高一第6讲 指数函数及性质(教师版)

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高一数学上第 6 讲
∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，∴函数 f(x)＝ e
－x
a
＋
a
e
－x
，当 a＝1 时在(0，＋∞)为增
函数，同理，当 a＝－1 时，f(x)在(0，＋∞)为减函数． 2x x *例 10（最值性）设 a>0 且 a≠1，函数 y＝a ＋2a －1 在[－1,1]上的最大值是 14，求 a 的 x 值． （解题思路：换元令 t＝a ，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数的单调性，构 建方程获解． ） x 2 解 令 t＝a (a>0 且 a≠1)，则原函数化为 y＝(t＋1) －2 (t>0)． 1 1 x ①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝a ∈a， ，此时 f(t)在a， 上为增函数．所以 f(t)max
课堂练习 5：若函数 f(x)＝ 2 围。 答： -， 4 ．
2x-m
（m 为常数）在区间 2， + 上是增函数，求 m 的取值范
题型五指数函数综合应用
例 9（奇偶性） 已知函数 f(x)＝
x 1 ＋1·x3(a＞0 且 a≠1)． a －1 2
(1)求函数 f(x)的定义域；(2)讨论函数 f(x)的奇偶性； ．(3)若 f(x)＞0 在定义域上恒成 立．求 a 的取值范围。 x x 解 (1)由于 a －1≠0，且 a ≠1，所以 x≠0.∴函数 f(x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}． 1 1 ax 1 3 ＋ (2)对于定义域内任意 x，有 f(－x)＝ －x (－x) ＝1－ax＋2(－x)3 a －1 2 1 1 1 3 1 3 ＝－1－ x ＋ (－x) ＝ x ＋ x ＝f(x)，∴f(x)是偶函数． a －1 2 a －1 2 1 1 x x (3)当 a＞1 时，对 x＞0，由指数函数的性质知 a ＞1，∴a －1＞0， x ＋ ＞0. a －1 2 1 1 3 3 又 x＞0 时，x ＞0，∴x x ＋ ＞0，即当 x＞0 时，f(x)＞0.又由(2)知 f(x)为偶函数， a －1 2 即 f(－x)＝f(x)，则当 x＜0 时，－x＞0，有 f(－x)＝f(x)＞0 成立． 综上可知，当 a＞1 时，f(x)＞0 在定义域上恒成立． －x e a *练习 6：设 f(x)＝ ＋ －x是定义在 R 上的函数．:(1)f(x)可能是奇函数吗？ a e (2)若 f(x)是偶函数，求 a 的值并讨论其在(0，＋∞)的单调性． －x x a e a e 解 (1)假设 f(x)是奇函数， 由于定义域为 R， ∴f(－x)＝－f(x)， 即 ＋ x＝－ ＋ －x， a e a e 1 1 x －x 2 整理得a＋ (e ＋e )＝0，即 a＋ ＝0，即 a ＋1＝0 显然无解．∴f(x)不可能是奇函数．
三．知识梳理：
指数函数：①定义：函数 y a x (a 0, 且a 1) 称指数函数， 1）函数的定义域为 R；2）函数的值域为 (0,) ； 3）当 0 a 1 时函数为减函数，当 a 1 时函数为增函数。 ②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、二象限； 2）指数函数都以 x 轴为渐近线（当 0 a 1 时，图象向左无限接近 x 轴，当 a 1 时，图 象向右无限接近 x 轴） ； 3）对于相同的 a(a 0, 且a 1) ，函数 y a x 与y a x 的图象关于 y 轴对称。
x2 2 x
（2） y ( )
1 2
x 1
（4） y 2 x1 4 x
答： （1） 2, 4 ， （2） 0,1 ， （3） 1,9 ， （4） 0,1 。
a x ( x 1) 例 8 （1） 若 f ( x) 是 R 上的单调递增函数，则 a 的取值范围为 a (4 ) x 2( x 1) 2
1 2
3.1
3 4
1
4 3

1 5
（3） a 与 a (a 0且a 1) 答： （1）< (2)同底法：> (3)讨论法：a>1 时：< ,0<a<1 时：>. 例 6、解不等式 （1） 2
x2 3 x
4 x （2） 4 x 2 x1 8 （3） a 2 x x a 2 x1 (a 0且a 1)
x
(1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数；(2)指数位置是自变量 x；(3)a 的系数是 1. 2．求指数函数的关键是求底数 a，并注意 a 的限制条件． x 课堂练习 1：若函数 y＝(4－3a) 是指数函数，则实数 a 的取值范围为________． x 解析 y＝(4－3a) 是指数函数，需满足：
，（ 2 ） x (2, )
2
答 ：（ 1 ） x (0,5)
（- ， ） 1 ，当 （ 3 ） 当 a 1时，x
1 2
1 0 a 1 时， x ( , ) ( 1 , ) 2
例 7 求下列函数的值域 （1） y 2 x1 (0 x 1) （3） y 9
x
*(2)若关于 x 的方程 25 －4·5 －m＝0 有实根，则实数 m 的取值范围是________． －|x＋1| 2 2 2 解析：令 t＝5 知 t －4t＝m，则有 m＝t －4t＝(t－2) －4.∵t∈(0,1]， ∴m∈[－3,0)． 课堂练习 4： （ 2011 湖 南 高 考 题 ） 已 知 函 数 f ( x) e 1, g ( x) x 4x 3, 若 有
xax
a ，x>0 xax 解：函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且 y＝ ＝ x |x| －a ，x<0
x
.当 x>0 时，函数是一个指数
函数，因为 0<a<1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；当 x<0 时，函数图象与指数函数 y x ＝a (x<0,0<a<1)的图象关于 x 轴对称，函数在(－∞，0)上是增函数，故填④. （2）若函数 y ( ） m 的图象与 x 轴有公共点，求 m 的取值范围。
(3)若函数 y＝a ＋b－1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则 a、b 的取值范围是 __________． x (4)方程 2 ＝2－x 的解的个数是________． 1 x 解析 （1） 分别作出函数 y＝2 ， y＝( )x 和 y＝0.2x 的图象， 如图所示， 从图象可以看出， 2
(A)
(1, )
(B)
(4,8)
(C)
[4,8)
(D) (1,8)
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a 1 a 答：∵f(x) 是 R 上的单调递增函数，∴ 4 0 ,解得 4 a 8 ，选 C. 2 a 4 2 a 2 2 x2 2 x （2）函数 y ( ) 的单调减区间为 5 答: 2, 1 .
x
的指数是 x＋1，不是自变
x
量 x，故②不是指数函数；③中，3 的系数是 1，幂的指数是自变量 x，且只有 3 一项，故
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3
③是指数函数；④中，y＝x 的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数 －2<0，不是指数函数． 答案 B 课堂小结：1.指数函数的解析式必须具有三个特征：
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(4)方程的解可看作函数 y＝2 和 y＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象 (如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．
x
课堂小结：(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过 平移、对称变换得到其图象． (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． 课堂练习 2： （1）函数 y＝ (0<a<1)图象的大致形状是下列图形中的________．(填序号) |x|
则 f(x1)－f(x2)＝ (e e
x1 x1

) (e e
x2
x2
(e x1 e x2 )(e x1 x2 1) ， )＝ e x1 x2
∵x1，x2∈(0，＋∞)且 x1＜x2，∴ e x1 x2 ＞1， e x1 e x2 ＜0，∴ e x1 x2 －1＞0，
四．典例剖析
题型一指数函数的概念
例 1: 给出下列函数： x x＋1 x 3 x ①y＝2·3 ；②y＝3 ；③y＝3 ；④y＝x ；⑤y＝(－2) .其中，指数函数的个数是( A．0 B．1 C．2 D．3 思路探索： 根据指数函数的定义判断．
x x＋1
)．
解析 ①中，3 的系数是 2，故①不是指数函数；②中，y＝3
3 x
1( a 0且a 1 )过定点
2x 的定义域和值域. 2x 1
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1 2x 解：因为 2 ＋1>0 恒成立，所以定义域为 R，又 y＝ x ＝1－ x ， 2 1 2 1 1 1 x 而 2 >0，所以 0< x <1，则－1<－ x <0，得 0<y<1，即值域为(0,1)． 2 1 2 1
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第 6 讲指数函数及性质（教师版）
一．学习目标：
1．理解指数函数的概念和意义． 2．能借助计算器或计算机画出指数函数的图象． 3．初步掌握指数函数的有关性质． 4.理解指数函数的单调性与底数的关系．能运用指数函数的单调性解决一些问题．
二．重点难点：
1．指数函数的概念及有关性质．(重点) 2．指数函数的图象．(难点) 3．指数函数的值域及图象过特殊点．(易错点)
x
1 a a a 当 a<0 时，有 0.2 >( ) >2 . 2 1 a a 2 1 a 答案 0.2 >( ) >2 （2） ： ， ，π， 3。 2 2 2 x (3)函数 y＝a ＋b－1 的图象经过第二、 三、 四象限， 大致图象如图． 所以函数必为减函数． 故 0 0<a<1.又当 x＝0 时，y<0，即 a ＋b－1<0，∴b<0.
4－3wk.baidu.com>0， 4－3a≠1，
4 4 解得 a< 且 a≠1.，a 的取值范围为{a|a< 且 a≠1}． 3 3
4 答案 {a|a< 且 a≠1} 3
题型二
例2
指数函数的图象及应用
1 a, a a (1)若 a<0，则 2 ，( ) 0.2 的大小顺序是________． 2
x
2 1 ， ， 3，π}，则图 2 2 象 C1、C2、C3、C4 对应的函数的底数依次是______、________、________、________. （2）下图的曲线 C1、C2、C3、C4 是指数函数 y＝a 的图象，而 a∈{
x 2
－|x＋1|
－|x＋1|
f (a) g (b), 则 b 的取值范围为
A．
[2 2, 2 2]
B．
(2 2, 2 2)
C．
[1,3]
D．
(1,3)
答：B
题型四指数函数单调性应用
例 5 比较下列各组数的大小 （1） 1.7
1 3
2 .5
与 1.7 （2） ( ) 6 与 ( )

a
a
e a e a (2)因为 f(x)是偶函数，所以 f(－x)＝f(x)，即 ＋ x＝ ＋ －x， a e a e 1 1 x －x 整理得a－ (e －e )＝0，又∵对任意 x∈R 都成立，∴有 a－ ＝0，得 a＝±1.
x
－x
a a －x x 当 a＝1 时，f(x)＝e ＋e ，以下讨论其单调性，任取 x1，x2∈(0，＋∞)且 x1＜x2，
1-x
1 2
答： （-1,0） （3）当 x>0 时，指数函数 y (a 3)
2 x
的图象在指数函数 y (2a)
x
的图象的上方，求 a
的取值范围。 答：a>3.
题型三
指数函数有界性应用
x＋1
例 3 已知不论 a 为何正实数，y＝a －2 的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________． x x＋1 解析 因为指数函数 y＝a (a>0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)，而函数 y＝a －2 的图象可 x 由 y＝a (a>0，a≠1)的图象向左平移 1 个单位后，再向下平移 2 个单位而得到，于是，定点 x＋1 (0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所以函数 y＝a －2 的图象恒过定点(－1，－1)． 答案 (－1，－1) 课堂练习 3：函数 f(x)= 2a 答： （3,3） 例 4(1)求函数 y＝