高中数学《平面与平面垂直的判定》课件

②OA □11
α，OB □12
β；
③OA □13 ⊥ l，OB □14 ⊥ l，
则∠AOB 就叫作二面角 α－l－β 的平面角．
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2．两个平面互相垂直 (1) 两 个 平 面 互 相 垂 直 的 定 义 ： 两 个 平 面 相 交 ， 如 果 所 成 的 二 面 角
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提示
(2)判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有其他的判定定理吗？
提示：面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直．这个定理简称“线面垂直，则面面垂直”．
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提示
a2．下列说法： ①两个相交平面组成的图形叫作二面角； ②异面直线 a、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a、 b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补； ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的
第二课时 平面与平面垂直的判定
[学习目标] 1.理解二面角的有关概念． 2.会求简单的二面角的大 小． 3.掌握两平面垂直的判定定理.
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【主干自填】
1．二面角及其平面角
(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成 □01 两部分 ，其 中的 □02 每一部分都叫作半平面．
最小角；
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④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系． 其中正确的是( ) A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
提示：B
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提示
3．设 l 是直线，α，β 是两个不同的平面( ) A．若 l∥α，l∥β，则 α∥β B．若 l∥α，l⊥β，则 α⊥β C．若 α⊥β，l⊥α，则 l⊥β D．若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β
答案
类题通法 证明平面与平面垂直常用的两种方法
(1)证明一个平面过另一个平面的一条垂线． (2)证明二面角的平面角是直角．
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[变式训练1] 在四面体 A－BCD 中，BD＝ 2a，AB＝AD＝CB＝CD＝ AC＝a，如图．
求证：平面 ABD⊥平面 BCD.
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(4)二面角的平面角．
以 二 面 角 的 棱 上 □07 任一点
为端点，在两个半平面内分别作
□08 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平 面角是 □09 直角 的二面角叫作直二面角．
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如图二面角 α－l－β，
若有①O □10 ∈ l；
是 □15 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直．
(2)两个平面互相垂直的判定定理
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【即时小测】 1．思考下列问题 (1)如何用字母来记作二面角？
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提示：如图，
棱为 AB，面分别为 α，β 的二面角记作二面角 α－AB－β.有时为了方便， 也可在 α，β 内(棱以外的半平面部分)分别取点 P，Q，将这个二面角记作二 面角 P－AB－Q.如果棱记作 l，那么这个二面角记作二面角 α－l－β 或 P－l －Q.
∴AE⊥平面 BCD.又 AE 平面 ABD，∴平面 ABD⊥平面 BCD.
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答案
例 2 如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 AA1 中点，求平面 B1DE 和底面 ABCD 所成二面角的正切值．
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[证明] ∵PD⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD， ∴PD⊥AC. 又 ABCD 为正方形，AC⊥BD，PD∩BD＝D，
∴AC⊥平面 PBD.又 AC 平面 AEC， ∴平面 AEC⊥平面 PBD.
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[解] 延长 B1E 和 BA 交于点 F，连接 DF，则 DF 是所求二面角的棱， ∵E 是 AA1 的中点，故 B1E＝EF，从而 AF＝AB＝CD， ∴四边形 FACD 为平行四边形，∴DF∥CA.
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答案
∵CA⊥BD，∴DF⊥DB.
提示：3 平面 PBC⊥平面 PAC；平面 PAC⊥平面 ABC；平面 PAB⊥平 面 ABC.
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提示
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例 1 如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是正方形，PD⊥平面 ABCD， 点 E 在侧棱 PB 上．求证：平面 AEC⊥平面 PBD.
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证明 ∵△ABD 是等腰三角形，
∴取 BD 的中点 E，连接 AE，CE，则 AE⊥BD.
在△ABD 中，AB＝a，BE＝12BD＝ 22a，
∴AE＝
AB2－BE2＝
22a.同理
CE＝
2 2 a.
在△AEC 中，AE＝CE＝ 22a.AC＝a， ∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE.又 BD∩CE＝E，
提示：B 对于选项 A，两平面可能平行也可能相交；对于选项 C，直 线 l 可能在 β 内也可能平行于 β；对于选项 D，直线 l 可能在 β 内或平行于 β 或与 β 相交．
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提示
4．如图，已知：PA 垂直于圆 O 所在平面．AB 是圆 O 的直径，C 是圆 周上一点．则图中垂直的平面共有________对．
(2)二面角：从一条直线出发的□03 两个半平面 所组成的图形叫作二面 角，这条直线叫作二面角的 □04 棱 ，这两个半平面叫作二面角的 □05 面．
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(3)二面角的记法．
如图，记作：二面角 □06 α－AB－β .
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