矢量 a , b , c 的混合积的绝 对值等于以 a , b , c 为棱的平行六面体的体积, 并且 当
a , b , c 构成右手系时混合积为正数; 当 a , b , c (abc ) V , 1.
构成左手系时混合积为负数, 也就是有
因为 (a b ) c (abc ) (bca ) a (b c )
例1 设三向量
a , b , c 满足
试证三矢量 a 、b 、c 共面
证明: 由
a b b c c a 0,
a b b c c a 0, 两边与 c作数性积，得 (abc ) (bcc ) (cac )
定理1.9.4
X1 X3
Y1 Y3
Z1 Z2 Z3
X1 X 1 Y1 j k X2 X 2 Y2
(abc ) X 2 Y2
证明:
Y1 Y2 Z1 Z1 i Z2 Z2
因为a b
所以,（a b） c

Y1 Y2
Z1 Z1 X3 Z2 Z2
X1 X 1 Y1 Y3 Z3 X2 X 2 Y2
(abc ) 0. 证毕. 再证明充分性 “”，即已 (abc ) 0，求证: 知 三个矢量共面.
首先,若 矢量a与b 共线， 即 a b 0，结论显然成立. 以下设 a b 0. 由 (abc ) 0 及定义,得 （a b） c 0 即 a b c 而又 a b a, a b b , 所以, 矢量 a, b , c都与a b
向量的混合积（结果是一个数量）
（注意共线、共面的条件）
例6 已知向量a 0，b 0 ， 2 2 2 2 证明| a b | | a | | b | ( a b ) .
证明:
2 2 2 2 | a b | | a | | b | sin (a, b ) 2 2 2 | a | | b | [1 cos (a, b )] 2 2 2 2 2 | a | | b | | a | | b | cos (a, b ) 2 2 2 | a | | b | (a b ) .
C(4, 3, 0), D(2, -1, 3), 求它的体积. D
解:
它的体积等于以 AB, AC , AD
为棱的平行六面体体积的六分之一
1 即，V ( AB, AC , AD) 6 A 而， AB {6， 06}， AC {4， 3，， 0}
AD {2， 1，， 3} 6 0 6 所以 1 V 4 3 0 1 6 2 1 3
C
B
例3
已知空间内不在一平面上的四点
A( x1 , y1 , z1 ) 、 B ( x 2 , y 2 , z 2 ) 、C ( x 3 , y 3 , z 3 ) 、 D( x 4 , y4 , z 4 ) , 求四面体的体积.
解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量 AB 、
AC 、 AD 为棱的平行六面体的体积的六分之一.
d (b c ) xa (b c ) yb (b c ) zc (b c )
则得
(dbc ) 同理可以得到 y (adc ) , (abd ) x , z . (abc ) (abc ) (abc )
小结
向量的数量积（结果是一个数量）
向量的向量积（结果是一个向量）
证毕.
思考与练习： 第60页, 1.5（1）
作业： 第60页, 2. 4.
垂直, 所以 三矢量 a 、b 、c 共面 证毕.
三向量a 、b 、c 共面 (abc ) 0.
4.混合积的性质 定理1.9.3
(abc ) (bca ) (cab ) (bac ) (cba ) (acb )
证明: 三个矢量共面时,结论显然成立. 以下设它们不 共面. 只证明第一组. 第二组可以类似考虑.
a b c
的一个数，它的绝对值表 示以向量a 、b 、 c 为棱的 平行六面体的体积. (a b ) c a b c cos (a b , c )
a
b
3.
混合积的几何意义
| [abc] | | a b c | | a b | | 射影ab c | S h V