相似三角形的实际应用

1.2 相似三角形实际应用

教学目标：1．会运用三角形相似的判定进行有关的计算和推理。

2．能运用三角形相似的知识解决相关的实际问题。

3．能探索解决一些与三角形相似有关的综合性题型。

教学重点：运用三角形相似的判定进行有关的计算和推理

教学难点：解决一些与三角形相似有关的综合性题型

教学过程：

一、知识回顾：

我们学习了相似三角形的哪几个判定方法?

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二、引入新课：

相似三角形的知识，在实际中应用非常广泛，主要运用相似三角形的有关性质来测量、计算那些不易直接测量的物体的高度或宽度（距离）。

相似三角形应用的类型：

（一）利用阳光下的影长解决实际问题

由于太阳离地球非常远，而且太阳的体积比地球大得多，所以可以把太阳光线近似看成平行线。借助太阳光下的影子测量旗杆的高度，基本思路是利用太阳光是平行光线以及人、旗杆与地面垂直构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例列出关系式求解。

例1：如图，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住。已知小亮的身高BC=1.6m，此时，他的影子的长AC=1m，他距水塔的底部E出11.5m，水塔的顶部为点D。根据以上数据，你能算出水塔的高度DE是多少吗？随堂练习

（1）在阳光下，同一时刻的物高与影长成比例．如果一旗杆在地面上的影长为20m，同时，高为1.5m的测竿的影长为2.5m，那么旗杆的高是______________.

（2）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的

小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当

她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的

顶端重合，此时测得AC=2m，BC=8m，则旗杆的高度

是。

（二）利用标杆解决实际问题

借助标杆测量旗杆的高度，思路是从人眼所在的部位向旗杆作垂线，根据人、标杆、旗杆与地面垂直构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例列出关系式计算。例2：如图左边大树的高度分别是AB=8米，两树的水平距离BD=5米，一观测者的眼睛高EF=1.6米，且E、B、D在一条直线上，当观测者的视线FAC恰好经过两棵树的顶端时，则此时观测者与树AB的距离EB等于8米，请求出右边那棵大树的高度CD为多少？

（三）利用镜子的反射解决实际问题

利用镜子的反射测量旗杆的高度，思路是根据反射角等于入射角，人、旗杆（或大树）与地面垂直构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例列出算式。

例3：为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为多少？

三、课堂训练

1.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）A．10米 B．12米 C．15米 D．2

2.5米

2.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）

A．60m B．40 C．30m D．20m

3.如图是小明设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离PD=12米，镜子P与小明的距离BP=1.5米，

小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地

面的高度AB=1.2米，那么该古城墙的高度是（）

A．9.6米 B．18米 C．8米 D．24米

四、课堂小结：通过这节课的学习你有什么收获和疑问？

五、作业：

1. 如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为 ____________m．

2.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为米。

3．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为 _____________m．

4. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为米。

5.如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部，已知小华的身高是 1.60m，两个路灯的高度都是9.6m，设AP =x(m)。

(1)两路灯之间的距离是；

(2)当小华走到路灯B时，他在路灯下的影子是

6.大刚的身高为1.7米，测得他站立在阳光下的影子长为0.85米,他把一只手臂竖直向上举起，测得影子长为1.1米，大刚举起手臂超过头顶多少米？

7.如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；

（2）求CF的长．

P

D

B

C

A