1.2斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
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βα
αu
PδuPuP==?=?gguPx2x2x2x2x1x1x1x1u1g1u2g2u
P
P1g1P2g2P2g2P1g1P
u
u1g1u2g21.2.2
1.2.21.2.2
1.2.2三维空间中的斜角直线坐标系
三维空间中的斜角直线坐标系三维空间中的斜角直线坐标系
的逆变分量的逆变分量
的逆变分量：
：：
：ββPgP?=（
（（
（爱因斯坦求和约定
爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定
爱因斯坦求和约定：
：：
：α为
为为
为哑指标
哑指标哑指标
哑指标）
））
）
（
（（
（
α，
，，
，
β 均为
均为均为
jk
ik
kj
ikδ
ggg=?=?=gggg()[]ggij==
???
???
???
=2
321
33233
322212
312111det
ggg
gggggg
gggggg
gggggg1()
[][]321
321
3
3
2
3
1
三维空间中的斜角直线坐标系1.2.2.1
1.2.2.1 1.2.2.1
1.2.2.1 斜角直线坐标系
斜角直线坐标系斜角直线坐标系
斜角直线坐标系x3点
点点
点（x1，x2，x3）
矢径
矢径矢径
矢径i
ix
gr=1.2.2.2
1.2.2.2 1.2.2.2
张量分析
张量分析张量分析
张量分析张量分析
张量分析张量分析
张量分析
及
及及
及连续介质力学
连续介质力学连续介质力学
连续介质力学1.2
1.2 1.2
1.2 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
1.2.2.2 协变基矢量
协变基矢量协变基矢量
协变基矢量r
x1x2x3O
x1g1x2g2x3g3i
i
i
ix
x
x
dddg
r
r=
?
?
=i
ix
?
?
=
r
g[
]0321≠ggg右手系
右手系右手系
右手系：
：：
k
kj
k
jk
k
jjPPgPPP↓=?=?=gggP
?
≠
=
=
βα
βα
δβ
α当
当当
当
当
当当
当
0
1x1x1g1g2g1g2x1x2x1g1g2φg2g1
φx2x2x2x2β
βα
αPPggP==P的协变分量
的协变分量的协变分量?=P的逆变分量
即即
即Q法
法法
法1
11
132
1
32
1,
g//ggggg×⊥即
即即
即Q()[]gaaa==?×=?=3211321
11
gggggggg由
由由
由g
a
1
=得
得得
得3
2
1g
gg×=∴a可令
可令可令
可令故
故故
：jjjxx?
??
?==gradg1.2.2.4
1.2.2.4 1.2.2.4
1.2.2.4 由协变基矢量求逆变基矢量
由协变基矢量求逆变基矢量由协变基矢量求逆变基矢量
由协变基矢量求逆变基矢量
法
法法
法1
11
11
1,g//ggggg×⊥即
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
11det
1gggggg
gggggg
gggggg
gggggg
gg=
???
???
???
=?=1
j
i
333
[][]g
113
21
321=
=
ggg
ggg同理可得
同理可得同理可得
：：
：jijij
k
ikj
k
ikijggδgg=?=?==ggggj
ijig
gg=度量张量的协变分量
度量张量的协变分量度量张量的协变分量
度量张量的协变分量：
：：
：jijij
k
ik
k
jikijggδgg=?=?==ggggj
i
j
i
同理可得：
：：
：()32
1g
gg×=g()13
2g
gg×=g()21
3g
gg×=g1.2.2.5
1.2.2.5 1.2.2.5
1.2.2.5 指标升降关系
指标升降关系指标升降关系
指标升降关系()i
k
ki
k
ik
k
iiPPgPPP↑=?=?=gggP()j
故()32
11
ggg×=
g同理可得
同理可得同理可得
同理可得：
：：
：()13
21
ggg×=
g()2
1
31
ggg×=
g法
法法
法2
22
2j
ijig
gg=度量张量的逆变分量
度量张量的逆变分量度量张量的逆变分量
度量张量的逆变分量：
：[]g=321ggg>01.2.2.3
1.2.2.3 1.2.2.3
1.2.2.3 逆变基矢量
逆变基矢量逆变基矢量
逆变基矢量
gj 满足对偶条件
满足对偶条件满足对偶条件
满足对偶条件：
：：
：j
ii
jδ=?gg可证
可证可证
可证：
：：
均为自由指标
自由指标自由指标
自由指标）
））
）x1x1x1x2x1P
P
P2 g2P1g1P2g2P1g1P2g2P1g1P2g2P1g1α
α
α
β
β
αβ
βα
αu
PδuPuP==?=?gguP同理得
同理得同理得
同理得α
αβ
αβ
αβ
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量1.2.1
1.2.1 1.2.1
1.2.1 平面内的斜角直线坐标系
平面内的斜角直线坐标系平面内的斜角直线坐标系
平面内的斜角直线坐标系协变基矢量
协变基矢量协变基矢量
协变基矢量：
：：
：()2,1=ααg逆变基矢量
逆变基矢量逆变基矢量
逆变基矢量：
：：
：()2,1=ββgx2x2x2x2x1x1g1g2
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对偶条件对偶条件
对偶条件：
：：
：()21,,βαδβ
αα
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δδ
δ：
：：
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P
P1g1P2g2P2g2P1g1P
u
u1g1u2g21.2.2
1.2.21.2.2
1.2.2三维空间中的斜角直线坐标系
三维空间中的斜角直线坐标系三维空间中的斜角直线坐标系
的逆变分量的逆变分量
的逆变分量：
：：
：ββPgP?=（
（（
（爱因斯坦求和约定
爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定
爱因斯坦求和约定：
：：
：α为
为为
为哑指标
哑指标哑指标
哑指标）
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α，
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，
β 均为
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ik
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ggg
gggggg
gggggg
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321
3
3
2
3
1
三维空间中的斜角直线坐标系1.2.2.1
1.2.2.1 1.2.2.1
1.2.2.1 斜角直线坐标系
斜角直线坐标系斜角直线坐标系
斜角直线坐标系x3点
点点
点（x1，x2，x3）
矢径
矢径矢径
矢径i
ix
gr=1.2.2.2
1.2.2.2 1.2.2.2
张量分析
张量分析张量分析
张量分析张量分析
张量分析张量分析
张量分析
及
及及
及连续介质力学
连续介质力学连续介质力学
连续介质力学1.2
1.2 1.2
1.2 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
1.2.2.2 协变基矢量
协变基矢量协变基矢量
协变基矢量r
x1x2x3O
x1g1x2g2x3g3i
i
i
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x
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]0321≠ggg右手系
右手系右手系
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1x1x1g1g2g1g2x1x2x1g1g2φg2g1
φx2x2x2x2β
βα
αPPggP==P的协变分量
的协变分量的协变分量?=P的逆变分量
即即
即Q法
法法
法1
11
132
1
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g//ggggg×⊥即
即即
即Q()[]gaaa==?×=?=3211321
11
gggggggg由
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1
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2
1g
gg×=∴a可令
可令可令
可令故
故故
：jjjxx?
??
?==gradg1.2.2.4
1.2.2.4 1.2.2.4
1.2.2.4 由协变基矢量求逆变基矢量
由协变基矢量求逆变基矢量由协变基矢量求逆变基矢量
由协变基矢量求逆变基矢量
法
法法
法1
11
11
1,g//ggggg×⊥即
3
3
2
2
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1
2
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1
2
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同理可得同理可得
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k
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gg=度量张量的协变分量
度量张量的协变分量度量张量的协变分量
度量张量的协变分量：
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：：
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1.2.2.5 1.2.2.5
1.2.2.5 指标升降关系
指标升降关系指标升降关系
指标升降关系()i
k
ki
k
ik
k
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故()32
11
ggg×=
g同理可得
同理可得同理可得
同理可得：
：：
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21
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g法
法法
法2
22
2j
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gg=度量张量的逆变分量
度量张量的逆变分量度量张量的逆变分量
度量张量的逆变分量：
：[]g=321ggg>01.2.2.3
1.2.2.3 1.2.2.3
1.2.2.3 逆变基矢量
逆变基矢量逆变基矢量
逆变基矢量
gj 满足对偶条件
满足对偶条件满足对偶条件
满足对偶条件：
：：
：j
ii
jδ=?gg可证
可证可证
可证：
：：
均为自由指标
自由指标自由指标
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P2 g2P1g1P2g2P1g1P2g2P1g1P2g2P1g1α
α
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αβ
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αu
PδuPuP==?=?gguP同理得
同理得同理得
同理得α
αβ
αβ
αβ
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量1.2.1
1.2.1 1.2.1
1.2.1 平面内的斜角直线坐标系
平面内的斜角直线坐标系平面内的斜角直线坐标系
平面内的斜角直线坐标系协变基矢量
协变基矢量协变基矢量
协变基矢量：
：：
：()2,1=ααg逆变基矢量
逆变基矢量逆变基矢量
逆变基矢量：
：：
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对偶条件对偶条件
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