向量的坐标表示
§4.1 平面向量（四）
——平面向量的直角坐标及运算
一、复习旧知：（1）坐标系和点的坐标表示；
（2）数和向量的意义和表示方法。
导入：哲学家卡尔.波普尔曾指出“科学与知识的增长永远始于问
题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题的问题”，这对数学亦不例外。
因此，在新课的引入中首先提出“在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对实数（即它的坐标）来表示”。同样，在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也可以用一对实数来表示?”启发学生思考
二、新授：
1、用坐标表示起点为原点的平面向量：
i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量。则
一般地，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j，则对平面内任一向量a，都有唯一一对实数x、y，使得a=xi+yj我们把有序数对（x,y）叫做向量a的直角坐标，记作a=(x,y)
我们把( x , y ) 叫做向量的直角坐标，记作)
,
x
(y
其中x 叫做a 在 x 轴上的坐标， y 叫做a 在y 轴上的坐标。
2、运算律：
（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：
),(2121y y x x b a ±±=±→
→
（其中),(),,(2211y x b y x a ==→
→
）
（2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标：
如果),(),,(2211y x B y x A ，则),(1212y y x x AB --=→
-；
（3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标： 若),(y x a =→，则),(y x a λλλ=→
；
例题1： 用:单位向量→
i 、→j 分别表示向量→a 、→b 、→c 、→
d ，并求它们的坐标；
方法一：→
a =→-→-+21AA AA =2→i +3→j ，∴→a =（2，3）同理→
b =（-2，3），→
c =（-2，-3），
→
d =（2，-3）
方法二： A （2，2），B （4，5）∴→
a =（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）=
（2，3）
同理→b =（-2，3），→c =（-2，-3），→
d =（2，-3）
方法三： →-OA =（2，2），→-OB =（4，5）∴→a =→-OB -→
-OA =（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）=（2，3）
同理→b =（-2，3），→c =（-2，-3），→
d =（2，-3）（2，2）=（2，3）
例题2：已知a =（1,2）,b =(-5,3),求a +b ,a -b,3a -2b 分析：用向量的运算律进行计算 :拓展练习：
例题3：已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为 （-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D 的坐标；
分析：本题检测如何用向量的终点和始点坐标求向量的坐标，并利用相等向量的坐标相同，建立等量关系求D 点的坐标；
解：设D 点坐标为（x ，y ）→
-AB =（-1，3）-（-2，1）=（1，2）
→
-DC =（3，4）-（x ，y ）=（3-x ，4-y ）
由→-AB =→
-DC 得1=3-x ，2=4-y ，所以x=2，y=2，即D 点的坐标为 （2，2） 三、练习
已知：点A （2，3）、B （5，4）、C （7，10），若)(R AC AB AP ∈?+=→
-→
-→
-λλ，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上？点P 在第三象限内？
四 小结:（1）用坐标表示起点为原点的平面向量：（2）运算律
五、作业：教材第94页2、3、4题
练习课
一、复习：（1）平面向量的坐标表示；
（2）平面向量的坐标运算律
导入：某人在推小车，水平方向位移为s 推力F 的方向与地面夹角为30度，它做的功W 等于力F 在小推车位移：W=FScos30
二、新授：
1、平面向量的数量积的定义：
（1）向量,的夹角：已知两个非零向量,，过O 点作=，
,=则∠AOB=θ（00≤θ≤1800
）叫做向量,的夹角。
当且仅当两个非零向量b a ,同方向时，θ=00，当且仅当b a ,反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。 （2）与垂直；如果,的夹角为900则称与垂直，记作⊥。
（3）与的数量积：两个非零向量,，它们的夹角为θ，
θc
o s ?叫做称b a 与的数量积（或内积），记作?，即?
θcos 规定?=0 非零向量与 当且仅当⊥时，θ=900，这时?=0。
o
（4）b 在a
方向上的投影：R OP ∈=
=(θ（注意OP 是射影）
所以，?的几何意义：?等于的长度与在方向上的投影的乘积。
2、平面向量数量积的性质
设b a ,是两个非零向量，是单位向量，于是有： （1
）θ=?=? （2）0=??⊥
（3）当b a 与
同向时，b a =?；当b a 与
反向时，b a =?，特别
地，2
a ==?。 3、平面向量数量积的运算律 （1）交换律成立：?=?
（2）对实数的结合律成立：()
()()
()R b a b a b a ∈?=?=?λλλλ
（3）分配律成立：()c b c a c b a ?±?=?±()b a c ±?= 特别注意：（1）结合律不成立：()()??≠??；（2）消去律不成立
?=?不能得到?=（3）?=0不能得到=或=0
（4）但是乘法公式成立： ()(
)
2
2b a b a b a =-=-?+；
()
2
22
2+?±=
±2b a +?±=；等等。
4平面向量数量积的坐标表示
（1）若=(x 1,y 1),=(x 2,y 2)则?=x 1x 2+y 1y 2 （2）若a =(x,y),则|a |2=a .a =x 2+y 2
22y x +=
（3）若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),()()2
12212y y x x -+-=
此式可以用来计算平面上任意两点间的距离。 例1：判断下列各命题正确与否： （1）00=?； （2）0=?； （3）若?=?≠,0，则=；
3、若?=?，则≠当且仅当=时成立； （5）)()(c b a c b a ??=??对任意c b a ,,向量都成立；
（6）对任意向量，有2
=。
例2：已知两单位向量与的夹角为0120，若b -=-=32，试求与的夹角。
解：由题意，1==，且与的夹角为0120，所以，
2
1
120o s 0-
==?b a ，
=?=?-)2(b a )2(b a -7442
2
=+?-=，7=，
同理可得13= 而
=?d c 2
17
237)3()2(2
2
-
=--?=-?-，设θ为与d 的夹角，则182
91
1713
7217cos -
==
θ 1829117arccos -=∴πθ
点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。 例3．已知()3,4=a ，()2,1-=b ，求a .b 点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。 例4：已知点A （-2,3）、B （3，5），求︳?→?ＡＢ︳ 解略
三、 练习：课堂练习1、2题 四、 小结：（1）向量数量积的意义，运算，性质必须十分的了解。
（2()()2
12212y y x x -+-=
（3）用坐标判别两向量垂直的方法。 五、作业：教材97页3、4题。
《空间向量运算的坐标表示》说课稿
《空间向量运算的坐标表示》——说课稿 各位评委、老师：大家好！ 今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍： 一、教材分析 （一）地位和作用 本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。 （二）目标的确定及分析 根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。 （三）重难点的确定及分析 本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所
2.3.4平面向量共线的坐标表示
平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示 一、教学分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 二、教学目标 1、知识与技能： 掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线。 2、过程与方法： 通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。 3情感态度与价值观： 学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。 三、教学重点与难点 教学重点：平面向量的坐标运算。 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确. 四、教学设想 （一）导入新课 思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行向量的共线用代数运算如何体现 思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢 （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗 ②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示的坐标你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗标出点P 后,你能总结出什么结论 活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:
平面向量共线的坐标表示
课时跟踪检测（二十一） 平面向量共线的坐标表示 层级一 学业水平达标 1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝????12 ，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12 e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B. 2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ―→，则实数λ的值为( ) A ．－23 B.32 C.23 D ．－32 解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ―→＝(3,1)， ∵a ∥AB ―→，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23 ，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB ―→平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2,1) B ．(－6，－3) C ．(－1,2) D ．(－4，－8) 解析：选D AB ―→＝(1,2)，向量(2,1)，(－6，－3)，(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8) 与(1,2)平行且方向相反． 4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4 D ．－6 解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6. 5．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝? ???1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．45° B ．30° C ．60° D ．15°
向量的坐标表示及其运算
资源信息表
（2）向量的坐标表示及其运算（2） 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充
要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明； 分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用； 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计： 复习向量平行的概念： 提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向
量。 （2）实数与向量相乘有何几何意义 （3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行 （4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==， 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明， （Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即
空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算 第一课时空间直角坐标系 教学目标： ㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。 ㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。 教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：向量坐标的确定 教学方法：讨论法． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： 复习回顾 空间向量基本定理 探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向 量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。 注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正 方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向
向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1) 量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在 此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定 过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图） 例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。 分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。 解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算 注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若
(完整版)向量共线的坐标表示
《平面向量共线的坐标表示》教案 教学目标 (1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式； (2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力； (3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识. 教学重点和难点 (1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解； (2)难点：定比分点的理解和应用。 教学过程 一、新知导入 （一）、复习回顾 1、向量共线充要条件: 2.平面向量的坐标运算： （1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则 a + b =(x 1+x 2,y 1+y 2). a - b =(x 1-x 2,y 1-y 2). λa =(λx 1,λy 1). （2）. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. （二）、问题引入 已知下列几组向量： (1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)； (2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)； (3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)； (4)a ＝????12，1，b ＝??? ?－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？ 问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？ ),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x --=则. ,)(//λλ=?≠使存在唯一实数
二、新知探究 思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？ 设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a 。 由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ???==?21 21y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时能不能两式相除？ （不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0） （2）能不能写成2 211x y x y = ？ （不能。 ∵x 1， x 2有可能为0） (3)向量共线有哪两种形式？ a ∥b (b ≠0)???===?. 01221y x y x b a λ 三、新知巩固（实例分析合作探究与指导应用） 1．向量共线问题： 例1. 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ． 变式练习1： 2．证明三点共线问题： 例2: 例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系。 变式训练2：设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线． 已知a //b,且a =(x,2),b =(2,1),求x 的值.
人教版高中数学高一A版必修4 平面向量共线的坐标表示
主动成长 夯基达标 1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A.e 1=(0,0),e 2=(1,-2) B.e 1=(-1,2),e 2=(5,7) C.e 1=(3,5),e 2=(6,10) D.e 1=(2,-3),e 2=(21,-4 3) 解析：平面内任意两个不共线的向量都可作为所在平面内所有向量的基底. 对于A,e 1=0与任何向量共线, C 中,2e 1=e 2,∴e 1与e 2共线. D 中,4 1e 1=e 2,∴e 1与e 2共线. 答案：B 2.已知a =(-1,3),b =(x,-1),且a 、b 共线,则x 等于( ) A.3 B.-3 C. 31 D.-31 解析：因为a 、b 共线,所以1=3x,∴x= 31. 答案：C 3.已知A(-1,-4),B(8, 2 1),且A 、B 、C 三点共线,则C 点的坐标为( ) A.(9,1) B.(-9,1) C.(9,-1) D.(-9,-1) 解析：设C(x,y),=(8, 21)-(-1,-4)=(9,29), =(x,y)-(8,21)=(x-8,y-2 1), =(x,y)-(-1,-4)=(x+1,y+4), ∵A 、B 、C 三点共线, ∴AB 与BC 与AC 三个向量共线. ∴??? ????+-=+--=-).1)(21()4)(8(),8(29)21(9x y y x x y 经检验x=9,y=1适合. 答案：A 4.设a =( 31,tanα),b =(cosα, 23),且a 、b 共线,则锐角α的值为( ) A.12π B.6π C.4π D.3 π 解析：∵a 、b 共线,∴31×2 3-tanα·cosα=0,
向量的坐标表示及其运算
第八讲向量的坐标表示及其运算 一、知识点 （一）向量及其表示： 1.平面向量的有关概念： （1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示. （3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. （6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2向量坐标的有关概念 （1）基本单位向量 （2）位置向量 （3）向量的正交分解 3.向量的坐标运算：设 4.向量的摸：22y x a += （二）向量平行的充要条件： 1向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ?b =λa （a ≠0）. 2设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）则b ∥a ?1221y x y x = （三）定比分点公式： 1线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式??? ????++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）. 2中点坐标公式 3三角形重心坐标公式 二、典型例题 例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少? 例2 下列哪些是向量？哪些是标量？ （1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量 例3． ?ABC 中，A （1，1），B （-3，5）， C （8，-3），G 是ABC ?重心，求GA 的坐标 例4. 已知A ()()()()3,2,2,3,1,2,2,1--D C B ()3若a BD AC a 求,-=
数学必修四人教A版 2.3.4平面向量共线的坐标表示(教、学案)
平面向量共线的坐标表示 【教学目标】 ．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； ．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 ．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 【教学重难点】 教学重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解． 教学难点：定比分点的理解和应用． 【教学过程】 一、〖创设情境〗 前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。这就为解决问题提供了方便。我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得λ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。 二、〖新知探究〗 思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得λ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？ 设(, ) (, )（≠）其中≠ 由λ，(, ) λ(, ) 消去λ：－ 结论：∥(≠) 注意：?消去λ时不能两式相除，∵, 有可能为，∵≠， ∴, 中至少有一个不为. ?充要条件不能写成∵, 有可能为. ?从而向量共线的充要条件有两种形式：∥(≠) 三、〖典型例题〗 例. 已知，，且，求． 解：∵，∴．∴． 点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解. 变式训练：已知平面向量，，且，则等于. 例: 已知，，，求证:、、三点共线． 证明：，， 又，∴.∵直线、直线有公共点，
∴，，三点共线。 点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线. 变式训练：若(，)，(，)，(，)三点共线，则的值为. 例:设点是线段上的一点，、的坐标分别是(，)，(，). (1)当点是线段的中点时，求点的坐标； (2)当点是线段的一个三等分点时，求点的坐标. 解：（）＝ 所以，点的坐标为 （）当时，可求得：点的坐标为： 当时，可求得：点的坐标为： 点评:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式. 变式训练：当时,点的坐标是什么？ 四、〖课堂小结〗 ．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式； ．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行； ．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。 五、〖反馈测评〗 .已知，－，（－），则（） . 、、三点共线、、三点共线 . 、、三点共线. 、、三点共线 .若向量(，)与(，)共线且方向相同，则为. ．设，，，且，求角． 【板书设计】
向量的坐标表示(一)
向量的坐标表示（一） 【学习重点与难点】： 重点：平面向量基本定理的应用；平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 难点：平面向量基本定理的理解. 【学法与教学用具】： 1. 学法： (1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、思考和讨论 【问题1】:（教材69P 例1）：平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，=?→?AB a ,=?→?AD b ,试用向量a ,b 表示?→?MA ,?→?MB ,?→?MC ,?→ ?MD 。 结论：由作图可得a 1λ=1e +2λ2e 【问题2】：对于向量a ,1λ和2λ是否是惟一的一组？ 二、研探学习 1.共面向量定理 【探索】：（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一的？ （2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 学生分析设1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量 ?→?OA =1e ?→?OM =1λ1e ?→?OC =a =?→?OM +?→?ON =1λ1e +2λ2e ?→?OB =2e ?→?ON =2λ2e 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a 1λ=1e +2λ2e ．我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面．．向量定理. 【注意】： 1e 2e a C
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算 【知识概要】 1. 向量及其表示 1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上 面加箭头来表示，如a读作向量a， 向量也可以用两个大写字母上面加 箭头来表示，如AB，表示由A到B的向量. A为向量的起点，B为向量的终点）.向量AB（或a）的大小叫做向量的模，记作AB（或a）. 注：①既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别； ②长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的注意与0的区别 ③长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大
小，不确定方向. 例1 下列各量中不是向量的是（ D A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 例2 下列说法中错误 ．．的是（ A ） A.B.零向 量的长度为0 C. D.零向 例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A.B. C. D. 2）向量坐标的有关概念 ①基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i和j. ②将向量a的起点置于坐标原点O，作OA a ， 则OA叫做位置向量，如果点A的坐标为(,) x y，它在
x 轴和 y 轴上的投影分别为 ,M N ，则 ,.OA OM ON a OA xi y j =+==+ ③ 向量的正交分解 在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称 为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向 量的正交分解，把有序的实数对(,) x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y . 一般地，对于以点1 1 1 (,)P x y 为起点，点2 2 2 (,)P x y 为终 点的向量12 PP ，容易推得122 121()()PP x x i y y j =-+-，于是相 应地就可以把有序实数对2 121(,) x x y y --叫做12 PP 的坐 标，记作12 PP =2 121(,) x x y y --. 3）向量的坐标运算：1 1 2 2 (,),(,)a x y b x y ==，R λ∈ 则1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm . 2a x =+ 注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示；
空间向量运算的坐标公式
空间向量运算的坐标公式 如果三个向量不共面那么对空间任一向量存在一个唯一的 有序实数组x、y、z使得cbapczbyaxpcba叫做空间的一个 ______基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一 个基底一、空间直角坐标系单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长都为1则这个基底叫做单位正交基底常用i j k 来表示.点O叫做原点向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。分别称为xOy平面yOz平面xOz平面.空间直角坐标系在空间选定一 点O和一个单位正交基底i、j、k 。以点O为原点分别以i、j、k的正方向建立三条数轴x轴、y轴、z轴它们都叫做坐 标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyzOxyzijk二、 向量的直角坐标aaaa 1 2 3给定一个空间坐标系和向量且设i、j、k为坐标向量由空间向量基本定理存在唯一的有序实数组1 2 3使1i 2j 3k 有序数组1 2 3叫做在空间直角坐标系 O--xyz中的坐标记作.aaaaaaaaaaaaxyzOAa1a2a3ijka在空间直角坐标系O--xyz中对空间任一点A对应一个向量OA于是 存在唯一的有序实数组xyz使OAxiyjzk在单位正交基底i j k 中与向量OA对应的有序实数组xyz叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标记作Axyz其中x叫做点A的横坐标y叫做点A的纵坐标z叫做点A的竖坐标.xyzOAxyzijka三、向量 的直角坐标运算.111222axyzbxyz设则 121212abxxyyzz111axyzR121212abxxyyzz121212abxxyyzz例
2..3..4平面向量共线的坐标表示(教、教案)
2. 3.4平面向量共线的坐标表示 【教学目标】 1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； 2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 【教学重难点】 教学重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解．教学难点：定比分点的理解和应用． 【教学过程】 一、〖创设情境〗 前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。这就为解决问题提供了方便。我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得=λ，那么这个条件是否也 能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。u99D0Sjauy 二、〖新知探究〗 思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得=λ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？ 设=(x1, y1> =(x2, y2>< ≠）其中≠ 由=λ， (x1, y1> =λ(x2, y2> 消去λ： x1y2－x2y1=0
结论：∥ (≠>x1y2-x2y1=0 注意：1?消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0，∵≠， ∴x2, y2中至少有一个不为0. 2?充要条件不能写成∵x1, x2有可能为0. 3?从而向量共线的充要条件有两种形式：∥ (≠> 三、〖典型例题〗 例1. 已知，，且，求． 解：∵，∴．∴． 点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解. 变式训练1：已知平面向量，，且，则 等于_________. 例2: 已知，，，求证:、、三点共 线． 证明：，，又，∴.∵直线、直线有公共点，∴，，三点共线。 点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线. 变式训练2：若A(x，-1>，B(1，3>，C(2，5>三点共线，则x的值为_________. 例3:设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1>，(x2，y2>.
空间直角坐标系及空间向量的坐标表示
选修2—1 第三章 空间向量与立体几何 §3.1.4 空间向量的坐标表示 总第(4)教案 （理科使用） ● 教学目的： 1、掌握空间直角坐标系的概念，会确定简单几何体的顶点坐标； 2、掌握空间向量坐标运算规律； 3、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4、会用中点坐标公式解决有关问题● 教学重点：空间直角坐标系，向量坐标运算● 教学难点：空间向量的坐标的确定及运算 教学过程： 一、复习引入： 空间直角坐标系： （1）若空间一个基底的三个基向量互相垂直，长为1，这个基底叫单位正交基底，用{} k j i ,,表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{} k j i ,,，以点O 为原点，分别以k j i ,,的方向为 正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系 O xyz -，点O 叫原点，向量 i ,都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分 别称为xOy 平面， yOz 平面，zOx 平面；（这里建立的坐标系都是右手直角坐标系） 2．空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一 的有序实数组(,,)x y z ，使z y x ++= ，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作 (,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算：(类比平面向量的坐标运算) （1）若),,(321a a a a =，),,(321b b b b =，则 ),,(332211b a b a b a +++=+ ),,(332211b a b a b a ---=-， ))((321R a a a ∈=λλλλλ，，， 332211b a b a b a ++=?， ‖? 332211,,b a b a b a λλλ===（R ∈λ） 0332211=++?⊥b a b a b a 模长||3 22212a a a ++= （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则 ),,(122212z z y y x x AB ---=． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 |AB|=2 12212212)()()(z z y y x x -+-+-
向量的坐标表示
§4.1 平面向量（四） ——平面向量的直角坐标及运算 一、复习旧知：（1）坐标系和点的坐标表示； （2）数和向量的意义和表示方法。 导入：哲学家卡尔.波普尔曾指出“科学与知识的增长永远始于问 题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题的问题”，这对数学亦不例外。 因此，在新课的引入中首先提出“在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对实数（即它的坐标）来表示”。同样，在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也可以用一对实数来表示?”启发学生思考 二、新授： 1、用坐标表示起点为原点的平面向量： i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量。则 一般地，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j，则对平面内任一向量a，都有唯一一对实数x、y，使得a=xi+yj我们把有序数对（x,y）叫做向量a的直角坐标，记作a=(x,y) 我们把( x , y ) 叫做向量的直角坐标，记作) , x (y
其中x 叫做a 在 x 轴上的坐标， y 叫做a 在y 轴上的坐标。 2、运算律： （1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差： ),(2121y y x x b a ±±=±→ → （其中),(),,(2211y x b y x a ==→ → ） （2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标： 如果),(),,(2211y x B y x A ，则),(1212y y x x AB --=→ -； （3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标： 若),(y x a =→，则),(y x a λλλ=→ ； 例题1： 用:单位向量→ i 、→j 分别表示向量→a 、→b 、→c 、→ d ，并求它们的坐标； 方法一：→ a =→-→-+21AA AA =2→i +3→j ，∴→a =（2，3）同理→ b =（-2，3），→ c =（-2，-3）， → d =（2，-3） 方法二： A （2，2），B （4，5）∴→ a =（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）= （2，3） 同理→b =（-2，3），→c =（-2，-3），→ d =（2，-3） 方法三： →-OA =（2，2），→-OB =（4，5）∴→a =→-OB -→ -OA =（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）=（2，3） 同理→b =（-2，3），→c =（-2，-3），→ d =（2，-3）（2，2）=（2，3） 例题2：已知a =（1,2）,b =(-5,3),求a +b ,a -b,3a -2b 分析：用向量的运算律进行计算 :拓展练习： 例题3：已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为 （-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D 的坐标； 分析：本题检测如何用向量的终点和始点坐标求向量的坐标，并利用相等向量的坐标相同，建立等量关系求D 点的坐标； 解：设D 点坐标为（x ，y ）→ -AB =（-1，3）-（-2，1）=（1，2） → -DC =（3，4）-（x ，y ）=（3-x ，4-y ）
平面向量平行的坐标表示教案
8.3.2平面向量平行的坐标表示 教学目标：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示， 并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。 教学重点：平行向量充要条件的坐标表示，解决向量平行（共线）的有关问题 教学难点：充要条件的推导，共线条件的判断 教学过程： 一、复习：1． 平行向量基本定理 2．平面向量的坐标运算法则 二、1．提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb （≠），那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？ 2．推导：设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2) 其中b ≠a 由a =λb (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ???==?2 121y y x x λλ 消去λ：x 1y 2-x 2y 1=0 结论：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 注意：1?消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2, y 2中至少有一个不为0 2?充要条件不能写成2 211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0 3?从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)0 1221=-=?y x y x λ 三、应用举例 例一，判断下列两个向量是否平行 （1）a =（-1,3），b =（5，-15） （2）AB =（2,0），CD =（0,3） 解：（1） （-1）?（-15）=3?5 ∴a 与b 平行
（2） 2?3≠0?0 ∴AB 与CD 不平行 点评：利用坐标表示可以判断两个向量是否平行 两个课后练习巩固 例二 若向量a =(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，求x 解：∵a =(-1,x)与b =(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2- x ?(-x )=0 ∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2 定评：如果两个向量共线 根据公式可以求出未知数 完成课后第二第三两题 例三 已知A (-1,-1)，B (1,3)，C (2,5)，试判断A 、B 、C 三点之间的关系. 点评：如何证明三点共线 主要是证明两个有公共点的两个向量平行， 同时引导学生如何证明三点不共线 变式．已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) （1） 向量AB 与CD 平行吗？ （2）直线AB 与平行于直线CD 吗？ 解：∵AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) CD =(2-1,7-5)=(1,2) 又：∵2×2-4-1=0 ∴AB ∥CD ()()()()()()()()11,312,421,513,62634//. 0A B C AB AC AB AC AB AC A =----==----=?-?=解：直线、直线有公共点，所以、、三又，故，点共线，
平面向量的坐标表示
第7章 平面向量的坐标表示 1.理解向量的有关概念 （1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别； （2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0r ，注意零向量的方向是任意方向； （3）单位向量：给定一个非零向量→a ，与→a 同向且长度为1的向量叫→a 的单位向量, → a 的单位向量是 a a → → ； （4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作： ∥，规定零向量和任何向量平行； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，a 的相反向量是长度相等方向相反的向量a → -. 2.向量的表示方法 （1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如→a ，→b ，→ c 等； （3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→i ，→ j 为基底，则平面内的任一向量→ a 可表示为→ → → +=j y i x a ，称(),x y 为向量→a 的坐标，),(y x a =→叫做向量→ a 的坐标 表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 3．实数与向量的积： 实数λ与向量→ a 的积是一个向量，记作a λr ，它的长度和方向规定如下： 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有→0)； ④三点C B A 、、共线 ?AB AC u u u r u u u r 、共线；
空间向量及其运算的坐标表示
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 【学习目标】 1.空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立，O叫做，i，j，k都叫做。 对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x e1＋y e2＋z e3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作。 2.空间向量的坐标运算 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 3. 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
夹角 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 2 3 b 21＋b 22＋b 2 3 1．已知i ，j ，k 分别是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴的正方向上的单位向量，且AB → ＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标是( ) A ．(－1,1，－1) B ．(－i ，j ，－k ) C ．(1，－1，－1) D ．不确定 2、判断对错。 (1)空间直角坐标系中，向量AB → 的坐标与终点B 的坐标相同．( ) (2)设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)且b ≠0，则a ∥b ∥x 1x 2 ＝y 1y 2 ＝z 1 z 2 .( ) (3)四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB →与DC → 的坐标相同．( ) (4)设A (0,1，－1)，O 为坐标原点，则OA → ＝(0,1，－1)．( ) 【经典例题】 题型一 空间直角坐标系 注意：建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示． 例1已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，建立适当坐标系，求向量MN → 的坐标．