2.二元关系

1.按有序对的定义写出有序三元组和有序对<,c>的集合表达式。
答：根据定义=<,c>={{},{,c}}={{{{a},{a,b} }},{{{a},{a,c}
},c }}

2.简单，录入麻烦.略去

3.>=能成立吗？为什么？
不能成立，根据有序n元组定义=<,c> ≠>

4.下列哪些等式是成立的？
1）<φ, φ>=φ 不成立
2）<φ, φ>={φ} 不成立
3）<φ, φ>={{φ}} 成立
4）<φ, φ>={φ，{φ}} 不成立
5) <φ, φ>={{φ}，{φ, φ}} 成立
6) ={{a}} 不成立
7)={{a},{a,{a}}} 成立

5．在什么条件下，下列等式成立?
(1)A X B=φ
A=φ 或者B=φ
(2)AXB=BXA
A=B或者A=φ或者B=φ
(3)AX(BXC)=(AXB)XC
A=φ或者B=φ或者C=φ

6.设A,B,C,D为任意的集合，证明下列各式成立
1) (A XC)∪(BXD) 包含于 (A∪B) X( C∪D)
证明：对于任意
∈(AXC)∪(BXD)
<=>∈(AXC) ∨ ∈(BXD)
<=>(x∈A∧y∈C) ∨ (x∈B∧y∈D)
<=>( x∈A∨ x∈B) ∧( x∈A ∨y∈D) ∧(y∈C∨ x∈B) ∧( y∈C ∨y∈D)
=>( x∈A∨ x∈B) ∧( y∈C ∨y∈D)
<=>x∈(A∪B) ∧y∈( C∪D)
<=>∈(A∪B) X( C∪D)



2)(A --B) X(C --D) 包含于(AXC)—(BXD)
证明：对于任意
∈(A --B) X(C --D)
<=>x∈(A--B) ∧y∈(C--D)
<=>(x∈A ∧x￠B)∧ (y∈C∧y￠D)
<=>( x∈A∧y∈C) ∧(x￠B∧y￠D)
=>∈AXC ∧￠BXD
<=>∈AXC ∧∈~(BXD)
<=>∈(AXC)∩~(BXD)
<=>∈(AXC)—(BXD)

7,设A,B,C为任意集合，证明下列等式成立
1）（A--B）XC=(AXC)—(BXC)
证明 对于任意
我的证明是：
<=>(x∈A ∧x￠B)∧ y∈C
<=>((x∈A ∧y∈C)∧x￠B)∨F
<=>((x∈A ∧y∈C)∧(x￠B ∨y￠C)
<=>∈A×C ∧ ～(x∈B ∨ y∈C)
<=>∈A×C ∨ ～∈B×C
: <=>∈AXC ∧∈~(BXC)
: <=>∈(AXC)∩~(BXC)
: <=>∈(AXC)—(BXC)
（谢谢akaru!!!!!!!!!!!!!!）



2)(A⊕B)XC=(AXC) ⊕(BXC)
证明：对于任意∈(A⊕B)XC
<=>x∈(A⊕B) ∧y∈C
<=>( x∈(A∩~B) ∨x∈(~A∩B)) ∧y∈C
<=>(( x∈A∧x∈~B)∨(x∈~A∧ x∈B))∧y∈C
<=> ((x∈A∧y∈C)∧(x∈~B∧y∈C)) ∨((x∈B∧y∈C)∧(x∈~A∧y∈C))
<=>(∈(AXC) ∧∈~(BXC)) ∨(∈(BXC) ∧∈~(AXC))
<=>∈((AXC)—(BXC)) ∨∈((BXC)—(AXC))
<=>∈((AXC)—(BXC)) ∪((BXC)—(AXC))
<=>∈(AXC) ⊕(BXC)



8.设A,B为两集合，在什么条件下，有AXB包含A成立？等号能成立吗？
答：当A=φ∨ B=φ时 成立
当 A=φ时，等号成立

9.设A是n元集，B是m元集，A到B共有多少个不同的二元关系？
答：有 2^mn个不同的二元关系
设A={a,b,c},B={1}
所有A到B二元关系为：
A1=φ,A2={},A3={},A4={},A5={,}
A6={,},A7={,},A8{,,}
同理可列出8个B

到A的二元关系


10.设R是非空集合A上的二元关系，证明 fld R=∪∪R
证明：
1)如果R为空集，命题显然成立
2)设z∈fldR, 那么必存在 ∈R∨∈R
如果 ∨∈R=>{z,x}∈∪R(根据定义因为∨∈R,且{z,x}∈∧
，所以 {z,x}∈∪R)
=>z∈∪∪R(根据定义因为{z,x}∈∪R,且z∈{z,x}，所以z ∈∪R{z,x}∈R)
所以fldR包含于∪∪R
2．设z∈∪∪R=>必存在集合K1∈∪R∧z∈K1(定义)=>必存在集合
K2∈R∧K1∈K2∧z∈K1=>z∈fldR(根据二元关系转化为集合那种形式的定义)
所以∪∪R包含于fldR
所以fld R=∪∪R



11，设R1={,,,},R2={,,,},A={a,c}求
1）R1∪R2 R1∩R2 R1⊕R2
R1∪R2={,,,,,,}
R1∩R2={}
R1⊕R2={,,,,,}

2)domR1,domR2,dom(R1∪R2)
domR1={a,b,c}
domR2={a,b,d}
dom(R1∪R2)={a,b,c,d}

3)ranR1,ranR2,ranR1∩ranR2
ranR1={b,c,d}
ranR2={b,c,d}
ranR1∩ranR2={b,c,d}

4) R1↑A,R1↑{c},(R1∪R2) ↑A,R2↑A
R1↑A={,,}
R1↑{c}={,}
(R1∪R2)↑A={,,,}
R2↑A={}

5)R1[A],R2[A],R1∩R2[A]
R1[A]={b,c,d}
R2[A]={c}
R1∩R2[A]= φ

6)R1oR2,R2oR1,R1oR1
R1oR2={,,}
R2oR1={,,,,}
R1oR1={,,}

12.设R={<φ, {φ,{ φ}}>,<{φ},φ>，<φ, φ>}，求
1)R^-1
R^-1={<{φ,{ φ}},φ>,<φ,{ φ}>,<φ, φ>}
2) RoR
RoR={<{φ},φ>，<φ, {φ,{ φ}}>,<φ, φ>,<{φ}, {φ,{ φ}}>}
3)R↑φ ,R↑{φ}. R↑{{φ}}, R↑{φ, {φ}}
R↑φ= φ
R↑{φ}={<φ, {φ,{ φ}}>,<φ, φ>}
R↑{{φ}}={<{φ},φ>}
R↑{φ, {φ}}=R

4)R[φ] ,R[{φ}]. R[{{φ}}], R[{φ, {φ}}]
R[φ]= φ
R[{φ}]={ {φ,{ φ}}, φ }
R[{{φ}}]={φ}
R[{φ, {φ}}]=ranR

5)domR,ranR,fldR
domR={φ,{φ}}
ranR={{φ,{ φ}},φ}
fldR={φ,{φ},{φ,{ φ}}}

13.设R是非空集合A上的二元关系，证明：
1）R∪R^-1是包含R的最小的对称二元关系
证明：1)显然R包含于R∪R^-1
2)对于任意∈ R∪R^-1
<=>∈R∨∈R^-1
<=>∈R^-1∨∈R
<=>∈R∪R^-1
所以 R∪R^-1是对称二元关系
3)假设存在 R包含于R’，|R’|<|R∪R^-1|,R’也是对称二元关系
存在 ∈R∪R^-1,且 ￠R’
∈R∪R^-1
<=> ∈R∨∈R^-1
<=> ∈R∨∈R
=>∈R’∨∈R’
如果 ∈R’,与假设矛盾
如果∈R’,因为R’是对称的，所以∈R’,与假设矛盾
所以不存在R’
所以R∪R^-1是包含R的最小的对称二元关系

2）R∩R^-1是含与R的最大的对称的二元关系
证明：1)显然R∩R^-1包含于R
2)对于任意∈ R∩R^-1
<=>∈R∧∈R^-1
<=>∈R^-1∧∈R
<=>∈R∩R^-1
所以 R∩R^-1是对称二元关系
4)假设存在

R’包含于R，R∩R^-1真包含于R’,R’也是对称二元关系
存在 ∈R’,且 ￠R∩R^-1
∈R’=>∈R( R’包含于R)
∈R’=>∈R’=>∈R=>∈R^-1
所以∈R∩R^-1,矛盾，所以R∩R^-1是含与R的最大的对称的二元关系


14.设R是非空集合A上的二元关系，若对于任意x,y,z∈A,如果xRy yRz则xRz，则称R是A上
的反传递的二元关系
1） 举一些反传递关系的例子
R={<1,2>,<2,3>}
2)证明,R是反传递的当且仅当R^2∩R=φ其中R^2=RoR
证明：1)必要性：
∈R^2
<=>存在 z(∈R∧∈R )
=>￠R
所以R^2∩R=φ
2)充分性：
对于任意∈R∧∈R
<=>∈R^2
=>￠R
所以 R是反传递的

15，设A为一集合，R,S,T包含于P(A) X P(A),其中
R={|x,y∈P(A),x真包含于y}
R是反自反，传递，反对称（因为根据定义，前提不存在）
S={|x,y∈P(A),x∩y=φ}
S是对称的
T={|x,y∈P(A),x∪y=A}
T是对称的


16．设A={0,1,…,12},R,S包含于AXA，其中
R={|x,y∈A,x+y=10}
S={|,xy∈A,x+3y=12}
1） 用列举法表示R,S
R={<0,10>,<1,9>,<2,8>,<3,7>,<4,6>,<5,5>,<6,4>,<7,3>,<8,2>,<9,1>,<10,0>}
S={<0,4>,<3,3>,<6,2>,<9,1>,<12,0>,}
2)分析R,S的性质
R是对称的
S是传递的,反对称的


17，设A={0,1,2,3},R包含于AXA,且R={|x=y∨x+y∈A}求R的关系矩阵关系图，并讨
论R的性质
R={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>}
R是自反的，对称的

19 ,
R1是自反的
R2反对称，传递
R3,反自反，对称
R4无任何性质
20,21题，易，略去

22.设R是非空集合A上的二元关系，试证明,如果R是自反的，并且是传递的，则RoR=R,但
其逆不为真.
证明：1)对于任意∈RoR
<=>存在z(∈R∧∈R)
=>∈R
所以 RoR包含于R
对于任意∈R
=>∈R∧∈R
=>∈RoR
所以R包含于RoR

2)举反例
A={1,2,3}
R={<1,1>}
RoR={<1,1>}=R
所以R是传递的，但不是自反的

23.设R,S都是非空集合A上的二元关系，且他们是对称的，证明：RoS具有对称性当且仅当
RoS=SoR.

证明：1）必要性
对于任意∈RoS
<=>RoS
<=>存在z(∈S ∧∈R)
<=>存在z(∈S ∧∈R)
<=>∈SoR
所以RoS=SoR.
2)充分性
对于任意∈RoS
<=> ∈SoR
<=>存在z(∈R ∧∈S)
<=>存在z(∈S ∧∈R)
<=>∈RoS
所以：RoS具有对称性。


24．设A={1,2}，写出A上的全部二元关系，讨论他们的性质并指出空关系，恒等关系，全
域关系，小于等于关系，小于关系，大于等于关系，大于关系，整除关系。
R1= φ 空关系
R2= {<1,1>}
R3= {<2,2>}
R4= {<1,2>}

小于关系
R5= {<2,1>} 大于关系
R6= {<1,1>,<1,2>}
R7= {<1,1>,<2,2>} 恒等关系
R8= {<1,1>,<2,1>}
R9= {<1,2>,<2,2>}
R10= {<1,2>,<2,1>}
R11= {<2,1>,<2,2>}
R12={<1,1>,<1,2>,<2,1>}
R13={<1,1>,<1,2>,<2,2>} 小于等于关系
R14={<1,1>,<2,2>,<2,1>} 整除关系 ,大于等于关系
R15={<1,2>,<2,1>,<2,2>}
R16={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} 全域关系

25.设R包含于AXB，证明
IdomR 包含于R^-1oR并且IranR包含于RoR^-1
证明:1)如果IdomR为空集，命题显然得证
对任意，
∈IdomR
=>x=y ∧ 存在z(∈R)
=>x=y ∧ 存在z(∈R∧∈R^-1)
=>x=y ∧ ∈R^-1oR
=>∈R^-1oR
所以: IdomR 包含于R^-1oR
2)如果IranR为空集，命题显然得证
对任意，
∈IranR
=>x=y ∧ 存在z(∈R)
=>x=y ∧ 存在z(∈R∧∈R^-1)
=>x=y ∧ ∈RoR^-1
=>∈RoR^-1
所以IranR包含于RoR^-1

26，简单: R^2=R^4

27,设R1,R2是n(n≥2)元集A上的二元关系，已知fldR1∩fldR2=φ,
证明(R1∪R2)^m=R1^m∪R2^m(m≥0)
证明：利用归纳法证明：
由于R_1∪R_2仍是A上的二元关系。
故当m=0时，((R1∪R2)^0=I_A=I_A∪I_A=R_1^0∪R_2^0
设m=k时(R1∪R2)^k=R1^k∪R2^k
当m=k+1时
1)
如果(R1∪R2)^(k+1) =φ=> (R1∪R2)^ko(R1∪R2) =φ=>
(R1^k∪R2^k)o(R1∪R2) =φ=>ran(R1∪R2) ∩dom(R1^k∪R2^k)=φ=>
(ranR1∪ranR2) ∩(domR1^k∪domR2^k)= φ
=>(ranR1∩domR1^k=φ)∪(ranR2∩domR2^k)=>R1^(k+1) ∪R2^(k+1)为空集
2)否则任取
∈(R1∪R2)^(k+1)
<=>∈(R1∪R2)^ko(R1∪R2)
<=>∈(R1^k∪R2^k)o(R1∪R2)
<=>存在z(∈(R1∪R2) ∧(R1^k∪R2^k))
<=>存在z((∈R1∨∈R2) ∧(∈R1^k∨∈R2^k))
<=>存在z((∈R1∧∈R1^k) ∨(∈R1∧∈R2^k) ∨(∈R2∧
∈R1^k) ∨(∈R2∧∈R2^k))
<=>存在z(∈R1∧∈R1^k) ∨存在z(∈R2∧∈R2^k)
(fldR1∩fldR2=φ)
<=>∈R1^koR1∨∈R2^koR2
<=>∈R1^(k+1)∪R2^(k+1)
得证

28.A={a,b,c,d,e,f,g,h},R包含于AxA,且R={,,,,,,,h>,}
求最小的自然数m,n(m≤n),使得R^m=R^n
解：R=R1∪R2
其中R1={,,},R2={,,,,}
R1^2={,,}
R1^3={,,}
所以:：R1^4=R1
R2^2={,,,,}
R2^3={,,,}
R2^4={,,,,}
R2^5={,,,,}
所以：R2^6=R2
我晕了，赫赫，幸亏你提醒！(谢谢akaru)
R1的周期是3,R2的周期是5,所以R的周期是15
所以R^16=R




29．设A={a,b,c,d},R包含于AXA,R={,,,}求
1)r(R) 2)s(R) 3)t(R)
r(R)={,,,,,}
s(R)={ ,,,,,}
t(R)=R

30，设R是非空集合A上的二元关系，记传递闭包t(R)=R+,记U(j=0 ->

无穷)R^j=Rθ,证明
：
1)(R+)+=R+
证明,因为R+=t(R)=>(R+)+=t(t(R))=t(R)=R+
2) (Rθ) θ=Rθ
证明：对于任意∈(Rθ) θ<=>∈(Rθ)^j(存在0≤j)<=> ∈R^kj(存在0
≤kj)<=> ∈Rθ
所以(Rθ) θ=Rθ
3)RoRθ=R+=RθoR
证明：根据定义R+=U(k=1->无穷)R= U(j=0 ->无穷)R^joR=RθoR
根据关系幂得定理a^moa^n=a^(m+n),和o对U得分配律
RθoR= U(k=1->无穷)R= U(j=0 ->无穷)R^joR=RoU(k=1->无穷)R= U(j=0 ->无穷)R^j=Ro
Rθ


31题 易，略！

32,字比较多!易略去

33.本题比较怪异：只要 a+bi,和c+di∈C*,(a+bi)R(c+di),类似于图论中得完全图（此图
的顶点为所以C*中得元素）


34.设R1,R2是非空集合A上的等价关系，下面给出的关系是否还是A上的等价关系，为什么
？
1)~R1(~R2)
证明：
对于任意x∈A,∈R1=>不∈~R,所以~R1不是自反的
对于任意∈~R1∧∈~R1=>推导不出∈~R1
所以~R1不是等价的
同理~R2也不是等价的

2）R1—R2(R2—R1)
因为对于任意x,∈R1∧∈R2=>不∈R1—R2所以R1-R2不是等价关系
同理R2-R1也不是等价关系

3)r(R1—R2)(r(R2—R1))
证明:1)显然对于任意x,∈r(R1—R2)
2)对于任意 ∈r(R1—R2)
=>∈(R1—R2) ∪I(domR1∪domR2)
如果x=y,显然∈r(R1—R2)
所以设x=!y
=>∈R1—R2
=>∈R1∧∈~R2
=>∈R1∧∈~R2(否则∈R2=>∈R2矛盾)
=>∈R1—R2
=> r(R1—R2)
3)对于任意, ∈r(R1—R2)
=>(∈(R1—R2) ∪I(domR1∪domR2)) ∧(∈(R1—R2) ∪I(domR1∪domR2))
=>(∈(R1—R2) ∧∈(R1—R2) ) ∨(∈(R1—R2) ∧∈I(domR1∪d
omR2))∨(∈I(domR1∪domR2)∧∈(R1—R2))∨((∈I(domR1∪domR2)∧
∈I(domR1∪domR2))
=>显然不具有传递性(由第一题的答案能够得到结论)

4)R1oR2
对于任意x, 显然∈R1oR2
∈R1oR2=>存在z(∈R2∧∈R1)=> 存在z (∈R1 ∧∈R2)
=>∈R2oR1不是对称！



35.设R是非空集合A 上的二元关系，R满足下面条件
1）R是自反的
2）对于任意x,y,z∈A,若∈R∧∈R，则∈R
证明R是A上的等价关系

证明：对于任意∈R，因为∈R,所以∈R
所以R是对称的
对于任意∈R∧∈R=>∈R∧∈R=>∈R
所以R是传递的
由以上的结论，可得R是等价的


36.设A,B为两集合，已知A∩B=φ,又已知 a1={A1,A2,…,An}为A的划分，设在
Aj∩B(j=1,2,…,n)中有m个非空的(m≥1是显然的)，设Bjk=Ajk∩B≠φ,k=1,2,…,m,
证明 a2={Bj1,Bj2,…,Bjm}为A∩B的划分
证明：任取Bjk1 Bjk2 (k1,k2=1,2,…,m,且k1≠k2)
Bjk1 ∩Bjk2 =Ajk1 ∩B∩Ajk2∩B= Ajk1∩Ajk2∩B=φ∩B=φ
Ua2=Bj1∪Bj2∪…∪Bjm
=(Aj1∩ B) ∪(Aj2∩ B) ∪ …∪ (Ajm∩

B)
= (Aj1∩ B) ∪(Aj2∩ B) ∪ …∪ (Ajm∩B) ∪φ
=(A1∩ B) ∪ (A2∩ B) ∪…∪(An∩ B)
=(A1 ∪A2 ∪…∪ An ) ∩ B
=A∩ B
所以 得证

37,设A={1,2,…,20},R={|x,y∈A x=y (mod5)},证明R为A上的等价关系，求A/R诱导
出的A的划分
证明：显然R是等价的A/R诱导出的A的划分为{[0],[1],[2],[3],[4]}
R={{5,10,15,20},{1,6,11,16},{2,7,12,17},{3,8,13,18},{4,9,14,19}}


38.设a1={A1,A2,…,Am},a2={B1,B2,…,Bn}都是集合A的划分，证明
b={Ak∩Bj≠φ|k=1,2,…,m,j=1,2,…,n}
也是A的划分，并且b 既是a1的加细，又是a2的加细
证明：1) 任意 (Ak1∩Bj1)∩(Ak2∩Bj2)(k1,k2=1,2,…,m j1,j2=1,2,…,n, k1≠k2∨j
1≠j2,否则Ak1∩Bj1=Ak2∩Bj2)
=(Ak1∩Ak2)∩(Bj1∩Bj2)= φ
2) Ub=U(Ak∩Bj)= U(Ak∩Bj) ∪φ=（A1∪ A2∪ ∪Am）∩ (B1∪ B2∪ ∪Bn)=A
因为任意Ak∩Bj 包含于 Ak ,包含于Bj ，所以是a1和a2的加细

39.设A={1,2,3,4},a={{1,2,3},{4}}是A的一个划分
1）求a诱导出的A上等价关系以及商集A/Ra
2）求a上所有加细诱导出的A上的等价关系以及商集
Ra={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>,<4,4>}
A/Ra={[1],[4]}
A/Ra1={[1],[2],[3],[4]}
Ra1={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}
A/Ra2={{1,2},{3},{4}}={[1],[3],[4]}
Ra2={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,3>,<4,4>}
A/Ra3={{1},{3,2},{4}}={[1],[3],[4]}
Ra3={<1,1>,<3,2>,<2,3>,<3,3>,<4,4>}
A/Ra4={{1,3},{2},{4}}={[1],[2],[4]}
Ra4={<1,1>,<1,3>,<3,1>,<3,3>,<4,4>}



40.设R1,R2都是非空集合A上的等价关系，
证明A/R1是A/R2的加细当且仅当R1包含于R2
证明
1)必要性
对于任意x∈A/R1,存在y∈A/R2, 使得x包含于y
对于任意∈R1
=>存在a∈A/R1使得x∈a ∧ y∈a
=>存在b∈A/R2 使得x∈b ∧y∈b(因为a包含于b)
=>∈R2
2）充分性
对于任意a∈A/R1
对于任意 x,y∈a
∈R1=>∈R2=>存在b∈A/R2使得x,y∈b
所以a包含于b
所以A/R1是A/R2的加细


41.设R1是A 上的等价关系，R2是B上的二元关系，A,B均非空
R3={<,>|x1R1x2∧y1R2y2}证明R3 是AXB上的等价关系
证明
1）对于任意∈AXB
=>x∈A∧y∈B
=>∈A ∧∈B
=><,>∈AXB
所以满足自反性
2）对于任意<,>∈AXB
=>∈R1∧∈R2
=>∈R1∧∈R2
=><,>∈AXB
满足对称性
2)对于任意<,>∈AXB <,>∈AXB
=>∈A∧∈A∧∈B∧∈B
=>∈A∧∈B
=><,>∈AXB

满足传递性

42.设A={a,b,c,d}，已知A共有15个不同的等价类型，在这15个等价类型中，商集为二元
集的有多少个?试写出它们的集合表达式
解：（4 2）=2^(4-1)-1=7
a1={{a},{b,c,d}}
a2={{b},{a,c,d}}
a3={{c},{a,b,d}}
a4={{d},{a,b,c}}
a5={{a,b},{c,d}}
a6={{a,c},{b,d}}
a7={{a,d},{b,

c}}

43,设A={a,b,c,d,e}，使用第二类stirling数及其性质计算A上有多少个不同的划分
解(5,1)+(5,2)+(5,3)+(5,4)+(5,5)=1+2^(5-1)-1+ 3(4,3)+(4,2) +C(5,2)+1
=2^4+3C(4,2)+2^(4-1)-1+C(5,2)+1
=16+8+3C(4,2)+C(5,2)
=24+18+10=52
共有 52个不同的划分

44.判断全序的方法就是判断它是不是一条链！
R1,R2,R3不是全序关系，R4 是全序关系


45,分别画出下列各个偏序集的哈斯图，并指出A的最大元，最小元，极大元，极小元
1)偏序集,其中A1={a,b,c,d,e},≤=Ia∪{,,,,,e>,}
最大元e,最小元a,极大元e,极小元e
1) 偏序集其中A2=A1, ≤=Ia∪{,}
无最大元，无最小元，极大元d,a,e 极小元a b c,e

46.在偏序集中Z+为正整数集合，≤为整除关系设B={1,2,…,10}求B的上界，上确
界，下界，下确界
证明：B的上界为={n[1,2,…,10]|n∈Z+}最小上界为[1,2,…10]
B的下界为{1}，最小下界为1




47.设偏序集为其中A是54的因子的集合, ≤为整除关系，划出哈斯图，指出A中有
多少条最长链，并指出A中元素至少可以划分成多少个互不相交的反链，至多可以划分成
多少个互不相交的反链
答：A={1,2,3,6,9,18,27,54}
有四条最长链： B1={1,2,6,18,54}
B2={1,3,9,27,54}
B3={1,3,6,18,54}
B4={1,3,9,18,54}
至多8个不相交的反链
至少也是五个不相交的反链:


48.设R是非空集合A上的二元关系B包含于A，在B上定义二元关系如下R↑B=R∩(BXB)
证明: 1)若R是A上的拟序关系，则R↑B是B上的拟序关系
2)若R是A上的偏序关系，则R↑B是B上的偏序关系
3)若R是A上的全序关系，则R↑B是B上的全序关系
4)若R是A上的良序关系，则R↑B是B上的良序关系
证明 ：
1）拟序关系：反自反，传递
对于任意x∈A,￠R
对于任意y ∈B=>y∈A=￠R=>￠R∩(BXB)=>￠R↑B
对于任意∈R∧∈R=>∈R
对于任意∈R↑B∧∈R↑B
=>∈R∧ ∈BXB ∧∈R ∧∈BXB
=>(∈R∧∈R )∧(∈BXB ∧∈BXB)
=>∈R∧∈BXB(BXB也是等价关系)
=>
2)偏序关系：自反，反对称，传递
对于任意x∈A,∈R
对于任意y∈B=>y∈A ∧∈BXB=>∈R∧∈BXB=>∈R↑B
对于任意∈R↑B∧∈R↑B=>∈R∧∈R∧∈BXB∧∈BX
B =>x=y
传递性！同上！

3)全序关系：对于任意x,y∈A, x≤Ry∨y≤Rx
对于任意x,y∈B=>x,y∈A ∧∈BXB =>(∈R ∨∈R)∧∈BXB∧>∈BXB=>(∈R∧∈BXB ∧∈BXB)∨(∈R∧∈BXB ∧∈B
XB)
=>∈R↑B∨∈R↑B

4)良关系是一个拟全序关系，对于A的任何非空子集均有最小元
有1，3可得R↑B是B上的拟全序关系。

对于任意B的非空子集，也是A的非空子集，所以均含有最小元!

49,设R1是A上的拟序关系，R2是B上的拟序关系，在AXB上定义二元关系如下
<,> <=>



49．设R1是A上的拟序关系,R2是B上的拟序关系，在AXB上定义二元关系如下：
<,>∈R <=>∈R2 ∨(∈R∧ y1=y2)
证明：R是AXB上的拟序关系
证明
对于任意∈AXB=>ψR1∧ψR2=><,>ψR 反自反
对于任意<,>∈R∧<,>∈R
=>(∈R2∨(∈R1∧y1=y2))∧(∈R2 ∨(∈R1 ∧ y2=y3))

=>(∈R2∧∈R2) ∨(∈R1∧y1=y2∈∈R1 ∧ y2=y3) ∨
=>∈R2 ∨(∈R1∧y1=y3)
=><,>∈R
(有点不严格，大家给出解答！)

50,设R1是A上的偏序关系，R2是B上的偏序关系，定义AXB上的二元关系R如下：
<,>∈R <=>∈R1∧ ∈R2
证明
对于任意 ∈AXB ∈R1∧∈R2=><,>∈R 自反性
对于任意<,>∈R∧<,>∈R
=>=>∈R1∧ ∈R2∧∈R1∧∈R2
=>x1=x2,y1=y2
=>=
满足反对称性
对于任意<,>∈R∧<,>∈R
=>∈R1∧ ∈R2 ∧∈R1∧∈R2
=>∈R1∧∈R2
=><,>∈R 满足传递性
得证

51.易 略

52.设A是三元集，问A上共有多少个偏序集？
答：不考虑元素的互异性
画出同构的哈斯图
o o o o o
o o o o o
o o o o o
6 3 3 1 6


53.设A是非空集合，X={x|x是A的划分},定义X上的二元关系
R={|x∈X∧y∈X∧x是y的加细}
证明R是X上的偏序关系
证明1)对于任意x∈X x是x的加细，所以∈R 满足R是自反的
2)∈R ∧∈R
=>x是y的加细 ∧y是x加细
=>对于任意 ai∈x 存在bi∈y 使得 ai包含于 bi
∧对于任意bj∈y存在aj∈x使得bj包含于ai
=>(对于任意x∈ai=>x∈bi)(ai包含于bi) =〉对于任意y∈bi=>y∈aj
任意z∈ai=>z∈bi=>z∈aj　因为 如果ai≠ aj,那么ai∩aj=空集,所以ai=aj
因为ai包含于bj,且bj包含于aj所以 ai=bj
故存在任意ai∈x<=>bj=ai∈y，所以x=y
对于任意的x,y,z
3)∈R ∧ ∈R
<=> x是y的加细 ∧ y是z的加细
即对于任意的ai∈x，存在bj∈y，且ai包含于bj；
又对于任意的bj∈x，存在cz∈z，且bj包含于cz；
所以对于任意的ai∈x，存在cz∈z，且ai<=cz

。
即x是z的加细，∈R；R具有传递性。