27. 3(1)垂径定理

可以发现：圆是轴对称图形，任意一条直径所
在直线都是它的对称轴．
看一看
C C
.
A
O A B
.
O
B
E D
E D
AE≠BE
AE＝BE
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使 CD⊥AB，垂足为M．你能发现图中有哪些相等的量？ 为什么？ C
答：线段： AM=BM 弧： =BC, AD=BD AC
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个 半圆重合，点A与点B重合，AM与BM重合， AC 、AD 分别与 BC 、 BD 重合．
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例3.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥
(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦 的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也 叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 37.4m
C
7.2m
A R D B
O
巩固练习
13 则这弓形所在的圆的半径为 cm 4
C A D O B
●
O
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 即 AD+AC=BD+BC
D
⌒ ⌒ ∴ AD =BD.
①
②
③ ④ 直径还可以是 半径或弦心距 或过圆心的直 线．
（垂直于弦的直径平分弦）
：如图，已知在⊙O中， A 弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的 距离为3厘米，求⊙O的半径。
例2
E
B
. O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米 在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
(2)在解决与弦有关问题时经常作辅助线弦心距；
(3)为了更好地理解垂径定理，一条直线只要满足 ①过圆心；②垂直于弦； 则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧（或劣弧）
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27. 3（1）垂径定理
你知道赵州桥吗?
它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人 民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一张圆形纸片沿着它的任意一条直径 对折，重复几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
1.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm， .
巩固练习
2.已知P为 ⊙O内一点，且OP＝2cm，如果 ⊙O的半径是3cm ，那么过P点的最短 的弦等于
2 5cm .
小节与反思
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用． 方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半 径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；
M A D B
·
O
如图, 理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM， ⌒ =BC, ⌒ C ∠AOC= ∠BOC， AC 得 又∵ CD是⊙O直径, A B M└ ⌒ ⌒ ∴ CAD =CBD.