运动学部分作业参考答案

刚体的基本运动
8-2 搅拌机构如图所示，已知O 1A =O 2B =R ，O 1O 2=AB ，杆O 1A 以不变转速n rpm 转动。

试
分析构件BAM 上M 点的轨迹及其速度和加速度。

解：搅拌机构BAM 作平动，故：
22
226030
900M A B M A B nR Rn v v v R Rn a a a R ππ
ωπ
ω====
=====
速度和加速度方向如图所示。

刚体的平面运动
10-3 两齿条以速度v 1和v 2同向直线平动，两齿条间夹一半径为 r 的齿轮；求齿轮的角速
度及其中心O 的速度。

解：(1) 齿轮作平面运动，取中心O 为基点，假设齿轮转动的角速度为ω；
(2) 齿轮A 点和B 点的速度是
12 o o v v r v v r ωω=+=-
解方程得：
1212 22o v v v v
v r
ω+-=
= 10-4图示曲柄连杆机构中，曲柄OA = 40 cm ，连杆AB = 100 cm ，曲柄以转速n = 180 rpm
绕O 轴匀速转动。

求当φ = 45o 时连杆AB 的角速度及其中点M 的速度。

解：(1) 连杆AB 作平面运动，选A 点为基点，B 点的速度为
B A AB v v v =+
已知
2.4 /30
sin sin 40
sin sin sin 45=0.2828 16.43100A o n
v OA OA m s
OA OA AB AB
πωπθϕθϕθ=⨯=
⨯====⨯=
应用正弦定理
()()
0000AB sin 45 2.4 5.56 /sin 45sin 90sin 9016.435.56 /AB A AB o
AB
v v v m s v rad s AB
π
θω⨯===--=
=
(2) M 点的速度
M A AM v v v =+
1
2.78 /2
AM AB v v m s ==
应用余弦定理
v
6.67 /M v m s ==
注：本题也可以用速度瞬心法求连杆AB 的角速度和M 点的速度。

根据v A 和v B 得到AB 杆的速度瞬心C ；
124.2 124.240135.6 120.0 OB cm AC OB OA cm
MC cm
===-=-===
AB 杆的角速度：
2.4 5.56 /1.356A AB v rad s AC
πω=
== M 点的速度：
5.56 120.0667 /M AB v MC cm s ω=⨯=⨯=
10-5图示四连杆机构中，OA = O 1B = 1/2AB ，曲柄以角速度ω=3 rad/s 绕O 轴转动；求在图
示位置时杆AB 和杆O 1B 的角速度。

解：(1) 分析运动：OA 和O 1B 作定轴转动，AB 作平面运动。

根据v A 和v B 得到AB 杆的速度瞬心是O 点； (2) AB 杆的角速度：
3 /A
AB v rad s OA
ωω=
==
A
B
v v B
(3) B 点的速度
B AB v OB OA ω=⨯=
(4) O 1B 杆的角速度：
11 5.2 /B O B v rad s O B ω=
== 注1：本题也可以用基点法求B 点的速度，再求O 1B 杆的角速度。

以A 为基点，B 点的速度和O 1B 的角速度是：
(
)
1
1 5.
2 /B A B O B
OB
v v tg OA OA OA
v
rad s O B
αωω==⨯⨯
====
注2：本题还可以用速度投影法求B 点的速度，再求O 1B 杆的角速度。

1
1cos sin 5.2 /B A B A B O B
v v v v tg OA
v
rad s O B
αααω======
10-6图示曲柄摇块机构中，曲柄OA 以角速度ω0绕O 轴转动，带动连杆AC 在摇块B 内滑
动，摇块及与其刚连的BD 杆则绕B 铰转动，杆BD 长l ；求在图示位置时摇块的角速度及D 点的速度。

v AB
B v A
v A
解：(1) 分析运动：OA 和BD 作定轴转动，AC 作平面运动。

根据v A 和v B 得到AC 杆的速度瞬心是P 点； (2) AC 杆的角速度:
00
42A AC OA v AP AB
ωωω⨯=
==
(3) BD 杆的角速度与AC 杆的角速度相等，由此得到D 点的速度；
4
D BD AC l v BD BD ωωω=⨯=⨯=
注：本题也可以用基点法求AC 杆的角速度。

以A 为基点，B 点相对于A 点的速度是：
01
sin 302
o AB A v v OA ω=⨯=⨯
AC 杆的角速度是：
0124AB AC v OA AB AB
ωωω=
=⨯= D 点的速度：
4
D BD AC l v BD BD ωωω=⨯=⨯=
10-8 图示双曲柄连杆机构中，主动曲柄OA 与从动曲柄OD 都绕O 轴转动，滑块B 与滑块E 用杆BE 连接。

主动曲柄以匀角速度ω0=12 rad/s 转动，OA = 10 cm ，AB = 26 cm ，BE = OD = 12 cm ，DE = 12√3 cm 。

求当曲柄OA 位于图示铅垂位置时，从动曲柄OD 和连杆DE 的角速度。

v A
v D
解：(1) 分析运动：OA 和OD 作定轴转动，AB 和DE 作平面运动，DE 杆作平动。

由点A 、B 的速度方向可知连杆AB 在图示位置作瞬时平动。

(2) A 、B 、E 三点的速度相同；
0 1.2 /E B A v v v OA m s ω===⨯=
(3) 选E 点为基点，画出D 点的速度矢量图；
D E ED v v v =+
12 E D ED
D E ED E
v v v
OD DE OE
OE OB BE
BE cm v v v
===-==∴== (4) 曲柄OD 和连杆DE 的角速度:
//D
OD ED DE
v rad s OD
v rad s DE ωω====
10-10 轮O 在水平面内滚动而不滑动，轮缘上固定销钉B ，此销钉在摇杆O 1A 的槽内滑动，
并带动摇杆绕O 1轴转动。

已知轮的半径R = 50 cm ，在图示位置时AO 1是轮的切线，轮心的速度υ0 = 20 cm/s ，摇杆与水平面的交角α= 600。

求摇杆的角速度。

解：(1) 分析运动：摇杆O 1A 作定轴转动，轮O 作平面运动；
(2) 轮O 与地面接触点C 是速度瞬心，由此求出B 的速度；
02cos30/o B v v BC R cm s R
ω==
⨯= (3) 选轮上B 点为动点，动系建在摇杆上；
00cos 60cos 60/a e r a B
e a v v v v v v v cm s
=+====
(4) 摇杆的角速度
1
10.2 /e O A v rad s O B ω=
== 10-11 图示曲柄连杆机构带动摇杆O 1C 绕O 1轴摆动,连杆AD 上装有两个滑块,滑块B 在水平
槽滑动,而滑块D 在摇杆O 1C 的槽内滑动。

已知曲柄长OA = 5 cm, 其绕O 轴的角速度ω0=10 rad/s, 在图示位置时, 曲柄与水平线成90o 角, 摇杆与水平线成60o 角, 距离O 1D = 7 cm.。

求摇杆的角速度。

解：(1) 分析运动：曲柄OA 和摇杆O 1C 作定轴转动，连杆AD 作平面运动；由点A 、B 的
速度方向可知连杆AD 在图示位置作瞬时平动；
050 /D B A v v v OA cm s ω===⨯=
(2) 选滑块D 为动点，动系建在摇杆O 1C 上；
sin 60sin 6043.3 /a e r
e a D v v v v v v cm s
=+===
(3) 摇杆的角速度
1
1 6.19 /e
O C v rad s O D
ω=
=
10-14 滚压机构的滚子沿水平面滚动而不滑动。

已知曲柄OA 长r = 10 cm ，以匀转速n = 30
rpm 转动。

连杆AB 长l = 17.3 cm ，滚子半径R = 10 cm ，求在图示位置时滚子的角速度及角加速度。

解：(1) 分析运动：曲柄OA 作定轴转动，连杆AC 和滚子作平面运动；
几何关系：
v
sin 60sin 10sin sin 60sin 600.5 30
17.3o o o OA AB OA AB
θ
θθ===⨯=∴= (2) 选A 点为基点，决定B 点的速度；
B A AB v v v =+
根据已知条件，可得
010 /30
36.3 / 3.63/cos30sin 3018.2 / 1.05 /A A B
B B AB AB
B AB n
v r r cm s
v v v cm s rad s R
v
v v cm s rad s
AB
πωπωω=========== (3) 选A 点为基点，决定B 点的加速度；
n n
B A AB AB a a a a τ=++
式中，
2219.1 /n AB AB a AB cm s ω==
将矢量式向ξ轴投影，有
2
cos30 22 /cos30
n
n AB B AB
B a a a a cm s === (4) 滚子的角加速度
22.2 /B
B a rad s R
ε=
= 10-15 图示曲柄连杆机构中，曲柄长20 cm ，以匀角速度ω0=10 rad/s 转动，连杆长100 cm 。

求在图示位置时连杆的角速度与角加速度以及滑块B 的加速度。

ξ
τ
ξ
解：(1) 分析运动：曲柄OA 作定轴转动，连杆AB 作平面运动，滑块作平动；
(2) 选A 点为基点，求B 点的速度；
200 /2 /B A AB AB A AB
AB v v v v v OA cm s v rad s AB
ωω=+==⨯==
=
(3) 选A 点为基点，求B 点的加速度；
n n
B A AB AB a a a a τ=++
已知：
v A
a A
222202000 / 400 /n n A AB AB a OA cm m a AB cm s ωω=⨯==⨯=
将矢量式向ξ、η轴投影，有
2
002
2
cos 45 565.7 /cos 45sin 45 sin 451600 /16 /n
n
AB B AB
B n n B A AB AB A B AB AB
a a a a cm s
a a a a a a cm s a rad s AB
τττ
α===-=-+=-===
点的合成运动
9-5 图示曲柄滑道机构中，曲柄长OA = r ，它以匀角速度ω 绕O 轴转动。

装在水平上的滑槽
DE 与水平线成60o 角。

求当曲柄与水平线的交角分别为ϕ=0、30o 、60o 时，杆BC 的速度。

解：(1) 选动点A ，动系建在ABC 上；
(2) 运动分析：牵连运动是平动，相对运动是沿ED 滑槽的直线运动，绝对运动是绕O 点的圆周运动；速度矢量图如图所示。

由正弦定理得：
()()
sin120sin 30sin 90a e r
o o o v v v ϕϕ==
-- ()sin 30sin120
o e a o
v v ϕ-=⨯
当ϕ=0o 时，
e v ω= 方向为水平向左。

当ϕ=30o 时，
v a y ’
0e v =
当ϕ=60o 时，
3
e v r ω=
方向为水平向右。

注：本题目也可以分别讨论ϕ=0o 、30o 和60o 时速度矢量关系，如下所示。

9-6 图示曲柄滑道机构中，杆BC 为水平，而杆DE 保持铅垂。

曲柄长OA =10cm ，以匀角速
度ω=20rad/s 绕O 轴转动，通过滑块A 使杆BC 作往复运动。

求当曲柄与水平线的交角分别为ϕ = 0、30o 、90o 时，杆BC 的速度。

解：(1) 选动点A ，动系建在BDC 上；
(2) 运动分析：牵连运动是直线平动，相对运动是沿DE 的直线运动，绝对运动绕O 点的圆周运动，速度矢量图如图所示。

200 / sin 200sin /a e a v r cm s v v cm s ωϕϕ====
当ϕ=0o 时
0e v =；
当ϕ=30o 时
100 /e v cm s =；
当ϕ=90o 时
200 /e v cm s =
注：本题目也可以分别讨论ϕ=0o 、30o 和90o 时速度矢量关系，如下所示。

B C
v e
v a
v a
e
9-9 摇杆OC 经过固定在齿条AB 上的销子K 带动齿条上下平动，齿条又带动半径为10 cm
的齿轮绕O 1轴转动。

如在图示位置时摇杆的角速度ω = 0.5 rad/s ，求此时齿轮的角速度。

解：(1) 选动点K ，动系建在摇杆OC 上；
(2) 运动分析：牵连运动是绕O 轴的定轴转动，相对运动是沿OC 的直线运动，绝对运动是上下的直线运动。

速度矢量图如图所示。

40
0.523.1 /cos30e v OK cm s ω=⋅=
⨯=
23.126.7 /cos30cos30
e a v v cm s ===
(3) 齿条与齿轮接触点的速度等于K 点的绝对速度，所以齿轮的角速度是
126.7 2.67 /1010
a v rad s ω=
== 9-10 图示铰接四边形机构中，O 1A =O 2B =10 cm 又O 1O 2=AB ，且杆O 1A 以匀角速度ω =2 rad/s
绕O 1轴转动。

AB 杆上有一套筒C ，此筒与CD 杆相铰接，机构的各部件都在同一铅垂面内。

求当ϕ =60o 时，CD 杆的速度和加速度。

解：(1) 选动点C ，动系建在AB 上；
(2) 运动分析：牵连运动是平动，相对运动是水平直线运动，绝对运动是上下直线运动；速度和加速度矢量图如图所示。

y ’
B r v e a a r
110220 /e A B v v v O A cm s ω===⋅=⨯=
(3) CD 杆的速度
cos 20cos 6010 /a e v v cm s ϕ==⨯=
(4) CD 杆的加速度
a e r a a a =+
222110240 /e a O A cm s ω=⋅=⨯=
2sin 6034.6 /a e a a cm s ==
9-11 图示曲柄滑道机构中，导杆上有圆弧形滑槽，其半径R=10cm ，圆心在导杆上。

曲柄长
OA=10cm ，以匀角速度ω=4π rad/s 绕O 轴转动。

求当ϕ=30o 时导杆CB 的速度和加速度。

解：(1) 选动点A ，动系建在导杆CB 上；
(2) 运动分析：牵连运动是平动，相对运动是曲线运动，绝对运动是绕O 的圆周运动；速度和加速度矢量图如图所示。

(3) CB 杆的速度
0.14 1.26 /1.26 /a A CB e a r v v OA m s v v v v m s
ωπ==⨯=⨯=====
(4) CD 杆的加速度 加速度合成定理：
n a e r r a a a a τ
=++
22
220 1.61.2615.88 /0.1
n a a n r r
a a OA v a m s
R τωπ
==⨯==== 将矢量式向ξ轴投影
cos60cos30n
n a e r a e r a a a a a a ξξξ=+=-
a r
n
a r a
()()21cos 60cos30
1 1.6cos 6015.8827.3 /cos30
n
n e a r a a a m s π=
+=+=
9-12 半圆形凸轮以匀速度v o 水平向右运动，推动杆AB 沿铅垂方向运动。

如凸轮半径为R ，
求在图示位置时AB 杆的速度和加速度。

解：(1) 选动点A ，动系建在凸轮上；
(2) 运动分析：牵连运动是水平平动，相对运动是沿凸轮的圆周运动，绝对运动是上下直线运动；速度和加速度矢量图如图所示。

(3) AB 杆的速度
000 300.577 2 1.154e a e r a v v v v tg v v v v =====
速度方向向上。

(4) AB 杆的加速度 加速度合成定理：
n a e r r a a a a τ
=++
220
020
1.332 0
1.54cos30n r r
e n
r
a v v a a a R R v a a R ======
加速度方向向下。

9-14 杆OA 绕定轴O 转动，圆盘绕动轴A 转动， 已知杆长l =20 cm ，圆盘半径r =10 cm ，
在图示位置时，杆的角速度和角加速度为ω = 4 rad/s ，ε =3 rad/s 2， 圆盘相对于杆OA 的角速度和角加速度为ω r = 6 rad/s ，ε r = 4 rad/s 2。

求圆盘上M 1和M 2点的绝对速度及绝对加速度。

e a a v a v
a r r t
1r
A v
解：(1) 选动点M 1、M 2，动系建在OA 杆上；
(2) 运动分析：牵连运动是绕O 轴的定轴转动，相对运动是绕A 轴的转动，绝对运动是曲线运动；
(3) 速度矢量图如图所示。

a e r v v v =+
M 1点速度：
()()()111304120 /10660 /e r r v OM r L cm s
v r cm s
ωωω=⨯=+⨯=⨯===⨯=
()()()1111206060 /a e r v v v cm s =-=-=
M 2点速度：
(
)()()
222489.44 /10660 /263.43582.5 /e r r o
a v cm s v r cm s
l
arctg arctg r v cm s
ωβ=====⨯====∴=
=
(4) 加速度矢量图如图所示。

加速度合成定理：
n n a a a e e r r k a a a a a a a a ξηττ
=+=++++
M 1点加速度：
a η η
()()()()()2
122
12
122
12
1()30390 /()3016480 /10440 /1036360 /22460480/e n
e r r n
r r e r k a r l cm s a r l cm s a r cm s a r cm s a v cm s τ
τ
αωαωω=+=⨯==+=⨯===⨯===⨯==⨯=⨯⨯= 矢量式向ξ 轴和η 轴投影：
()()()()()
2111211112
1904050 /480360480360 /363 /a e r
n
n
a e r k a a a a cm s a a a a cm s a cm s ττ
ξη=-=-==+-=+-=∴=
=
M
2点加速度：
(
)(
)()()()2
2222
22
2222
22
2367.08 /4357.76 /10440 /106360 /22460480 /e n
e r r n
r r e r k a cm s a cm s a r cm s a r cm s a v cm s τ
τ
αωω=
=======⨯===⨯==⨯=⨯⨯= 将矢量式向ξ 轴投影
()()()()222222
cos sin 360480357.76cos 63.43567.08sin 63.435100 /n
n
a r k e e o o a a a a a cm s τ
ξββ
=-++=-+⨯+⨯= 将矢量式向ζ 轴投影
()()()22222
sin cos 40357.76sin 63.43567.08cos 63.435330 /n a r e e o o a a a a cm s ττ
ηββ
=+-=+⨯-⨯=
2
2345 /a a cm s ∴=
=。