大学物理简谐运动

π π x ( 0.08 ) cos[ t ] 2 3
t 1.0s 代入上式得
x 0.069 m
2
F kx m x
π 2 3 (0.01)( ) ( 0.069 ) 1.70 10 N 2
（2）由起始位置运动到x 0.04 m 处所需 要的最短时间.
π 反相
x
x
x
o
t
o
t
o
t
14 – 3 旋转矢量 精析6.8 已知两个简谐振动曲线如图所示．x1 的相位比x2的相位超前_______．
x
x1 x2
π/2
O
t
例，两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、 周期相同．第一个质点的振动方程为 x1 = Acos(t + a)．当第一个质点从正位移处回到 平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．求 第二个质点的振动方程
2π 周期 T
2
T 2
弹簧振子周期
k m
m T 2π k
频率
1 T 2π
2π 圆频率 2π T
注意
周期和频率仅与振动 系统本身的物理性质 有关 “固有周期”
“固有频率”
三 相位 t
A
x
x A cos(t ) o v A sin(t ) A
v
2 0 2
A 和 的确定
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos
A x
2 0

v0 A sin
v0 t an x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质 决定，振幅和初相由初始条件决定.
讨论
已知 t
0, x 0, v 0 求
T
A 2
A cos(t π ) A 2
2
o
t
3-1-2 简谐运动的特征量 一 振幅
A xmax
A
x x t 图
T 2
T
二
周期、频率
o
A
t
x A cos(t )
A cos[ (t T ) ]
x A cos(t )
A cos( t 2 )
t
时刻

π 3
t
o
起始时刻
π 3
0.04 0.08
x/m
0.08 0.04
π t 3
π 1 s 2
2 t s 0.667 s 3
例1 如图，一轻弹簧连着一物体，弹簧的劲 1 m 20g . 度系数 k 0.72N m ，物体的质量 （1）把物体从平衡位置拉到 x 0.05 m 处停 下再释放，求简谐运动方程； A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 2 处时的速度； （3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于 1 v 0 . 30 m s 零，而是具有向右的初速度 0 ， 求其运动方程.
在
o
x0
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运
动.
x A cos(t )

t t 时
A
以o 为
原点旋转矢
t
量 A 的端点
o
x A cos(t )
x
在
x 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
x A cos(t )
矢量 A的
端点在
旋转
x
轴上的投 影点的运
v
0.08 0.04
o
x/m
0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04 m 处所 需要的最短时间为 t
1 π arccos ( ) 2 2 3 t s s 0.667 s 3 π2
π π 0.04m ( 0.08 ) cos[ t ] 2 3
解法二，由旋转矢量判断
1 1 2 Ek mv m 2 A2 sin 2 (t ) 2 2 1 2 1 2 Ep kx kA cos 2 (t ) 2 2
1 2 2 E Ek Ep kA A （振幅的动力学意义） 2
线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能 守恒
k/m
6、运动图线
2
am A
x A cos(t )
T 2π

取
0
A
o
A
x
x t 图
T
t
t
v A sin(t ) A o π A cos( t ) A 2
a A cos(t )
2
v
a
v t 图
T
a t图
简谐运动
第十四章 机械振动
任一物理量在某一定值附近往复变化
——振动.
机械振动： 物体围绕一固定位置往复运动.
例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震 以及晶体中原子的振动等. 简谐运动：
简谐运动
最简单、最基本的振动.
合成 分解 复杂振动
本章研究：简谐运动
14 – 1
简谐运动
第十四章 机械振动
§3-1
0 A cos π 2 v0 A sin 0
π sin 0 取 2
A
x A cos(t )
v
x
x
T 2
o
T
π x A cos( t ) 2
o
A
t
3-1-3
旋转矢量法

当t
以 o为
0
时
A

原点旋转矢
量 A 的端点
t 0, x 0.04m
A
2π π 1 s T 2 π v0 0 3

π 3
0.08wenku.baidu.com 0.04
o
x/m
0.08
0.04
π π x ( 0.08 ) cos[ t ] 2 3
m 0.01kg
0.08 0.04
v
o
0.04 0.08
x/m
简谐运动
3-1-1
简谐运动
一、何为简谐运动？ 如果一个物体的运动方程的形式为
x A cos(t )
二、简谐运动的分析 最典型的简谐运动——弹簧振子的振动
弹簧振子的振动
l0
k
m
A
x0 F 0
o
A
x
F
m
o
1、受力特征
x
x
F kx ma
——线性恢复力，谐振特征力
2、动力学方程 2 d x k k x a x 2 dt m m
动为简谐
运动.
y
t
0
A

x
x A cos(t )
例题
14 – 3 旋转矢量 例.一弹簧振子作简谐振动，振幅为 A，周期为T， 其运动方程用余弦函数表示．若t = 0时， (1) 振子在负的最大位移处，则初相为 ______________________； (2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为 ________________； (3)振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初 相为_________． (4)振子在位移为--A/2处，且向正方向运动，则 初相为_________． 6.2 (5) 写出以上四种情况的运动方程

相位差：两个简谐运动的相位之差 .
对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们 步调上的差异.
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
2 1
为其它
超前
落后
(t 2 ) (t 1 )
0 同步
x 0.04 m 处，向 Ox
轴负方向运动（如图）.
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力 试求
v
0.08 0.04
o
设
x/m
0.04 0.08
解（1）先求运动方程
A 0.08m
2π π 1 s T 2
x A cos(t )
A 0.08 m
试求
轴负方向运动（如图）.
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力
（2）由起始位置运动到x 0.04 m 处所需 要的最短时间.
v
0.08 0.04
o
x/m
0.04 0.08
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，振幅 为 0.08 m ，周期为 4s ，起始时刻物体在
14 – 1
简谐运动
第十四章 机械振动
机械振动 与机械波
第十四章 机械振动 14 – 1 简谐运动 振动和波动是物质的基本运动形式，是自然界 的普遍现象，在力学中有机械振动和机械波， 在电磁学中有电磁振荡和电磁波，声是机械波， 光是电磁波，近代物理研究表明，一切微观粒 子都具有波动性
——尽管在物质不同的运动形式中，振 动与波动的具体内容不同，本质不同，但在形 式上它们具有相似性，都遵循相同的运动规律， 都能用相同的数学方法描述，这说明不同的振 动与波动之间具有共同的特性。 本篇讨论机械振动和机械波的基本规律，它是 其它振动与波动的基础
x/m
o
0.05
解 （ 1）
x A cos(t )
k 0.72 1 6.0s m 0.02
A x
2 0
v

2 0 2
x0 0.05m
o
A
x
由旋转矢量图可知 0
x A cos(t )
0.05 cos( 6.0t )( m )
A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时 2 的速度； 解 x A cos(t ) A cos(t )
1）t ( x, v)
v
v
T 2
x t 图
v
T
t
存在一一对应的关系;
t ——相位一定，振动状态唯一确定
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的
运动状态；
3）初相位
(t 0)
描述质点初始时刻的
运动状态.
四
常数
x A cos(t ) v A sin(t )
1 2 --A O A
1 x 2 A cos( t a π) 2
精析6.1
14 – 3 旋转矢量 精析 6.6一质点沿x轴作简谐振动，振动方程为
x 4 10
2
1 cos( 2t ) (SI)． 3
从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为 ［ ］
令
k m
2
d x 2 x 2 dt
2
x A cos(t )
3、运动方程
4、速度
x A cos(t )
dx v A sin(t ) dt
5、加速度
2
vm A
d x 2 2 a 2 A cos(t ) x dt
dx v A sin(t ) dt v A sin t
π 由旋转矢量图可知 t 3
A x 2
A

A
o
A 2
x
0.26m s
1
（负号表示速度沿 Ox 轴负方向）
（3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于 零，而是具有向右的初速度 v0 0.30m s1 ，求 其运动方程. 解
1 s 6
1 s 4
1 s 3
1 s 8
1 s 2
例，两个弹簧振子的周期都是0.4 s， 设开始时 第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过 0.5 s 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动， 则这两振动的相位差为____________．
π
14 – 3
旋转矢量
3-1-4 简谐运动的能量 以弹簧振子为例 x A cos(t ) F kx v A sin(t )
14 – 3
1)
旋转矢量
A
o
x
2 x A cos( t ) T
3 4 2 1 ) 2 ) 或 3 ） 4） 或2 2 3 3 3

142 – 一质量为 3 旋转矢量 0.01kg 的物体作简谐运动，振幅 例 为 0.08 m ，周期为 4s ，起始时刻物体在
x 0.04 m 处，向 Ox
2
x, v
简谐运动能量图
o
能量
x t
T
0 t x Acost v t v A sin t
第十四章 14 振动和波动 – 1 简谐运动 ——物质的基本运动形式
机械振动
振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近 作周期性的变化。
机械振动：物体在一定 的位置附近做来回往复 的运动。
波动：振动状态在空间 的传播。
机械振动和机械波 电磁振荡和电磁波 声（机械波） 光（电磁波） 微观粒子的波动性
14 – 1
A＇ x
2 0
v

2 0 2
0.0707m
o
π 4
x
A＇
因为 v 0 0 ，由旋转矢量图可知
＇ π 4
x
π 对给定振动系统，周期由系统本身性质 A cos( t ) (0.0707 ) cos[ 6.0t ] (SI ) 4 决定，振幅和初相由初始条件决定.