1.2命题及其关系、充分条件与必要条件学案

1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

考情分析1．考查四种命题的意义及相互关系．2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解． 基础知识1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

1.命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的语句叫做命题.

2．四种命题：

(1) “若p ，则q ”是数学中常见的命题形式，其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论.

(2)若原命题为“若p ，则q ”,则它的逆命题为“若q ，则p ”；否命题为 “若p ⌝，则q ⌝”,它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.

(3)互为逆否的命题是等价的,它们同真同假.在同一个命题的四种命题中,真命题的个数可能为0,2,4个.

(4)否命题与命题的否定的区别:首先,只有“若p ，则q ”形式的命题才有否命题,其形式为“若p ⌝，则q ⌝”,而这种形式的命题的否定是只否定结论,即“若p ，则q ⌝”;其次,命题的否定与原命题一真一假,而否命题与原命题的真假可能相同也可能相反.

注意事项

(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假．

(3)定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条

件．

(4)等价法：利用p ⇒q 与綈q ⇒綈p ，q ⇒p 与綈p ⇒綈q ，p ⇔q 与綈q ⇔綈p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(5)集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．

典型例题

题型一 命题正误的判断

【例1】设命题p ：函数s i n 2y x =的最小正周期为

2π；命题q ： 函数c o s y x =的图象关于直线2

x π=对称.则下列判断正确的是（ ） (A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真

【答案】C 【解析】函数x y 2sin =的周期为ππ=2

2，所以命题p 为假；函数x y cos =的对称轴为 Z

k k x ∈=,π,所以命题q 为假，所以q p ∧为假，选C. 【变式1】 给出如下三个命题：①四个非零实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的充要条件是ad ＝bc ；

②设a ，b ∈R ，且ab ≠0，若ab ＜1，则ba ＞1；③若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．

其中不正确命题的序号是( )．

A ．①②③

B ．①②

C ．②③

D ．①③

解析 对于①，可举反例：如a ，b ，c ，d 依次取值为1,4,2,8，故①错；对于②，可举反例：如a 、b 异号，虽然ab ＜1，但ba ＜0，故②错；对于③，y ＝f (|x |)＝log 2|x |，显然为偶函数，故选B.答案 B

题型二 四种命题的真假判断

例2．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是（ ）

(A) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≤0 (B) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≤0

(C) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)<0 (D) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)<0

【变式2】 已知命题“函数f (x )、g (x )定义在R 上，h (x )＝f (x )·g (x )，如果f (x )、g (x )均为奇函数，则h (x )为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( )．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析 由f (x )、g (x )均为奇函数，可得h (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，反之则不成立，如h (x )＝x 2

是偶函数，但函数f (x )＝x2ex ，g (x )＝e x 都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确． 答案 C

题型三 充要条件的判断【例3】设x ∈R ，则“x>”是“2x 2

+x-1>0”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】不等式0122>-+x x 的解集为21>x 或1-

1>x ”是“0122>-+x x ”成立的充分不必要条件，选A.

【变式3】 设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1＜a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( )．

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 a 1＜a 2且a 1＞0，则a 1(1－q )＜0，a 1＞0且q ＞1，则数列{a n }递增；反之亦然．答案：C

高考题赏析：

一、充要条件与不等式的解题策略

【例1】设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2

≥4”的( )．

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

二、充要条件与方程结合的解题策略

【例2】设n ∈N *，一元二次方程x 2

－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.

三、充要条件与数列结合的解题策略

【例3】设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )．

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件