积分第一中值定理

§1.1 积分第一中值定理

若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得

()()()b

a

f x dx f b a ξ=-⎰

证明：由定积分性质知

()()()b

a

m b a f x dx M b a -≤≤-⎰ （1）

其中M ，m 分别是函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值和最小值。 把（1）式各除以b a -，得

1()b

a

m f x dx M b a ≤≤-⎰。

这表明，确定的数值1()b

a f x dx

b a

-⎰介于函数()f x 的最小值m 和最大值M 之间。根据闭区间上连续函数的介值定理，在[,]a b 上至少存在着一点ξ，使得函数()f x 在点ξ处的值与这个确定的数值相等，即应有：

1()()b

a f x dx f

b a

ξ=-⎰ （a b ξ≤≤） 两端乘以b a -，即得所要证的等式。

说明：这里的ξ是在[,]a b 上取值，实际上，也可以在开区间(,)a b 的，即

(,)a b ξ∈时，定理同样成立。现证明如下：

记

()b

a

f x dx b a

μ=-⎰，则(())0b

a

f x dx μ-=⎰。

若a x b <<时()()0f x μ-><，则，(())()0b

a

f x dx μ-><⎰，均矛盾。

故有，12,a b x x <<使1()f x μ≤，2()f x μ≥， 故存在(,)a b ξ∈使()f ξμ=。即()()()

b

a f x dx f

b a ξ=-⎰

证明完毕

推广的积分第一中值定理：

若函数()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上连续，且()g x 在[,]a b 上不变号，则在

[,]a b 上至少存在一点ξ，使得：

()()()()b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx ξ=⎰

⎰ （a b ξ≤≤）

证明： 因为()f x 在[,]a b 上连续，()f x 在[,]a b 上必有最大值M 和最小值m ，又由于()g x 在[,]a b 上可积且不变号，不妨设()0g x ≥，()b

a I g x dx =⎰，于是

()()()(m g x f x g x M g x

≤≤ 从而 ()()b

a

m I f x g x d x M

I ≤≤⎰

（2） 若I ＝0，则由（2）式知 ()()0b

a

f x

g x dx =⎰

，从而任取ξ(,)a b ∈均可以使等

式成立。

现设I >0，将（2）式改为m M μ≤≤，其中

1()()b

a f x g x dx I

μ=

⎰ （3） 如果(,)m M μ∈，则由连续函数的介值性必存在ξ(,)a b ∈使()f ξμ=，从而等式得证。如果m μ=，则由于()b

a I g x dx =⎰>0，必存在11[,](,)a

b a b ⊂使得恒有

()0g x >，11[,]x a b ∈，若不然，则在(,)a b 的任何闭子区间

i

x 上都有i

ξ

使得

()0i

g ξ=，依定积分定义便有()b

a

I g x dx =⎰＝0，这与I >0矛盾，由于m μ=，今

改（3）为

[()]()0

b

a

f

x m g x d x -=⎰ （4） 注意到 [()]()0f x m g x -≥，必有

1

1[()]()0b f x m g x d x a -=⎰ （5） 否则由11

b a ⎰>0及1

0a a

≥⎰，10b b ≥⎰，就有b a ⎰＝11

b a ⎰＋1a a

⎰＋1b b ⎰>0，矛盾。

今证存在ξ∈11[,](,)a b a b ⊂，使()f m ξμ==，若不然，则在11[,]a b 上恒有

()0f x m ->及()0g x >，从而[()]()0f x m g x ->，故11

[()]()0b

f x m

g x dx a ->⎰，这

与（5）式矛盾，同理可证M μ=的情形。总之，存在ξ(,)a b ∈使等式成立。