2017年高考备考方法策略：平面解析几何 4 由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用
由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用
高考题1 (2010年高考辽宁卷理科第8题)平面上B A O ,,三点不共线，设==,，则OAB ?的面积等于( )
答案：C.
这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式：
定理1 若三点B A O ,,不共线，则S OA B =?.
证明 S OA B ?由此结论，还可证得
定理2 若三点B A O ,,不共线，且点O 是坐标原点，点B A ,的坐标分别是),(),,(2211y x y x ，则12212
1
y x y x S OA B -=
?. 证法1 由定理1，得
1221221212
22221212
1)())((21y x y x y y x x y x y x S OA B -=+-++=
? 证法2 可得直线AB 的方程是
0)()()(12212121=-+---y x y x y x x x y y
所以坐标原点O 到直线AB 的距离是
AB
y x y x 1
221-，进而可得AOB ?的面积是
122112212121
y x y x AB
y x y x AB S OA B -=-?=
?. 下面用定理2来简解10道高考题.
高考题2 (2014年高考四川卷理科第10题)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →
＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )
A ．2
B ．3 C.172
8
D.10
解 B.得??
?
??0,41F ，可不妨设)0)(,(),,(212211y y y x B y x A >>.
由2212
2212121=+=+=?y y y y y y x x OB OA ，可得221-=y y ，所以由定理2，得
2121212112
222112212
12121y y y y y y y y y y y y y x y x S A B O -=-=-?=-=-=
? 所以
38
9
28941212121121=-≥-=?+
-=+??y y y y y y y S S A F O A B O (可得当且仅当8
9
,3421-==
y y 时取等号) 所以选B.
高考题3 (2011年高考四川卷文科第12题)在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量),(b a =α.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数m ，则
=n
m
( ) A.215
B.15
C.4
15 D.13
解
B.
所
有
满
足
题
意
的
向
量
有
6
个
)5,4(),3,4(),1,4(),5,2(),3,2(),1,2(654321======αααααα，
以其中的两个向量为邻边的平行四边形有15C 2
6
==n 个. 设),(),,(2211y x y x j i ==αα，得)5,3,1(,);4,2(,2121∈∈y y x x ，由定理2得，以j i αα,为邻边的平行四边形的面积是22
1
1221=-=
y x y x S ，可得这样的向量j i αα,有3对：)1,4(),1,2();3,4(),1,2();5,4(),3,2(.
所以
5
1153==n m . 高考题4 (2011年高考四川卷理科第12题) 在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量),(b a =.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m ，则
=n
m
( ) A.154 B.31 C.52 D.3
2
解 基本事件是由向量)3,4(),5,4(),1,4(),5,2(),3,2(),1,2(中任取两个向量为邻边作平行
四边形，得15C 2
6==n .由定理2可得：
组成面积为2的平行四边形的向量有3对：)1,4(),1,2();3,4(),1,2();5,4(),3,2(. 组成面积为4的平行四边形的向量有2对：)3,2(),1,2();5,2(),3,2(.
组成面积为6的平行四边形的向量有2对：)5,4(),1,2();3,4(),3,2(.
组成面积为8的平行四边形的向量有3对：)5,4(),3,4();3,4(),1,4();5,2(),1,2(. 组成面积为10的平行四边形的向量有2对：)5,4(),5,2();1,4(),3,2(. 组成面积为14的平行四边形的向量有1对：)3,4(),5,2(. 组成面积为16的平行四边形的向量有1对：)5,4(),1,4(. 组成面积为18的平行四边形的向量有1对：)1,4(),5,2(. 满足条件的事件有523=+=m 个，所以
3
1155==n m . 高考题 5 (2009年高考陕西卷文科、理科第21题)已知双曲线C 的方程为
)0,0(12
2
22>>=-b a b x a y ，离心率25=e ，顶点到渐近线的距离为552.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)如图1所示，P 是双曲线C 上一点， B A ,两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若??
????∈=2,3
1,λλ，求AOB ?面积的取值范围.
图1
解 (1)(过程略)14
22
=-x y . (2)可设0,0),2,(),2,(>>-t s s s B t t A ，由定理2及题设可得st S AOB 2=?. 由λ=，可得???
??+++-λλλ
λ122,12s t s t P ，把它代入双曲线C 的方程，化简得
st λλ4)1(2=+，所以
??
? ??≤≤+??? ??+=
?2311121λλλAOB S 可得AOB ?面积的取值范围是??
????3
82，. 高考题 6 (2007年高考陕西卷理科第21题即文科第22题)已知椭圆
)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的离心率是36，短轴的一个端点与右焦点的距离是3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3
，求AOB ?面积的最大值.
解 (1)(过程略)13
22
=+y x . (2)设),(),,(2211y x B y x A ，由定理2及题设得
12212y x y x S AO B -=?
由椭圆的参数方程知，可设ββααsin ,cos 3,sin ,cos 32211====y x y x ，得
)sin(321221αβ-=-=?y x y x S AOB
从而可得，当且仅当点B A ,是椭圆C 的两个顶点且2
π
=
∠AOB 时AOB ?的面积取到最
大值，且最大值是
2
3. 高考题7 (2010年高考重庆卷理科第20题)已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的
双曲线C 的离心率2
5=
e . (1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
(2)如图2所示，已知过点),(11y x M 的直线44:111=+y y x x l 与过点),(22y x N (其中
12x x ≠)的直线44:222=+y y x x l 的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交于H G 、两点，求OGH ?的面积.
图2
解 (1)(过程略)双曲线C 的标准方程为14
22
=-y x ，其渐近线方程为02=±y x .
(2)由“两点确定一直线”可得直线MN 的方程为：44=+y y x x E E . 分
别
解
方
程
组
??
?=+=+??
?=-=+0
244,0244y x y y x x y x y y x x E E E E ，得
???? ??++-???? ??++E E E E
E E E E y x y x H y x y x G 22,24,22,24. 因为点E 在双曲线C 上，所以442
2
=-E E y x . 由定理2，得
248
48484821222222==-=???
? ??----=?E E E E E E OGH
y x y x y x S 注 下面将指出图2的错误：
因为点E 关于x 轴的对称点),(E E y x E -'也在双曲线C 上，而双曲线C 在点E '处的切线方程为
1)(4
=--y y x
x E E 即44=+y y x x E E 也即直线MN ，
所以直线MN 与双曲线C 应当相切，而不是相离.
高考题8 (2011年高考山东卷理科第22题)已知动直线l 与椭圆123:2
2=+y x C 交于
),(),(2211y x Q y x P 、两不同点，且OPQ ?的面积2
6
=
?OPQ S ，其中O 为坐标原点. (1)证明：2
22
1x x +和2
22
1y y +均为定值；
(2)设线段PQ 的中点为M ，求PQ OM ?的最大值；
(3)椭圆C 上是否存在三点G E D 、、，使得2
6
===???OEG ODG ODE S S S ？若存在，判断DEG ?的形状；若不存在，请说明理由.
解 (1)可设)sin 2,cos 3()sin 2,cos 3(ββααQ P 、，由定理2，得
2
6
)(sin 26=
-=
?βαOPQ S 0)cos(,1)(sin ,2
6
)(sin 26=-=-=-=
?βαβαβαOPQ S ∈+
+=k k (2
π
πβαZ )
所以3,3)cos (sin 3)cos (cos 32
22
12
2
2
2
2
22
1==+=+=+=+ y y x x βββα. (2)在(1)的解答中： 当
k
为奇数时，得
)
sin 2,cos 3()cos 2,sin 3(ββββQ P 、-，
???
? ??-+)cos (sin 22),cos (sin 23ββββM ，所以β2sin 25212
-=?PQ OM .
当
k
为偶数时，得
)sin 2,cos 3()cos 2,sin 3(ββββQ P 、-，
???
? ??+-)sin cos (22),sin cos (23ββββM ，所以β2sin 25212-=?PQ OM .
所以PQ OM ?的最大值是
2
5
. (3)可设)sin 2,cos 3()sin 2,cos 3()sin 2,cos 3(γγββααG E D 、、，由(1)的解答知
∈+
=-+
=-+
=-m l k m l k ,,(2
,2
,2
π
παγπ
πγβπ
πβαZ )
把这三式相加，得∈+++
++=m l k m l k (2
3)(0π
πZ )，这不可能！所以椭圆C 上不存在三点G E D 、、，使得2
6=
==???OEG ODG ODE S S S . 高考题9 (2013年高考山东卷文科第22题)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中
心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)B A ,为椭圆C 上满足AOB ?
E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 与点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.
解 (1)(过程略)12
22
=+y x .
(2)当直线OE 的斜率不存在时，可求得2=t 或
33
2
. 当直线OE 的斜率存在时，可设)sin ,cos 2(),sin ,cos 2(ββααB A ，由定理2得
212cos ,21)cos(,23)sin(,46)sin(22=-=-=-=-=
?βαβαβαβαOAB S 或2
3. 可
得
?
?
? ??
-+-+2cos 2sin ,2cos 2cos 2βαβαβαβαE ，所以直线
2tan 2:βα+=
x y OE ，求得??
?
?
?+±+±2sin ,2cos 2βαβαP ，所以
22
cos
1
=-==
β
αE
P y y t 或
33
2 总之，2=t 或
33
2
. 高考题10 (2008年高考海南、宁夏卷理科第21题)设函数1
()()f x ax a b x b
=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =．
(1)求()f x 的解析式.
(2)证明：函数()y f x =的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
(3)证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
答案：(1)1
1
-+
=x x y .(2)略.(3)2.
高考题11 (2008年高考海南、宁夏卷文科第21题)设函数()b
f x ax x
=-，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．
(1)求()f x 的解析式；
(2)证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
答案：(1)x
x y 3
-
=.(2)6. 下面给出这两道高考题结论的推广.
定理 3 (1)双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 上任一点的切线与两条渐近线
x a
b
y x a b y -==
,围成三角形的面积是ab S =； (2)曲线)0(≠+=b x
b
ax y 上任一点的切线与两条渐近线ax y x ==,0围成三角形的面
积是b S =；
(3)曲线)0(≠++
+=b d
x b
c ax y 上任一点的切线与两条渐近线c ax y
d x +==+,0围成三角形的面积是b S =.
证明 (1)如图3所示，可求得过双曲线上任一点))(,(222
022
0200b a y a x b y x P =-的切线方程是220202b a y y a x x b =-，还可求得它与两条渐近线x a
b
y x a b y -==
,的交点分别为????
??+-+???? ??--00200
2002002,,,ay bx ab ay bx b a N ay bx ab ay bx b a M ，再由定理2可立得欲证成立.
图3
(2)由)0(≠+
=b x b ax y ，得2x b a y -='.所以过该曲线上任一点????
?
?+000,x b ax x P 的切
线方程是
)(02000x x x b a x b ax y -???
? ??-=-
- 从而可求得它与两条渐近线ax y x ==,0的交点分别为)2,2(,2,
0000ax x N x b M ???
?
??，再由定理2可立得欲证成立.
(3)因
为
ad c d
x b
d x a d x b c ax y -++++=++
+=)(，所以曲线)0(≠+++=b d
x b
c ax y 是由曲线)0(≠+=b x b ax y 沿向量),(a
d c d --平移后得到的，
所以由结论(2)立得结论(3)成立.
最全面的三角形面积公式
最全面的三角形面积公式 一提到三角形面积公式，大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ，则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上，三角形面积公式太多啦，上面得公式是最基本的公式，根据条件不同，三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ，内切圆半径为r ，则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ，外接圆半径为R ，则三角形面积4L S R = ④已知三角形AOB 中，向量 OA a =uu r r ，OB b =u u u r r ，则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三顶点坐标分别为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 33C(,)x y , 则三角形面积1 1223 31 1121 x y S x y x y = 的绝对值1223311321321 2 x y x y x y x y x y x y =++---。
特别地，当(0,0)C ，或经过平移后(0,0)C ，此时，三角形面积12211 2S x y x y =-。 ⑥海伦（Heran ）公式，已知△ABC 中，1 ,,,()2 AB c BC a CA b p a b c ====++，则 三角形面积S 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式，即秦九韶公式，也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角，则三角形面积公式为 111 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B = == ⑧已知三角形两角及夹边，则三角形面积公式为 222sin sin sin sin sin sin 2sin()2sin()2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C === +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ，则三角形面积公式为 2sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值
三角形面积的向量方法
三角形面积的向量方法 向量是一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以得到广泛应 用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景． 公式 ABC ?中，若向量CB a = ，CA b = ，则ABC S ?= 证明 1sin ,2ABC S a b a b ?=<> == １．利用公式求三角形的面积． 例1．已知ABC ?，点(1,1)A ，(4,2)B ，(3,5)C ，求ABC ?的面积． 解：∵(3,1)AB = ，(2,4)AC = ，∴210AB = ，220AC = ，10AB AC ?= ， ∴ABC S ?=5==． 例2．已知ABC ?中，向量00 (cos23,cos67)BA = ，00(2cos68,2cos22)BC = ，求ABC ?的 面积． 解：由已知，得00(cos23,sin 23)BA = ，00 (2sin 22,2cos22)BC = ，∴1BA = ，2BC = ， ∴00002(sin 22cos23cos22sin 23)BC BA ?=+ 0 2sin 45== ∴ABC S ?==． ２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值． 例3．平面直角坐标系内有点(sin ,cos )P x x ，(cos ,sin )Q x x ，[,]2412 x ππ ∈-，O 为坐标原点，求OPQ ?面积的最值． 解：OPQ S ?===1 cos 22 x =．
∵[, ]2412x ππ ∈-， ∴当12 x π = 时，OPQ ? 面积的最小值为 4 ；当0x =时，OPQ ?面积的最大值为 12 ． ３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值． 例4.已知OAB ?中,OA a = ，OB b = ，且3,2a b a b +=-= ，求OAB ?面积的最大值． 解：∵3,2a b a b +=-= ，∴2229a a b b +?+= ，22 24a a b b -?+= ，解得54 a b ?= ， 22132a b += ，∴OAB S ?= = ≤3 2=， 当且仅当a b == 时，取“=”号． 例 5.已知向量(cos ,sin )OA a αα== ，(cos ,sin )OB b ββ== ，a 与b 之间有关系 式 ka b kb +=- ，（0k > ，且2k ≠，O 为坐标原点，求AOB ?面积的最大值，并求 此时a 与b 的夹角θ． 解：将ka b kb +=- 两边平方，得222222 23(2)k a ka b b a ka b k b +?+=-?+ ∵1a b == ，∴2 2213(12)k ka b ka b k +?+=-?+ ，又∵0k >，∴111()42a b k k ?=+≥ ， 当且仅当1k =时取“= ”号．∴AOB S ?= = ≤ 4= ∴AOB ? 此时12a b ?= ，∴1c o s 2 a b a b θ?== ，∵000180θ<<，∴0 60θ=．
三角形、平行四边形面积的向量公式
1 三角形、平行四边形面积的向量公式 提到三角形的面积，C ab ah S sin 2 121==应该算最为简捷的两个，尤其是后者，在已知三角形的两边 及其夹角（正弦值）的条件下求三角形面积，常常与正、余弦定理互动也是情理之中的事．下面我们通过 一道高考题，伺机请出三角形面积公式的向量代言人． 引例 （2010年高考辽宁卷8）平面上B A O ,,三点不共线，设=OA a ，=OB b ，则OAB ?的面积等 于（ ） A ．222)(||||b a b a ?- B ．222)(||||b a b a ?+ C ．222)(||||21b a b a ?- D ．222)(||||2 1b a b a ?+ 解：)cos 1(21sin 21222C OB OA C OB OA S OABC -=?=?=-=C b a b a 22222cos ||||||||2 1 222)(||||2 1b a b a ?-．选C ． 因为2222||,||b b a a ==，所以上述公式还可以化为222)(2 1b a b a ?-，意识到没有，之所以写成选项中的形式，可能是怕有同学误认为222)(ab b a =，随手接着一化，得OAB ?的面积等于0！然后开始怀疑人生． 其实这道高考题是有渊源的，现在让它卸了妆，它就变成这样子：已知ABC ?中，=a ，=b ，试用b a ,的向量运算式子表示ABC ?的面积，即=?ABC S ____________________．它是谁？它是2004年全国高中数学联赛湖南预赛第12题．好尴尬呀，说出去的话泼出去的水，悔不该揭它老底儿！ 上述公式便是三角形面积的向量代言人之一，当题目含有公式需要的向量条件时，可考虑让它出手． 例1 （2012年全国高中数学联赛5）在ABC ?中，若7=? 6=-，则ABC ?面积的最大值为 ． 分析：因为7=?，所以只需求出||||?的最大值即可. 解：6=-两边平方，得362||||22=?-+，所以50||||22=+，所以(2 1||||≤?25)||||22=+，当且仅当5||||==时，等号成立． 所以ABC ?面积的最大值为127252 122=-． 评注：本例还可以用几何法求解：记BC 的中点为M ，则() +=21,
向量方法和解三角形
向量方法和解三角形 一、向量方法 1．已知ABC ?，若对任意R t ∈，BA tBC AC -≥ ，则ABC ?一定为 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．斜三角形 2．已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3 π，若向量c 满足|2|2c a b -+= ，则||c 的最大值为（ ） A.2 2 2 2 3．M 是ABC ?所在平面上的一点，且D ,23 23=++是AC 中点， 的值为（ ） A. 13 B.1 2 C.1 D.2 4．如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC = xOA yOB + ，则 （ ） A.01x y <+< B.1x y +> C.1x y +<- D.10x y -<+< 5．在圆O 中，若弦6AB =，弦10AC =，则AO ·BC 的值是 A.－16 B ．－2 C ．32 D ．16 6．在四边形ABCD 中，13 DC AB = ，E 为BC 的中点，且AE x AB y AD =?+? ， 则32x y -= . 7．如图，ABC ? 是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上 的任意一点，则AP BP = 8．在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任 意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=,AP DE AC . 9．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△PAB 与 △PBC 的面积的比值为__________． 10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ,1,3AD CD AB ===，动点P 在BCD 内运动（含边界），设AP AD AB αβ=+ ，则αβ+的最大值是 ． E D C B A P B A C
三角形的面积计算公式
三角形的面积计算公式 三角形的面积计算公式1.已知三角形底a，高h，则 S＝ah/22.已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/25.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R则三角形面积=a bc/4R6.S△=1/2 *| a b 1 || c d 1 || e f 1 || a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！7.海伦--秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.8.根据三角函数求面积S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA注:其中R为外切圆半径。9.根据向量求面积SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-（AB*AC）
由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用 (2019高考)数学考点分类解析
由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用 高考题1 (2010年高考辽宁卷理科第8题)平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ?的面积等于( ) A.2 2 2)(b a b a ?- B.2 2 2)(b a b a ?+ C.22 2)(21b a b a ?- D. 22 2)(2 1 b a b a ?+ 答案：C. 这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式： 定理1 若三点B A O ,,不共线，则22 2)(2 1 OB OA OB OA S OAB ?-=?. 证明 22 22)(2 1cos 121OB OA OB OA AOB OB OA S OAB ?-=∠-= ?. 由此结论，还可证得 定理2 若三点B A O ,,不共线，且点O 是坐标原点，点B A ,的坐标分别是 ),(),,(2211y x y x ，则12212 1 y x y x S OAB -= ?. 证法1 由定理1，得 1221221212 22221212 1)())((21y x y x y y x x y x y x S OAB -=+-++= ? 证法2 可得直线AB 的方程是 0)()()(12212121=-+---y x y x y x x x y y 所以坐标原点O 到直线AB 的距离是 AB y x y x 1 221-，进而可得AOB ?的面积是 122112212121 y x y x AB y x y x AB S OAB -=-?= ?. 下面用定理2来简解10道高考题. 高考题2 (2014年高考四川卷理科第10题)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB → ＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.172 8 D.10 解 B.得?? ? ??0,41F ，可不妨设)0)(,(),,(212211y y y x B y x A >>. 由2212 2212121=+=+=?y y y y y y x x OB OA ，可得221-=y y ，所以由定理2，得 2121212112 222112212 12121y y y y y y y y y y y y y x y x S ABO -=-=-?=-=-= ? 所以
最全面的三角形面积公式
最全面的三角形面积公式 河北邯郸 贾敬堂 一提到三角形面积公式，大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ，则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上，三角形面积公式太多啦，上面得公式是最基本的公式，根据条件不同，三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ，内切圆半径为r ，则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ，外接圆半径为R ，则三角形面积4L S R = ④已知三角形AO B 中，向量 O A a =uur r ，O B b =uu u r r ，则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三顶点坐标分别为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 33C(,)x y ,
则三角形面积11223 3 1 112 1 x y S x y x y = 的绝对值12233113213212 x y x y x y x y x y x y =++---。 特别地，当(0,0)C ，或经过平移后(0,0)C ，此时，三角形面积122112S x y x y = -。 ⑥海伦（Heran ）公式，已知△ABC 中，1 ,,,()2 A B c B C a C A b p a b c ====++，则 三角形面积S = 。 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式，即秦九韶公式，也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角，则三角形面积公式为 111sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ca B = = = ⑧已知三角形两角及夹边，则三角形面积公式为 2 2 2 sin sin sin sin sin sin 2sin() 2sin() 2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C = = = +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ，则三角形面积公式为 2 sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值