第二换元积分法(代入法)
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173
换元积分法用的是积分规则
[]=-'⎡⎤========⎣⎦⎰⎰()]
1
()d ()()d ()()x u t f x x f u t u t t G t G u
x [代入
其中函数()x u t =有反函数1()t u x -=.它与凑微分积分法用的是同一个积分规则，只是“积分的方向”不同(因此，有人把凑微分积分法称为第一换元积分法
,而把这里的积分法称为第二换元积分法)。换元积分法在求某些带有根式的无理函数的原函数时特别有效。例如
(Ⅰ)
变成有理函数的积分)
若被积函数中含有根式
)0(≠a ，就令
n
b ax t +=
[实际上是代入函数)(1b t a
x n
-=
，0≥t ]
则t a
nt
x n d d 1
-=
.
例13
x ⎰ [t t x t t x x t d 2d ),0(,2
=≥==](1)12
d 2
d 11t
t t t t
t
+-==++⎰⎰
121d 1t t ⎛
⎫=-
⎪+⎝⎭
⎰
[]2ln(1
)t t =-
+[2ln(1t ⎤+
⎦
(
换回到原来的自变量)
例14
2[2
(2)2d (2)t t t
x t t t
t
--+⎰42
2
22
d 2
t t t t
t -=+-⎰，
其中被积函数是有理函数假分式，要用多项式除法(见注1)或拼凑法(见注2)，把它变成一个多项式与一个真分式的和，即
4
2
222
t t
t t -=+-2
2
32(1)2
t t t t
t --+-
+
-
因此，
22
32
(1)d d 2
t x t t t t t
t -=
-+-
+-⎰⎰
⎰3
2
27
(21)33d 3
2
2
2
t t
t
t t t t +-
=
-
+-
+-⎰
[分子上的(21)t +是分母的导数]
3
2
2
2
3
d(2)7
1
d 3222
2(1)(2)t
t
t t t t t t t t +-=-
+-
++--+⎰
⎰
3
2
2371
1ln 2d 3
2
2
6
12
t
t
t t t t t t ⎛⎫=
-
+-
+-+
-
⎪-+⎝⎭
⎰
174
3
2
2
37ln 2ln
3
2
2
6
t
t
t t t =
-
+-
+-+
(223
2
x x ++=
-
+3ln 2
x -+
7ln
6
+
【注1】多项式除法
【注2】拼凑法
42223
32
2
2
2
2(2)222
t t t t t t t t t t t t t t -+--=
=-
+-+-+-222
2
(2)22
t t t t t
t t t +--+=-
+-
22222
t t t t t t -=-+
+-22222(2)32
32(1)2
2
t t t t t t t t t t t t +--+-=-+
=-+-
+-+
-
(Ⅱ)
变成三角函数有理式（*）的积分)
若被积函数中含有根式22x a -或2
2a x ±(0>a )，就用“三角替换”消掉它们： ()i 对于2
2x a -，令)2
2
(sin π
π
≤
≤-
=t t a x 或)0(cos π≤≤=t t a x ；
()ii 对于2
2a x +，令)2
2
(tan π
π
<
<-=t t a x ；
()iii 对于
2
2
a
x -，令)2
2
0(sec ππ
π
<<<
<=t t t a
x 或
。
当然，求
x
⎰
时，直接套用积分公式⑼就行了。
例15
[sin ]
cos d x a t x a t t ======
⎰
⎰
（*）
见下面例18后的说明.
32t -+ 3
32
2t t t t
---+ （被除式）
2
222
t t t t -+-
2
1t t -+ 242
432
2022t t t t t t t
+-+-+- （除式） （商式）
（余式）