单位圆与周期性概要

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答案 {x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
(2)函数 y＝lg cos x 的定义域为________________. π π 答案 {x|2kπ－ <x<2kπ＋ ，k∈Z} 2 2
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探究点二 问题 1
答
1.4.2
三角函数线的作法
请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？
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1.4.2
2.三角函数的定义域 正弦函数 y＝sin x 的定义域是 R； 余弦函数 y＝ cos x 的定义 域是 R. 3.正、余弦函数的周期性 sin(α＋ k·2π)＝ sin α ，k∈ Z； cos(α＋ k·2π)＝ cos α ，k∈ Z. 由此我们可以得到如下结论： 终边相同的角的同一三角函数的值 相等.
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1.4.2
探究点一 三角函数的定义域 任意角的三角函数是在坐标系中定义的， 角的范围是使函数 有意义的实数集 .根据任意角三角函数的定义可知正弦函数 y＝ sin x 的定义域是 R；余弦函数 y＝cos x 的定义域是 R； 在此基础上，可以求一些简单的三角函数的定义域.例如： (1)函数 y＝ sin x的定义域为________________.
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问题 2 作出下列各角的正弦线、余弦线. π 17π 10π (1)－ ；(2) ；(3) . 4 6 3
答
1.4.2
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1.4.2
问题 3
若 α 为任意角， 根据单位圆中正弦线和余弦线的变化 规律可得：sin α 的范围是 [－1,1]；cos α 的范围是 [－1,1] .
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问题 4 若 α 为第一象限角，证明 sin α＋cos α>1.
证明 设角 α 的终边与单位圆交于点 P， 过 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M，则 sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1. 在 Rt△OMP 中，由两边之和大于第三边得 MP＋OM>OP， 即 sin α＋cos α>1.
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1.4.2
4.周期函数的有关概念 (1)周期函数的定义 对于函数 f(x)，如果存在 非零实数 T，任取定义域内的任 意一个 x 值，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就称为周 期函数，T 称为这个函数的 周期 . (2)最小正周期 2π 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小 正周期.
1.4.2
4.2 单位圆与周期性
【学习要求】 1.掌握正弦、 余弦函数的定义域.理解正弦函数、 余弦余数都是 周期函数 . 2.会利用正、余弦函数的周期性把求任意角的正、余弦值转化 为 0° ～ 360° 求值 . 3. 了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正 弦、 余弦， 能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 【学法指导】 1. 三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工 具， 利用三角函数线可以解或证明三角不等式， 求函数的定 义域及比较大小， 三角函数线也是后面将要学习的三角函数 的图像的作图工具.
3 例如： sin 420° ＝ 2 ； sin(－2 070)° ＝1； 2 3 cos(－ 330° )＝ 2 ； cos 1 845° ＝ 2 .
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1.4.2
1.三角函数线 如图， 设单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A， 与角 α 的终边交 于 P 点.过点 P 作 x 轴的垂线 PM，垂足为 M.单位圆中的有 向线段 MP 、OM .分别叫作角 α 的正弦线、余弦线.记作： sin α＝ MP ，cos α＝ OM .
设任意角 α 的终边与单位圆的交点为 P， 过点 P 向 x 轴
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作垂线，垂足为 M，则由垂足 M 指向点 P 的有向线段 MP 就叫作 α 的正弦线，位于 x 轴上，由原点指向垂足 M 的有 向线段 OM 就是 α 的余弦线.
过点 A(1,0)作单位圆的切线，切线与角 α 的终边或其反向延 长线交于点 T，则由 A 指向交点 T 的有向线段 AT 就叫角 α 的正切线.
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
1.4.2
问题 5 若 α 为任意角， 根据单位圆中正弦线和余弦线的变化
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探究点三 正Fra Baidu bibliotek余弦函数的周期性
1.4.2
由任意角的三角函数的定义可以知道， 终边相同的角的同一 三角函数值相等 .由此得到正弦函数和余弦函数的周期性 . sin(k· 360° ＋ α)＝ sin α ，cos(k· 360° ＋α)＝ cos α ，k∈Z. 或者： sin(2kπ＋ α)＝ sin α， cos(2kπ＋α)＝ cos α，k∈ Z. 这组公式的作用是将求任意角的三角函数值转化为求 0° ～ 360° 的三角函数值 .
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1.4.2
2.三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换，正弦线的 正向与 y 轴的正向相同，向上为正，向下为负；余弦线的正 向与 x 轴的正向一致，向右为正，向左为负；当角 α 的终 边与 x 轴重合时，正弦线变成一个点，此时角 α 的正弦值 为 0；当角 α 的终边与 y 轴重合时，余弦线变成一个点. 3. 正弦函数和余弦函数周期性的实质是终边相同的角的同一 三角函数值相等， 根据任意角的正弦函数、 余弦函数的定义 不难理解这一规律.
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规律探究 sin2α＋cos2α 与 1 的关系.
解 当 α 的终边落在 x 轴上时，sin α＝0，|cos α|＝1，
sin2α＋cos2α＝1； 当 α 的终边落在 y 轴上时，|sin α|＝1，cos α＝0， sin2α＋cos2α＝1； 当 α 的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP，cos α＝OM. 在 Rt△OMP 中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1. ∴sin2α＋cos2α＝1.