可降阶的高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程解法

①())(x f y n =型的微分方程

对())(x f y n =两边积分，有

()⎰+=-11)()(C dx x f x y n ，

()()212])([C dx C dx x f x y n ++=⎰⎰-，

……

依次进行n 次积分即得通解．

②()y x f y '='',型的微分方程

方程的特点是右端不显含y ，令p y ='，则p y '=''，于是原方程化为),(p x f p ='，是关于p 的一阶方程，若其解为),(1C x p ϕ=，即

),(1C x dx dy ϕ=，积分求解即可． ③()y y f y '='',型的微分方程

方程的特点是右端不显含自变量x ，令p y ='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''，于是原方程化为),(p y f dy

dp p =，是关于p 的一阶方程，若其解为),(1C y p p =，即),(1C y p dx

dy =，再积分求解即可．

例题1求下列各微分方程的通解

（1）x x y x y e 1+'=''； （2）()221

12y y y y '+-='' 解 （1）原方程属于()y x f y '='',类型．

令p y ='，则p y '=''，原方程可化为

x x p x p e 1+=

'， 此为P 的一阶线性方程，其通解为

()

1111e e e e C x C dx x p x dx x x dx x +=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--，

所以 ()

1e C x dx dy x +=， 分离变量后得 ()

dx C x dy x 1e +=，

两边积分，得原方程的通解为 2212

1e )1(C x C x y x ++-=． （2）原方程为属于()y y f y '='',类型．

令p y ='，则dy

dp p y =''，代入原方程得 22112p y y dy dp p

+-=， 当0=p 时，得0==dx

dy p ，即C y =为原方程的解； 当0≠p 时，得 p y y dy dp 1

122+-=， 分离变量 dy y y p dp 1

122+-=， 两边积分 ()1

2ln arctan 1ln ln C y y p +-+=， 即 ()y y C p arctan 21e

1-+=， 从而 ()

y y C dx dy arctan 21e 1-+=， 分离变量，再两边积分后，得原方程通解为

2arctan 1e C x C y +=．

练习

练习1求方程222()0d y dy y dx dx

-=的通解 练习2求方程1'''y y x

=

的通解。

练习1解答：原方程为属于()y y f y '='',类型，令

代入原方程得：

它相当于两个方程：

由第一个方程解得：y=C;

第二个方程可用分离变量法解得

p =C 1y 从而

由此再分离变量，解得：

这就是原方程的通解（解y=C 包含在这个解中）

练习2 解答：原方程属于()y x f y '='',类型，令y'=p. =''dp y dx

，代入方程，得

分离变量后，得

积分，得

.即

再积分，即得原方程的通解：

.