第一型线积分与面积分..

L f ( x, y)ds L1 f ( x, y)ds L2 f ( x, y)ds ,
简记为 f ( x , y )ds
L L1

L2
.
性质 3
L ds
L的 长 度 .
L
f ( x , y )在闭曲线L上对弧长的曲线积分记 为 f ( x , y )ds.
第一型曲线积分的计算
i 1 n
第一型曲线积分的性质
, 则有 性质1 (线性性质) 设 f , g 可积, 又 , 为常数
L[ f ( x, y) g( x, y)]ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds .
L, 则有 性质 2 (可加性) 设 L1 与 L2 首尾相接成
n
2．第一型曲线积分的定义
设 L 为oxy 面上的一条光滑（或分段光滑）曲线弧，
f ( x , y ) 在 L 上有界.任取点列 M 1 , M 2 , , M n 1 ，把 L
分为 n 小 段 l i ( i 1, 2, , n ) ，并以 s i 表示 l i 的弧 长. 任取 ( i , i ) s i ，作和式 f ( i , i )s i ，设
a
b
f [ x , y( x )] 1 y 2 ( x )dx .
若 L由 方 程 x x( y ) (c y d ) 给 出, 则 取 y 为 参 数 , ds 1 x 2 ( y )dy ,
L
f ( x , y )ds
c
d
f [ x( y ), y ] 1 x 2 ( y )dy .
3．若 L由 方程 ( ) ( ) 给出，则取 为参数，
ds 2 ( ) 2 ( )d ,
L
f ( x , y )ds


f [ ( ) cos , ( ) sin ] 2 ( ) 2 ( )d
第一型线积分与面积分
第一型线积分与面积分
6.1第一型线积分
1．曲线形物体的质量
设曲线形物体在 oxy 面上是一段曲线弧 L， 它的端点为 A、B，其线密度为连续函数 f ( x , y ) ， 求该物体的质量 m.
分割 M1 ,M 2 ,,M n1 l i ,
y
B L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 M1
积分弧
f ( i , i )s i d 0
（1）当 f ( x, y ) 在光滑曲线 L 上连续时，
L f ( x, y)ds 存在.
.
（2）将上述定义推广，可得空间曲线 L 上的第一型曲线 积分：
f ( i , i , i )s i L f ( x, y, z )ds dlim 0
i 1 n
d m ax{si } ，如果当d 0 时 ，和式的极限总存在，
1 i n
则称此极限为 f ( x , y ) 在曲线弧 L 上的第一型曲线积分
或对弧长的曲线积分，记作
L f ( x, y)ds ，即
弧长元素 n
i 1
被积函数
L
注：
f ( x , y ) ds lim
近似 ( i ,i )l i ,
mi f ( i , i ) si .
o
A
x
求和
m f ( i , i ) s i .
i 1
n
取极限 令 d max{s i }, m lim f ( i , i ) s i .
1 i n
d 0 i 1

f ( x, y)ds f [ x(t ), y(t )] x 2 (t ) y 2 (t )dt . L

2. 若 L由 方 程 y y( x ) (a x b) 给 出, 则 取 x 为 参 数 , ds 1 y 2 ( x )dx ,
L
f ( x , y )ds
1．设 f ( x, y ) 在曲线 L 上连续，L 的参数方程为 x x( t ) ，
y y( t ) ( t ) ，其中 x( t ) ， y( t ) 在 [ , ] 上有
连续的一阶导数，且 x 2 (t ) y 2 (t ) 0 ，则
ds
x 2 ( t ) y 2 ( t )dt ,
x 1 及 x 轴所围成的曲边三角形的整个边界.
⌒ 解： L OA AB BO
y0 OA : , 0 x 1 y 0, ds dx ,
y
B
y x2
x 1
x1 AB : , 0 y 1
2 yx BO : , 0 x 1
o
y y , ds d y ,
y0 A
x
⌒
y x , ds 1 4 x 2 dx ,
故
L
1 0
yds
1 0wenku.baidu.com
OA

1
AB
⌒
y
B
y x2
x 1
BO
2
0 dx
ydy x 1 4 x dx
0
2 1 1 0 (5 5 1) (5 5 7). 3 12 12
4. 若空间光滑曲线 L的 参数方程为
x x( t ) ， y y( t ) ， z z(t ) ( t ) ，则
ds
x 2 ( t ) y 2 ( t ) z 2 ( t )dt ，
L
f ( x , y , z )ds


f [ x( t ), y( t ), z( t )] x 2 ( t ) y 2 ( t ) z 2 ( t )dt
注意：
（1）第一型曲线积分与曲线的方向无关，化为关于 参数的定积分计算时，上限必须大于下限.
（2）对
L f ( x, y)ds 来说， f ( x, y) 是定义在 L 上的，
被积函数中的 x，y 应满足 L 的方程，故可利 用 L 的方程化简被积函数.
例 1．计算
L
yds ，其中 L 为抛物线 y x 2 ，直线