张量分析第一章教程文件

矢量相等
大小和方向相同
单位矢量
大小为1
零矢量
大小为0
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图形表示
矢量 ar (a1,a2,a3)
分量: a i
x1
x3 a
a
O
a az
ax
x2
ay
用三个有序数组表示
a a 1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3
矢量大小
a a12a22a32
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1.1.2 矢量和,差与积
(1) 矢量和 (平行四边形法则)
132,321,213
0,当 i , j , k 中有取值相同者.
1
1
3
2
3
2
偶排列
奇排列
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矢量叉积 a r b r ( a 2 b 3 a 3 b 2 ) e r 1 ( a 1 b 2 a 2 b 1 ) e r 3 ( a 3 b 1 a 1 b 3 ) e r 2 用置换符号可写成
x1 x2 x3
x1 C11z1 C12z2 C13z3 x2 C21z1 C22z2 C23z3 x3 C31z1 C32z2 C33z3
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1.1.4 置换符号 { ijk }
1, 当 i , j , k 是1,2,3的偶排列
123,231,312
i j k -1,当 i , j , k 是1,2,3的奇排列
三大守恒定律:质量守恒,动量守恒,能量守恒,状态方程,熵 不等式,热力学两大定律.
第五章 本构方程
本构概念,本构方程遵循的一些理论
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考核方法：平时作业和出勤情况占 30％； 期末考试占70％。
参考书目： 1) 冯元祯，连续介质力学导论,重庆大学出版社 2) 吕洪生等编著，连续介质力学基础，国防科技
j 1 j 2 j 3
aj
ds2 dx2 dy2 dz2 dxidxi ijdxidxj
ijjk ik
wk.baidu.com
aiij a j
xi x j
xi, j
ij
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例: A i j b j
u i i
k xk
xi Cij z j
分量形式:
Ai1b1Ai2b2Ai3b3
u11u22u33
1 2 3
a r b r c r ( ijka jb k) (c i)
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1.1.5三矢量之积 三矢量标量积(混合积)
a r(b r c r) (a ie ri)( ijkb jc k )e ri
ijk a ib jc k
a1 a2 a3 b1 b2 b3
c1 c2 c3
bxc
a c b
三矢量叉积 a ( b c ) ( a c ) b ( a b ) c
大学出版社
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第一章 连续介质力学的数学基础
重点掌握: 1. 张量的概念 满足坐标变换规律 运算法则 2 .证明一些恒等式 3 .梯度,散度,旋度等概念
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第一章 连续介质力学的数学基础
1.1 矢量
1.1.1矢量的概念
在三维欧几里得空间内, 具有大小和方向 的有向 线段.
矢量的表示
粗体字或字母上箭头
应写成 a i i b j j
(4)同一等式中,同一文字指标在其中的一项单独出现, 则它在其他某项内重复出现,对该项也不求和.
fi Tii
f1 T11 f2 T 22
f3 T 33
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(5) 不能改变某一项的自由标,但所有项的自由标可以 改变.
如 ajixi bj
akixi bj akixi bk
第一章 连续介质力学中的数学模型
主要掌握:张量的概念,张量的表示方法以及张量的运算规律等
第二章 应力分析
主要掌握:应力张量,应力张量的对称性,变换规律,主应力,主 方向,剪应力,应力偏张量等
第三章 连续介质运动学
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主要掌握:物质坐标与空间坐标,物质导数,随波导数,速度张 量,速度分解定理等.
第四章 连续介质力学基本定律
a b abcos
点积满足
a b b a
a (b c ) a b a c
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(5)矢量的叉积
e1 e2 e3 aba1 a2 a3
b1 b2 b3
(a2b3a3b2)e1(a1b2a2b1)e3(a3b1a1b3)e2
注意:
a b b a
axb
O
b
a -axb
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(6)并矢
定义
a rb ra ie ribje rja ibje rie rj
rr 展开共9项， e i e j 可视为并矢的基
a i b j 为并矢的分解系数或分量
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1.1.3 Einstein求和约定
在同一项内的一个指标的重复,将表示对该指标 在它的范围上遍历求和.
自由指标:无重复出现的指标,取值域1,2,3(三维空间中)
Wrong Right
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(6) Kronecker 符号 Delta
ij
ij
1 0
i j i j
几个重要式子:
A ij ij A ii A jj A 1 1 A 2 2 A 3 3
ij ijii1 12 23 3 3
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ijai 1ja1 2 ja2 3 ja3 aa12
a3
abba (ab)ca(bc)
(2)矢量差
a b a (b )
(3) 矢量与标量的积满足结合律和分配律
ma
r
r
m(nb)(mn)b
a
m ( a r b r ) m ( b r a r ) m a r m b r
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(4)矢量的点积
标量 a rb r a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3
哑标: 重复出现一次且仅重复一次的指标为求和指标或
为哑标.
如
ai
a'
ji j
a rb r a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a ib i
a 11a 1 1 ' 2a 1 2 ' 3a 1 3 ' aii a11a22a33
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几个注意事项:
(1)求和指标不区分该指标表示的各个分量,而是 一种约定的求和标记.
aibi a jb j a ijb j a ik bk
(2)连续介质的研究对象是三维连续体,
i , j , k 取值范围为1,2,3
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(3) 同一项中重复出现的指标不能超过两次.
( a 1 1 a 2 2 a 3 3 ) ( b 1 1 b 2 2 b 3 3 ) a i ib i i
张量分析第一章
1)变形几何和运动学 研究连续介质变形的几何性质,确定物体各部分空
间位置的变化及各邻近点距离的变化;研究随时间变化 的物理量的时间变化率. 2)连续介质满足的物理基本定律
质量守恒,动量守恒,能量守恒,热力学基本定律 3)连续介质的本构方程
描述各种连续介质模型对外部作用的响应;
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