第四章 解析函数的级数展开习题及其解答
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第四章 解析函数的级数展开习题及其解答
4.1 判断级数的收敛性，绝对收敛性.
1) 2)
解 1)
由实数项级数收敛的狄离赫利判别法可知与均收敛.故由复数项级
数收敛充要条件知.但.而发散，所以非绝对收敛.
2)因，而收敛，即收敛，于是收敛，且为绝对收敛.
注 由此两题可见，对于复数项级数，绝对收敛收敛；而收敛≠＞绝对收敛.2)可作为此种情况的例子.
4.2 幂级数能否在处收敛，而在=3处发散？说明理由.
答 不可能.因为若在处发散，则由Abel 定理，在一切满足的处
级数均为收敛，显见，=3满足此不等式故不可能在=3处发散.
4.3 求极限，其中
，并由此判断复数项级数的敛散性. 解 设.注意.
所以
将
代入得
由复数项级数收敛的定义可知，收敛于.即
∑∞
=1i k n n ∑∞
=12
i k n n 2sin
i 2cos i π
π+= ∑∑∞=∞=⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=∴112sin i 2cos i n n n n n n n n ππ ∑
∞
=1
2cos
n n n π∑∞
=12
sin n n n π
∑∞
=1i n n n n n n 1i =∑∞=11n n ∑∞=1i n n n 2
21i n n n =∑∞=121n n ∑∞=12i n n n ∑∞=12i n n n
⇒∑∞
=-0
)2(n n
n
z a
0=z z 0=z 2
202=-<-z z z z n
n S +∞→lim k
n
k n S ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12i 1∑∞
=⎪⎭⎫
⎝⎛+12i 1k k
2i 1+=α1
22<=α()()ααααααααααα--
-=--=+++==--=∑111111
1
1
n n n n
k k
n S αα
αααα-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=++∞→+∞→111lim lim 1n n n n S (
)01+∞
→+→n n α2i
1+=
αi
lim =+∞
→n n S ∑
∞
=⎪⎭⎫
⎝⎛+121k k
i i i 2i 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∞
=k k
注 1.这里的
即为复数项级数
的部分和序列，求
之极限中利用了
的结论.由
极限存在得收敛结论，这是最基本的方法.
4.4 证明：若收敛，则收敛(这时称绝对收敛).
证 设，则.由正项级数比较判别法，收敛
，均收敛，又由实数项级数知识知
与
收敛.于是由复数项级数收敛的充要条件得
收敛.
注 若
收敛，称
绝对收敛.则本题的结论说明复数项级数绝对收敛，则必收敛.
证明方法用的是实数项级数对应的统一性质.应注意
收敛≠＞
收敛，故不能由
发散推出
发散.
4.5 设极限
存在，证明下列三个级数有同一收敛半径：；；
.
证 设
，则级数收敛半径为
，(0)，由收敛幂级数性质，在
内，对
可逐项积分、逐项求导，所得结果收敛半径不变.故知
及收敛半径仍为
.
在＝0时，收敛半径.上述性质仍成立.
4.6 将下列函数展为幂级数，并求收敛半径.
展为的幂级数
解
在处解析，且以为奇点，故可知其Taylor 展式的收敛半径
.
设
，将展为的幂级数，再代入即可得所求(由展式唯一性保
n S ∑∞
=1
k k
α
n S 0
1→⇒ ααn S ∑∞ =1 k k α ∑∞ =1 k k α ∑∞ =1 k k α ∑∞ =1 k k α k k k b a i +=αk k a α≤∑∞ 1 k α∑∞ =⇒1 k k a ∑∞ =1 k k b ∑∞ =1 k k a ∑∞ =1 k k b ∑∞ =1 k k α ∑∞ =1 k k α ∑∞ =1 k k α ∑k α ∑n α ∑k α ∑k α n n n a a 1lim +∞→∑∞ =0 n n n z a ∑∞ =++01 1n n n z n a ∑∞ =-1 1 n n n z na λ=+∞→n n n a a 1lim ∑∞ =0 n n n z a λ1 = R ≠λR z <∑∞ =0 n n n z a ∑∑∞ =-∞ ='0 1 n n n n n n z na z a ＝）（∑ ⎰∑∞ =+∞ =+=01 1 n n n z n n n z n a dz z a λ1 = R λ∑∞ =0 n n n z a +∞=R 2 2)11 z ＋（z 2 2)11z ＋（0=z i ±∑∞ =0 n n n z a 1=R ξ=2z 2 11 ） ＋（ξξ2 z ＝ξ