3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

a xi y j
y
a
x
i (1,0), j (0,1),0 (0,0). i
o j
在空间中，能得出类似的结论: 一、空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， p xa yb zc. 使
3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示
复习：
平面向量基本定理：
如果e1，2是同一平面内的两个不 e 共线向量， 那么对于这一平面内的 任一向量a，有且只有 一对实数1，2，使a＝1 e1＋2 e 2。 （e1、2叫做表示这一平面内所 e 有向量的一组基底。）
平面向量的正交分解及坐标表示
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F AD, AE AD得证.
例 4.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， O 是 B1D1 的中点，求证：B1C∥面 ODC1.
1 b ） 则 c a x （ a c 2 ∵ a ， ，不同面， b c
b a c
∵ B1C， ， 1 为共面向量,且 B1C不在OD OC1所确定的平面ODC1 内 OD OC ， ∴ B1C // 平面ODC1，即B1C // 平面ODC1 .
小结：
1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关 系的关键：
首先要选定单位正交基，进而确定各向量 的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。
a // b
设 a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ) , 则 a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a, b都不是零向量)
AB
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2 | AB | ABAB
d A, B ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
3 B(1 , 1 , 0) , E1 1 , , 1 , 4
例 2 如图， 正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，E ，F 分别是 BB1 ，D1 B1 中点，求证： EF DA1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1， 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ， 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) ， F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 EF ( , , ) ， 所以 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ， 所以 DA1 (1, 0 , 1) 1 1 1 所以 EF DA1 ( , , ) (1 , 0 , 1) 0 ， 2 2 2 因此 EF DA1 ，即 EF DA1
e3 e1 O e2 y
z
A(x,y,z)
x
空间向量基本定理的考查
例1
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC， M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是 线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表 示向量OP,OQ.
O M A Q P C
N
B
例2、
空间直角坐标的考查
e2 e3 AB 1、在空间坐标系o-xyz中， e1 2e2 3e2 ( e1、、 分 别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 AB 的坐标为 。
1 C a ） 证明：设 C1 B1 a ， 1 D1 b ， 1C c ,则 B1C c a ， 1O （ b , C C 1 2 OD OD1 c （ a c ,若存在实数 x , y ,使得 B1C xOD yOC1成立， b ） 2
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二、距离与夹角的坐标表示
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
2 2 2 已知 a ( x, y, z) ,则 a x y z
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、 B( x2 , y2 , z2 ) ，则
x
p
P
y Q
i, j, k上的分向量。
这种分解我们把它叫做空间向 量的正交分解.
二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示
空间向量的直角坐标：
给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的 横坐标，y叫做点A的纵坐标， z叫做点A的竖坐标.
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
特殊的： i, j, k两两垂直时
OQ xi y j. OP OQ zk xi y j zk. 由此可知，如果 i, j , k 是空间两
2 2
2
2.两个向量夹角公式
已知 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 ab 则 cos a , b ab x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
例 3.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中 , E 、F 分别是 BB1 、 的中点,求证: D1F 平面ADE . CD z 证明: 设正方体的棱长为1,
AD D1F . 又 AE (0,1, ), 2 1 1
2 2
1 则 AD ( 1,0,0), D1F (0, , 1), 1 2 AD D1F (1,0,0) (0, , 1) 0. 2 1
2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正 投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点 为 ，关于轴的对称点为 ，
空间向量运算 的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
a ( a1 , a2 , a3 )( R) a b a1b1 a2b2 a3b3
建立如图的空间直角坐标系
DA i , DC j , DD1 k .
D1
C1 B1
A1 D A
E F
B C
y
x
AE D1 F (0,1, ) (0, , 1) 0. AE D1F .
又A D A E= A , D1F 平面ADE .
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
a, b, c 都叫做基向量
注：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
（2） 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任 意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着 它们都不是 0 。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
例1
如图, 在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 B1 E1 中，
A1 B1 ，求 BE1 4
C1 E1 B1
D1 F1
与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 O xyz ，则
z
D1 A1 F1
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 D y 3 C O 1 BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 A B 15 x 1 1 1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4 4 4 15 17 17 BE1 DF1 15 16 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 4 4
注意：
（1）当 cos a , b 1 时， 与 b 同向； a
a （2）当 cos a , b 1 时， 与
b 反向； （3）当cos a , b 0 时，a b 。
3.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2
1 1 1 y （ b （x y a （x y b xc a ） ） ） 2 2 2
1 （ ） 2 x y 1 x 1 ∴ B1C OD OC1， ∴1 （x y 0 即 ） y 1 2 x 1
OP OQ zk.
两垂直的向量，那么，对空间任一 向量 p ，存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 p xi y j zk .
z
我们称 xi, y j, zk 为向量 p
在
k j O i
a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R)
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个
向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.