连续介质力学第二讲
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三、应力理论 1. Cauchy应力
ij ei e j
定义在即时构形中的应力张量 又称真应力.
变形后斜截面上的应力矢量:
σn σ n
作用于 da上的力:
pn da σ nda σ da
Cauchy应力是以即时构形 中的面积为基准来度量的。 由微六面体的力矩平衡，可知经典连续介质学理论中 为对称张量,即:
则第二类P-K应力也是对称张量。
有:
P F T
T F 1 P
T
F T F
T F 1 τ F T
TAB
TAB
xi PiB TAB X A
x j xi xi x j ij TAB TAB X A X B X A X B
所以：
4. 守恒率的一般形式
如果采用欧拉描述，上述三个守恒率可表达为：
固体力学常采用拉格朗日描述：
其中：
拉格朗日描述中，体元体积不变：
对物质坐标求散度
5. 能量平衡律
在即时构型中 任意v域内的总能量P由动能K与内能E组成，即
PKE
E edV
V
根据热力学第一定律，总能量P的物质导数，即对时间的 变化率等于作用于v域的外力功率与每单位时间从v域外部 所加的热： v σ da v fdV h da kdV P
注意内力不是真正作用在面元 d A 上. 其中:
X K P J ijei e j x e k e K PiK ei e K k
X K PiK J ij x j
也是两点张量
3. Kirchhoff 应力张量
τ Jσ
根据定义有: 分量形式: 同理:
又:
σ : v σ : L σ : D
1 其中: D v v 为变形率张量 2
W 1 v v 旋率张量反对称 2
v σ da v fdV σ : DdV 所以: K n
a V V
e E dV h da kdV σ : DdV
T F 1 P
TAB X A piB xi
P τ F T
X A X B X A X B ij ij xi x j xi x j
1 T T F τ F 所以:
分量形式 TAB
可证如果Cauchy应力 （或Kirchhoff应力张量)为对称张量,
J dFiA J xi J vi J FiA dt FiA t X A FiA X A
而:
J X A 1 JFAi J FiA xi
vi X A vi J Jdiv v 所以: J J xi X A xi
a Amn amn
则有:
1 amn
1 Anm a
a 1 aanm amn
J X A 1 JFAi J FiA xi
而: J xi FiA
X A
所以:
xi F 现在把J看作其9个元素 iA X 的函数，对时间求物质导数 A
τij Jσij
Kirchhoff应力张量与Cauchy应力张量一样,也是对称张量
P τ F T
X A PiA ij x j
τ PF
T
ij J ij PiA
x j X A
定义在即时构形中的张量
4．第二类P-K应力T 定义: 根据定义: T TAB e AeB 由于:
1 h da 1 kdV H
a
V
积分形式的热学第二定律
式中h/θ称为熵流，k/θ称为熵源。 对于不可逆过程，式中取“>”号，而对于可逆过和，则取“=”。
1 1 dV - h da dV Γ, H
V a
V
Γ 0
总熵的生成率
7. 本构关系
本构理论研究应力张量与物体运动历史的关系, 主要是应力与应 变之间的关系, 本构关系必须满足一定的原理. 1. 坐标不变性原理: 任何一个物理过程与所选的坐标系没有关系, 如果用张量的抽象记法描述本构关系, 则坐标不变性自然满足. 2. 应力确定性原理: 物体的应力只取决于它过去的全部变形历史, 而与将来的运动变形无关. 3. 局部作用原理: 某点的应力只与该点无限小邻域的运动状态 有关. 注意: 非局部理论是当前固体力学的研究热点之一! 4. 本构的客观性原理: Cauchy应力是客观张量.
V
ˆ dV σ dV fdV a
V V
f a
对于体积力为零的静力学问题:
0
2.2 第二种方法 引理：在即时构型上体积分的物质导数 d d dV t div v dV div v dV
dV 0dV0
其中: J dV dV 0
对方程两边求物质导数: 可证明: J
J 0 J
J
所以:
div v
率形式的质量守恒律
div v 0
证明:
J div v J
将行列式 a 看作它的9个元素的函数，则有:
引理: 设矩阵a的行列式为: a , 元素 amn 的代数余子式记作 Amn
div v 0
2. 动量方程 （Balance of linear momentum ）
2.1 以前的推导
在即时构形 中，任意取一个域V ，体积元记为dV
对此域运用动量定理:
ˆ dV σ nda fdV a
由GREEN公式:
a V V
由于域是任意的:
1 d 2 dv v v v a 又 2 dt dt
根据平衡方程: 而
a σ f
v σ v σ v : σ
V V V
( v σ ) dV v fdV σ :v dV 所以: K
a
n
V
a
V
式中h表示热流矢量（或称热通量），即每单位时间每单位 面积的热流，k表示每单位质量接受外部的热（称为热源）
K E 而 P
1 2 动能 K v dv 2 v
由质量守恒知: 所以:
其中K为动能. 其中 v 2 v v
dv的物质导数为零
1 d 2 K v dV 2 dt V
σ
ij ji
2．第一类P-K(Piola-Kirchhoff)应力P
又称名义应力 即时构形中的面元矢量 da 对应于参考构形中的面元矢量 d A 根据Nanson公式:
σ da σ JF T dA Jσ F T dA
令: σ da P dA 其中: P Jσ F T P称为第一类P-K应力
X A piB xi
X A X B X A X B ij ij xi x j xi x j
作用于即时构形中面元
da 上的内力通常有三种表示方法:
σ da P dA F T dA
四、连续介质力学基本方程
1、质量守恒 以 0 与 各表示初始构形与即时构形中的质量密度 根据质量守恒率: 所以: J 0
tr PT L F P : L F P : F
w F T FT : D tr F T FT D tr T FT D F
T T T
T : F D F T : F D F T : E
我们称:
T 和 E 为一对功共轭的应力应变张量.
h k σ : D 微分形式的热力学第一定律 e
Reddy书
6. 熵不等式, 熵平衡律 (热力学第二定律） 以η表示每单位质量的熵, 则在即时构形中, v域的总熵为:
H dV
V
以θ表示温度（绝对温度,θ＞0），则由热力学第二定律，必有:
可以推广于多个二阶张量点积的情况，例如 tr(a b c d )
w Jσ : D τ : D
由于: τ P F 有:
T
的其它表达形式
T
F T F
T
w P F : L tr P F
T T
L tr F PT L
dt dt t
dV t JdV0
J div v J
所以：
动量矩定理:
d vdV f dV σ nda dt
d v vdivv σ f dt
div v 0
3. 角动量方程 （Balance of angular momentum ）
V a V VΒιβλιοθήκη Baidu
积分形式的热力学第一定律
由于上式对任意域成立,所以有:
h k σ : D 微分形式的热力学第一定律 e
其中:
σ : D 为即时构形中单位体积的内力功率
定义变形功率w为
w Jσ : D τ : D
它表示参考构形中每单位体积（也就是即时构形中单位体积的J倍) 的变形功率. 引理1: 设a与b为二阶张量, 则:
a : b tr(a bT ) tr(aT b) aT : bT
即: 引理2:
T T T aij bij aijbT a b a ji ji ij jib ji
tr(a b c) tr(b c a) tr(c a b)
即:
aij bjk cki bjk cki aij cki aij bjk
ij ei e j
定义在即时构形中的应力张量 又称真应力.
变形后斜截面上的应力矢量:
σn σ n
作用于 da上的力:
pn da σ nda σ da
Cauchy应力是以即时构形 中的面积为基准来度量的。 由微六面体的力矩平衡，可知经典连续介质学理论中 为对称张量,即:
则第二类P-K应力也是对称张量。
有:
P F T
T F 1 P
T
F T F
T F 1 τ F T
TAB
TAB
xi PiB TAB X A
x j xi xi x j ij TAB TAB X A X B X A X B
所以：
4. 守恒率的一般形式
如果采用欧拉描述，上述三个守恒率可表达为：
固体力学常采用拉格朗日描述：
其中：
拉格朗日描述中，体元体积不变：
对物质坐标求散度
5. 能量平衡律
在即时构型中 任意v域内的总能量P由动能K与内能E组成，即
PKE
E edV
V
根据热力学第一定律，总能量P的物质导数，即对时间的 变化率等于作用于v域的外力功率与每单位时间从v域外部 所加的热： v σ da v fdV h da kdV P
注意内力不是真正作用在面元 d A 上. 其中:
X K P J ijei e j x e k e K PiK ei e K k
X K PiK J ij x j
也是两点张量
3. Kirchhoff 应力张量
τ Jσ
根据定义有: 分量形式: 同理:
又:
σ : v σ : L σ : D
1 其中: D v v 为变形率张量 2
W 1 v v 旋率张量反对称 2
v σ da v fdV σ : DdV 所以: K n
a V V
e E dV h da kdV σ : DdV
T F 1 P
TAB X A piB xi
P τ F T
X A X B X A X B ij ij xi x j xi x j
1 T T F τ F 所以:
分量形式 TAB
可证如果Cauchy应力 （或Kirchhoff应力张量)为对称张量,
J dFiA J xi J vi J FiA dt FiA t X A FiA X A
而:
J X A 1 JFAi J FiA xi
vi X A vi J Jdiv v 所以: J J xi X A xi
a Amn amn
则有:
1 amn
1 Anm a
a 1 aanm amn
J X A 1 JFAi J FiA xi
而: J xi FiA
X A
所以:
xi F 现在把J看作其9个元素 iA X 的函数，对时间求物质导数 A
τij Jσij
Kirchhoff应力张量与Cauchy应力张量一样,也是对称张量
P τ F T
X A PiA ij x j
τ PF
T
ij J ij PiA
x j X A
定义在即时构形中的张量
4．第二类P-K应力T 定义: 根据定义: T TAB e AeB 由于:
1 h da 1 kdV H
a
V
积分形式的热学第二定律
式中h/θ称为熵流，k/θ称为熵源。 对于不可逆过程，式中取“>”号，而对于可逆过和，则取“=”。
1 1 dV - h da dV Γ, H
V a
V
Γ 0
总熵的生成率
7. 本构关系
本构理论研究应力张量与物体运动历史的关系, 主要是应力与应 变之间的关系, 本构关系必须满足一定的原理. 1. 坐标不变性原理: 任何一个物理过程与所选的坐标系没有关系, 如果用张量的抽象记法描述本构关系, 则坐标不变性自然满足. 2. 应力确定性原理: 物体的应力只取决于它过去的全部变形历史, 而与将来的运动变形无关. 3. 局部作用原理: 某点的应力只与该点无限小邻域的运动状态 有关. 注意: 非局部理论是当前固体力学的研究热点之一! 4. 本构的客观性原理: Cauchy应力是客观张量.
V
ˆ dV σ dV fdV a
V V
f a
对于体积力为零的静力学问题:
0
2.2 第二种方法 引理：在即时构型上体积分的物质导数 d d dV t div v dV div v dV
dV 0dV0
其中: J dV dV 0
对方程两边求物质导数: 可证明: J
J 0 J
J
所以:
div v
率形式的质量守恒律
div v 0
证明:
J div v J
将行列式 a 看作它的9个元素的函数，则有:
引理: 设矩阵a的行列式为: a , 元素 amn 的代数余子式记作 Amn
div v 0
2. 动量方程 （Balance of linear momentum ）
2.1 以前的推导
在即时构形 中，任意取一个域V ，体积元记为dV
对此域运用动量定理:
ˆ dV σ nda fdV a
由GREEN公式:
a V V
由于域是任意的:
1 d 2 dv v v v a 又 2 dt dt
根据平衡方程: 而
a σ f
v σ v σ v : σ
V V V
( v σ ) dV v fdV σ :v dV 所以: K
a
n
V
a
V
式中h表示热流矢量（或称热通量），即每单位时间每单位 面积的热流，k表示每单位质量接受外部的热（称为热源）
K E 而 P
1 2 动能 K v dv 2 v
由质量守恒知: 所以:
其中K为动能. 其中 v 2 v v
dv的物质导数为零
1 d 2 K v dV 2 dt V
σ
ij ji
2．第一类P-K(Piola-Kirchhoff)应力P
又称名义应力 即时构形中的面元矢量 da 对应于参考构形中的面元矢量 d A 根据Nanson公式:
σ da σ JF T dA Jσ F T dA
令: σ da P dA 其中: P Jσ F T P称为第一类P-K应力
X A piB xi
X A X B X A X B ij ij xi x j xi x j
作用于即时构形中面元
da 上的内力通常有三种表示方法:
σ da P dA F T dA
四、连续介质力学基本方程
1、质量守恒 以 0 与 各表示初始构形与即时构形中的质量密度 根据质量守恒率: 所以: J 0
tr PT L F P : L F P : F
w F T FT : D tr F T FT D tr T FT D F
T T T
T : F D F T : F D F T : E
我们称:
T 和 E 为一对功共轭的应力应变张量.
h k σ : D 微分形式的热力学第一定律 e
Reddy书
6. 熵不等式, 熵平衡律 (热力学第二定律） 以η表示每单位质量的熵, 则在即时构形中, v域的总熵为:
H dV
V
以θ表示温度（绝对温度,θ＞0），则由热力学第二定律，必有:
可以推广于多个二阶张量点积的情况，例如 tr(a b c d )
w Jσ : D τ : D
由于: τ P F 有:
T
的其它表达形式
T
F T F
T
w P F : L tr P F
T T
L tr F PT L
dt dt t
dV t JdV0
J div v J
所以：
动量矩定理:
d vdV f dV σ nda dt
d v vdivv σ f dt
div v 0
3. 角动量方程 （Balance of angular momentum ）
V a V VΒιβλιοθήκη Baidu
积分形式的热力学第一定律
由于上式对任意域成立,所以有:
h k σ : D 微分形式的热力学第一定律 e
其中:
σ : D 为即时构形中单位体积的内力功率
定义变形功率w为
w Jσ : D τ : D
它表示参考构形中每单位体积（也就是即时构形中单位体积的J倍) 的变形功率. 引理1: 设a与b为二阶张量, 则:
a : b tr(a bT ) tr(aT b) aT : bT
即: 引理2:
T T T aij bij aijbT a b a ji ji ij jib ji
tr(a b c) tr(b c a) tr(c a b)
即:
aij bjk cki bjk cki aij cki aij bjk