2020考研数学一综合测试卷及解答

（A）1
（B）2
（C）3
（2）设
f
(x)
=
1+ x
lim
x→∞
1
+
x2n
，则
f
( x) （
（A）无间断点
（C）有间断点 x = −1
（D）4 ）
（B）有间断点 x = 1 （D）有间断点 x = 0
（3）设
f
(x)
=
1 −
cos x
x
,
x＞0
，其中
g(x)
为有界函数，则
f
(x)
在
x
=
0
处（
所选项前的字母填在题后的括号里．
∫ ( ) （1）设当 x → 0 时，( x − sin x) ln (1+ x) 是比 exn −1 高阶的无穷小，而 exn −1 是比 1 x 1− cos2 t dt 高阶 x0 的无穷小，则 n 为（ ）。
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
( ) 【解】当 x → 0 时， exn −1 ~ xn ，因为 sin x =x − x3 + o x3 ，所以 ( x − sin x) ln (1+ x) ~ x4 ，又因
（4）设
f (x) 连续，且 lim x→0
f
(
x) x2
−
1
=
−2 ，则（）
（A） f (x) 在 x = 0 处不可导
（B） f (x) 在 x = 0 处可导且 f ′(0) ≠ 0
（C） f (x) 在 x = 0 处取极小值
（D） f (x) 在 x = 0 处取极大值
【解】由 lim x→0
10
分）讨论
f
(x,
y)
=

xy , (x, y) ≠ (0, 0 ),
x2 + y2
在点 (0, 0) 处的连续性、可偏导性及
0,
(x, y) = (0, 0)
可微性.
4
２０２０ 考研高等数学综合测试卷
2020 考研数学一综合测试卷解答
班级：
学号：
姓名：
得分：
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把
（C） f (x)g(x)＞f (b)g(b)
（D） f (x)g(x)＞f (a)g(a)
∫ ∫ ∫ （6）设 M =
π
2 −π
2
sin x 1+ x2
cos4= xdx ，N
π
2 −π
(sin3
x
+
co= s 4 x)dx ，P
2
π
2 −π
(x2
sin3
x
−
cos 4
x)dx
，则有（
2
）
（A） N＜P＜ M （C） N < M < P
f
(
x) x2
−
1
=
−2 得
f (0) = 1，
由极限的保号性，存在δ＞0 ，当 0＜＜x
δ
时，
f
(
x) x2
−
1＜0
，即
f
(x)＜1 =
f (0) ，
故 x = 0 为 f (x) 的极大点，应选（D）。
（5）设 f (x) ，g(x)(a＜＜ x b) 为大于零的可导函数，且 f ′(x)g(x) − f (x)g′(x)＜0 ，则当 a＜x＜ b 时，
x)
＜0
，即

f g
(x) (x)
′
＜0
，则
f (x) g(x)
单调减
少。
由 a＜x＜ b 得 f (a) ＜＜f (x)
f (b) ，故 f (x)g(a)＞f (a)g(x) ，应选（B）。
g(a) g(x) g(b)
∫ ∫ ∫ （6）设 M =
π
2 −π
2
sin x 1+ x2
1
∫ （15）（本题满分 8 分）设 f (x) 在区间[0,1] 上可导， f (1) = 2 2 x2 f (x)dx ，证明：存在 ξ ∈ (0,1) ，使 0
得 2 f (ξ ) + ξ f ′(ξ ) = 0 .
2
２０２０ 考研高等数学综合测试卷
∫∫ （16）（本题满分 9 分= ）求 I
3!
6
∫ ( ) ∫ ( ) 1
为 lim x x→0
x 1− cos2 t dt
0
x2
= lim x→0
x 1− cos2 t
0
x3
dt
=
lxi= →m0 1−3cxo2s2 x
(1+ cos x)(1− cos x)
lim
x→0
= 3x2
1
，
3
∫ ( ) 1
所以
x 1− cos2 t dt ~ x2 ，于是 n = 3 ，选（C）。
的方程是
y
=
1 2
x2
，求曲线
C1
的方程.
3
２０２０ 考研高等数学综合测试卷
∞
∑ （18）（本题满分 9 分）设幂级数 an xn 在 n＞1时满足关系式 a= n-2 n(n −1)an ，且 an = 4 ， an = 1， n=0
求该幂级数的和函数 y(x) 及其系数 an .

（19）（本题满分
（C） f (x) 在 x = 0 处取极小值
（D） f (x) 在 x = 0 处取极大值
（5）设 f (x) ，g(x)(a＜x＜ b) 为大于零的可导函数，且 f ′(x)g(x) − f (x)g′(x)＜0 ，则当 a＜x＜ b 时，
有（ ）
（A） f (x)g(b)＞f (b)g(x)
（B） f (x)g(a)＞f (a)g(x)
1+ x,

当
x
= 1 时，
f
(x)
= 1，于是
f
(x)
=
0,
0,
1,
x ＜1
x ＞1, 显然 x = 1 为函数 f ( x) 的间断点，选（B）。
x = −1, x = −1,
（3）设
f
(x)
=
1 −
cos x
x
,
x＞0
，其中
g(x)
为有界函数，则
f
(x)
在
x
=
0
处（）
x2 g(x), x ≤ 0
（C） f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处可为微
）
（B） lim f (x, y) 存在 x → x0 y→ y0
（D） lim x → x0
f (x0 , y0 ) 存在
二、填空题:9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．把答案填在题中的横线上．
（9）设 a＞0 ，且 lim
x2
cos(x + y)dxdy ，其= 中 D
D
( x,
y)
0
≤
x
≤
π 2
,0
≤
y
≤
π 2

.
（17）（本题满分 8 分）设 C1, C2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C1, C2 之间，如果过 C 上任意
一点 P 引平行 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A, B 有相等的面积，设 C 的方程是 y = x2 ，C1
（B） M＜＜P M （D） P＜M＜ N
∞
∞
∑ ∑ （7）设 an (x + 1)n 在 x = 1处条件收敛，则幂级数 nan (x −1)n 在 x = 2 处（ ）.
n =1
n =1
（A）绝对收敛
（B）条件收敛 （C）发散
（D）敛散性不确定
1
２０２０ 考研高等数学综合测试卷
（8）设 fx′(x0 , y0 ) ， f y′(x0 , y0 ) 都存在，则（ （A） f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处连续
= 1，则 a =
，b =
.
x→0 (b − cos x) a + x2
( ) （10）若
f
(x)
=
arcsin ln
2x2 1+
+ eax2 2x2
−1,
x
≠
0
在
x
=
0
处连续，则 a
=
.
a,
x=0
（11）设 y = y(x) 由方程 ey + 6xy + x2 −1 =0 确定，则 y′′(0) = _______ .
）
x2 g(x), x ≤ 0
（A）极限不存在
（C）连续，但不可导
（4）设 f (x) 连续，且 lim f (x) −1 = −2 ，则（
x x→0
2
（B）极限存在，但不连续 （D）可导
）
（A） f (x) 在 x = 0 处不可导
（B） f (x) 在 x = 0 处可导且 f ′(0) ≠ 0
∞
∑ 故 nan (x − 1)n 的收敛区间为 (−1,3) ，x = 2 在收敛区间内部，故在该点级数绝对收敛，答案选择（A）. n =1
（8）设 fx′(x0 , y0 ) ， f y′(x0 , y0 ) 都存在，则（）。
（A） f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处连续
（B） lim f (x, y) 存在 x → x0 y→ y0
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2020 考研数学一综合测试卷
班级：
学号：
姓名：
得分：
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把
来自百度文库
所选项前的字母填在题后的括号里．
∫ ( ) （1）设当 x → 0 时，( x − sin x) ln (1+ x) 是比 exn −1 高阶的无穷小，而 exn −1 是比 1 x 1− cos2 t dt 高阶 x0 的无穷小，则 n 为（ ）
∞
∑ 即将收敛区间平移到 (−1,3) ，得 an (x −1)n ，收敛半径不变； n =1
∞
∞
∑ ∑ 第三，根据结论 2 的（1），（2）和（3），对 an (x −1)n 逐项求导，得 nan (x −1)n ，再逐项乘以 (x − 1)
n =1
n =1
∞
∑ 得 nan (x −1)n ，收敛半後不变. n =1
cos4= xdx ，N
π
2 −π
(sin3
x
+
co= s 4 x)dx ，P
2
π
2 −π
(x2
sin3
x
−
cos 4
x)dx
，则有（
）。
2
A N＜P＜ M CN＜M＜ P
B M＜＜P M D P＜M＜ N
∫ = 【解】 M = −π2π2 1s+inxx2 cos4 xdx 0 ，
6
２０２０ 考研高等数学综合测试卷
（A）极限不存在 （C）连续，但不可导
（B）极限存在，但不连续 （D）可导
【解】因为= f (0 + 0) lim = 1− cos x 0 ， f (0)= f (0 − 0)= lim x2g(x)= 0 ，所以
x→0+
x
x→0
5
２０２０ 考研高等数学综合测试卷
f (x) 在 x = 0 连续；
π
π
∫ ∫ N =
2 −π
(sin3
x
+
cos4
x)dx
=
2 −π
cos4
xdx＞0
，
2
2
π
π
∫ ∫ P = −2π (x2 sin3 x − cos4 x)dx = − −2π cos4 xdx＜0 ，
2
2
P＜M＜ N ，选 D。
∞
∞
∑ ∑ （7）设 an (x + 1)n 在 x = 1处条件收敛，则幂级数 nan (x −1)n 在 x = 2 处（ ）.
x,
2 − 2x,
0≤x≤ 1, 2 S(x=)
1 <，x ≤ 1 2
∑ a0
2
+
∞ n=1
an
co
nsπ x, −∞<x< + ∞ ，
∫ = 其中 an
1
2= f (x)cos nπ xdx(n 0
0,1,
2,)
，则
S
(−
5 2
)
=
.
三、解答题:15～19 小题，共 44 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（12）微分方程 y ''− 4 y = e2x + x 的特解形式为 _______________ .
（13）设 f (x, y, z) = ez yz2 ，其中 z = z(x, y) 是由 x + y + z + xyz =0 确定的隐函数，则
fz′(0,1, −1) =
.
（14）设 f (x=)
（C） f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处可为微
（D） lim x → x0
x0
3
（2）设
f
(x)
=
1+ x
lim
x→∞
1
+
x2n
，则
f
( x) （
（A）无间断点
（C）有间断点 x = −1
）。
（B）有间断点 x = 1 （D）有间断点 x = 0
【解】当 x ＜1时， f ( x)= 1+ x ；当 x ＞1时， f ( x) = 0 ；当 x = −1时， f ( x) = 0 ；
n =1
n =1
（A）绝对收敛 解 应选（A）.
（B）条件收敛 （C）发散
（D）敛散性不确定
∞
∑ 第一，根据结论 1 的（3），由 an (x + 1)n 在 x = 1处条件收敛，则 R = | x1 − x0 |= |1 − (−1) |= 2 ，且收 n =1
敛区间为 (−3,1) ；
第二，根据结论 2 的（1）和（3），将 (x + 1)n 转化为 (x − 1)n ，也就是把级数的中心点由=1 转移到 1，
lim = f (x) − f (0)
x→0+
x
l= im 1− cos x x→0+ x x
0 ，则 f+′(0) = 0 ，
f (x) − f (0)
lim =
x→0−
x
l= im xg(x)
x→0+
0 ，则 f−′(0) = 0 ，
因为 f= +′(0) f= −′(0) 0 ，所以 f (x) 在 x = 0 处可导，应选（D）。
有（ ）
（A） f (x)g(b)＞f (b)g(x)
（B） f (x)g(a)＞f (a)g(x)
（C） f (x)g(x)＞f (b)g(b)
（D） f (x)g(x)＞f (a)g(a)
【解】由
f ′(x)g(x) −
f
(x)g′(x)＜0 得
f
′(
x)
g
(
x) − g2(
f( x)
x)
g
′(