超静定桁架和组合结构

11 X1
1P
0
22 X 2
2P
0
..........................
nn X n nP 0
一、对称性的利用
对称的含义：1、结构的几何形状和支座情况对某轴对称； 2、杆件截面和材料（E I 、EA）也对称。
I2
I1
I1
4
M1
M2
11 X 1 21 X 1
12 X 2 22 X 2
只能积分，不能图乘
1P
M y ds EI
11
y2 ds EI
cos2
ds EA
N1 cos
当 f /l<1/4 时，可取ds=dx
y与的计算
X1 X1=1
11
在竖向荷载作用下
M M M1X1 M Hy Q Q cos H sin N Qsin H cos
计算特点：
13 X 3 23 X 3
1P 2P
0 0
31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P 0
M3
11 X1
12 X 2
1P
0
21 X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
P
0.5P 0.5P
0.5P 0.5P
M P
M P
5
0.5P 0.5P
M M1X1 M2X2 MP 10
§10-6 超静定拱
一、两铰拱计算
11X1 1P 0
1P
M1M P ds EI
略去剪力的影响； 当f< l /3 时，考虑 轴力的影响。
f l
P 状态
y
y
1
x
x X1=1状态
11
M1M1 ds EI
N1N1 ds EA
MP=M°
M1 y
大跨度、大截面拱可忽略第二项 列方程
0.5P 0.5P
M P
11 X1
12 X 2
1P
0
21 X1 22 X 2 2P 0
0.5P 正对称荷载
作用下，对
称轴截面只
产生轴力和
正对称荷载 弯矩。
1、奇数跨对称结构的半边结构
2、偶数跨对称结构的半边结构
M P
33 X 3 3P 0
0.5P 反对称荷载 作用下，对 称轴截面只 产生剪力。
12 X 2
............... 1n X n
1P
0
21X1
22 X 2
............... 2n X n
2P
0
....................................................................
Hale Waihona Puke Baidu
n1X1 n2 X 2 ............... nn X n nP 0
1P 2P
0 0
33 X 3 3P 0
EI=
（c）
（b）与（c）具有完全等效关系。 此时将图（c）在对称轴位置截断，
对于两对称内力：X1、X2。 X1=1作用下，基本体系同侧受拉； X2=1作用下，基本体系异侧受拉。
当附加竖向刚臂长度变化时，就
可能使： 21 = 12 = 0
即得：
11X1 1P 0 22 X 2 2P 0 33 X 3 3P 0
P/2 I
P/2 I
没有弯矩
P/2 I 2I
P/2 I
P/2 I I 2次超静定
9 35
二、广义未知力的利用
用于原体系与基本体系都是对称的，但未知力并非对称或反对称。
11
11 22
22
11 X 1 21X1
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
同向位移之和 反向位移之和
Y1 X1 X 2 Y2 X1 X 2
反对称荷载
6
I2
I1
I3
I2 I1
I2
l’ I 2
I1
I3 I3 22
I1
1）正对称荷载作用下
I2
I1
I3
不考虑轴向变形 条件下，可简化 为：
I2 I1
2）反对称荷载作用下
I2
I1
I3 2
I2
I1
I3 2
7
P
P/2
I2
I1
I1 =
P/2 P/2
P/2
+
P/2
P/2
MP
M1
8
P I 2I I
P/2 I 2I
X1=1
E1、A1
11
X
1
X1
1P
0
M1 N1
MP
其中
11
M12 ds EI
N12 ds l N12 dx
EA
0 E1A1
1P
M1M P ds EI
= 1P
l N12 dx l 12 dx l
0 E1A1
0 E1A1
E1 A1
11
M12 ds EI
N12 ds EA
y x
a y
x'
0
12
y a EI
ds
y EI
ds
a
1 ds EI
a
y
1 EI
ds
1 EI
ds
即：若取刚臂端点到x’轴
11 X1
1P
X1 2a EA
21
二、组合结构
N1
M P1
M1
M P2
11X1 1P 0
11
M12 dx N12l
EI
EA
1P
M1M P dx EI
M1M P1 M P2 dx
EI
M1M P1dx EI
M1M P2 dx EI
讨论
22
§10-5 力法计算的简化
11 X 1
和 只能积分； H——推力由变形条件求得；
关于位移计算简化的讨论；
11
M12 ds EI
N12 ds EA
kQ12 ds GA
(1 N Q )
M
2 1
ds
EI
通常可以略去Q
对于扁平拱，当
f l
1 8
且
h 1 l 10
时 N
10 %
不能忽略
12
2、带拉杆的两铰拱
E、I、A
为什么要用拉杆？ 推力减少了拱肋弯矩 墙、柱不承担弯矩
（4）解方程
1 (2 2 EA
2)a X1
1 EA
32 2
2
Pa
0
X1 3 2 2 P 0.854P
P
2 24
（5）内力 N N1X1 NP
0.396P
P
a 0.396P -0.604P
0.396P a
N
思考：若取上面的基本体系， 力法方程有没有变化?
力法方程： 11X1 1P ?
14
y y´
0 y
y a y
x
x
x'
y
1 y
y x
M1 1 N1 0 Q1 0
12
y ds EI
M2 y N2 cos( ) cos Q2 sin( ) sin
另选座标 xoy 则 y y a
12
y a EI
ds
y EI
ds
a
1 ds EI
15
y y´
令 12=0 则
l E1 A1
11
l E1 A1
两类拱的比较：
无拉杆 有拉杆
E1A1 H H 相当于无拉杆
E1A10 H 0 简支曲梁
适当加大E1A1使H*较大，可减小拱肋M，H求出后，计算内力公式与前面一样13。
二、对称无铰拱的计算
（a）
（b）
（1）利用对称性
11 X 1 21X1
12 X 2 22 X 2