测量平差河海大学

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（6）若aij=aji，则称A为对称矩阵。
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矩阵的基本运算：
（1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：A B
（2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、 B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换 性与可结合性。
（3）设A为m*s的矩阵，B为s*n的矩阵,则A、B相乘才有意 义，C=AB，C的阶数为m*n。 OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC， ABC=A（BC）
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二、矩阵的转置
对于任意矩阵Cmn:
c11 c12 c1n
C
mn
c21
c22
c2n
cm1
cm2
cmn
将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。
用：
c11 c21 cn1
CT
nm
c12
c22
cn
2
c1n
c2n
cnm
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矩阵转置的性质：
(1)C DT ,则：D CT
下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号 上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何 规律，但从大量误差上看有一定的统计规律， 这种误差称为偶然误差。
不可避免，测量平差研究的内容
粗差：错误
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测量平差的任务：
对一系列带有观测误差的观测值，运用
概率统计的方法来消除它们之间的不符 值，求未知量的最可靠值。
❖ 地图制图与地理信息系统工程
课程安排
前修课程：高数、几何与代数、概率与 数理统计
课程分两个学期进行： 第二学年上学期：3学分 第三学年下学期：2学分
后续课程：测绘数据的计算机处理、控 制测量、近代平差
教学方式与内容
讲授为主，例题、习题相结合。 内容：本学期主要讲前五章的内容。 参考书目：
(3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。
(4)对于 n n 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对
角矩阵。如：
a11 0 0
A
mn
0
Hale Waihona Puke Baidu
a22
0
diag
(a11
a22
ann )
0
0
amn
(5)对于 对角阵，若a11=a22=……=ann =1，称为单位阵，一般用E、 I表示。
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误差：测量值与真值之差
由于误差的存在，使测量数据之间产生
矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛
盾，或者说是将误差分配掉，因此称为
平差。
(
)实际
180
( )理论 180
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产生误差的原因
测量仪器：i角误差、2c误差 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、气压、大气折光等
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矩阵的逆的性质
(1)( AB)1 B1A1 (2)( A1)1 A
(3)( I )1 I
(4)( AT )1 ( A1)T
(5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。
(6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
A1 (diag (a11, a22,ann ))1
diag( 1 , 1 1 ) a11 a22 ann
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测量平差产生的历史
最小二乘法原理的两次证明
形成测量平差的最基本模型
1912年，A.A.Markov， 对最小二乘原理进行证明，形 成数学模型： L AX
E() lim 0, E(L) AX
n n
02Q
2 0
P
1
最小二乘解：
X
( AT PA)1 AT PL
测量平差理论的扩展
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矩阵求逆方法：
（1）伴随矩阵法：
设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式， 则由n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴 随矩阵的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。
A11
A*
A12
A21 An1
A22
An 2
,
A1n
A2n
Ann
A1 1 A* A
3 1 11
8 1 2
评定测量成果的质量
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测量平差产生的历史
最小二乘法产生的背景 18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未 知数的最佳估值？
最小二乘的产生
1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘 1806年，A.M. Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。《决定彗星轨道的 新方法》 1809年， C.F.GUASS，《天体运动的理论》
测量平差原理，於宗俦等，测绘出版社 误差理论与测量数据处理，测量平差教 研室，测绘出版社。
第一章 绪论
第一节 观测误差
第二节 补充知识
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第一章 绪论
第一节：概述 1、测量平差的研究对象——误差 任何量测不可避免地含有误差
❖闭合、附合水准路线 ❖闭合、附合导线 ❖距离测量 ❖角度测量………..
1
4
2
1 21
1
8
5
1 2 3
2 5 11 停止 返回
矩阵求逆方法
a11 a12 a1n
A
nn
a21
测绘工程专业主干课：
专业基础主要课程： 测量学（5）、测量平差基础（5）、 控制测量学（5）、摄影测量学（4）、 测绘数据计算机处理（3）
专业课： GPS（4）、GIS（3）、工程测量（4）、 数字制图（3）、近代平差（2）等
测绘科学与技术
❖ 大地测量与测量工程
数学 政治
❖ 摄影测量与遥感
英语 测量平差
(2)( AT )T A
(3)( A B)T AT BT
(4)(kA)T kAT
(5)( AB)T BT AT
（6）若 AT A 则A为对称矩阵。
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三、矩阵的逆
给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶 方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的 逆矩阵。记为：
B A1
A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的 行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否 则为奇异矩阵
三者综合起来为观测条件
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误差的分类
系统误差：在相同的观测条件下进行的一
系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系 统性，或者按一定的规律变化，这种误差称为 系统误差。
系统误差的存在必然影响观测结果。
削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附 加参数
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误差的分类
偶然误差/随机误差：在相同的观测条件
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补充知识
一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵
（1）由 m n 个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵
通常用一个大写字母表示，如：
a11 a12 a1n
A
mn
a21
a22
a2n
am1
am2
amn
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(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22……ann 称为对角元素。