第二类换元法.
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
注: 当
时
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例2. 求
解:
1 dx 2 x)2 a 1 (a x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C 2 a a 1 u
1 u2
想到公式 du
arctan u C
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求 解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
第四章
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
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基本思路
设 F (u ) f (u ) , 可导, 则有
dF [ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx F [ ( x)] C F (u ) C
例7. 求
e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
例8. 求 sec 6 xdx .
2 tan xd x 解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d sec
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
csc xdx ln csc x cot Biblioteka Baidu C
1 f (ln x) dx x
f (tan x)sec 2 xdx
dtan x
de
x
dln x
例6. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
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(直接配元)
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例4. 求 解:
sin x dcos x cos xdx cos x
类似
cos x dx d sin x sin x sin x
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例5. 求 解:
1 ( x a) ( x a) 1 1 1 1 ( ) 2 2 2a ( x a)( x a ) 2a x a x a x a
1 dx dx ∴ 原式 = 2a x a xa
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a
d(a x b)
dx
n
1 n d x xn
万 能 凑 幂 法
(4) (5)
f (sin x)cos xdx f (cos x)sin xdx
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dsin x dcos x
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(6) (7 )
(8)
x x f ( e )e dx
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
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dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 x x x d ( 1 e ) (1 e ) e dx d x x 1 ex 1 e x x ln(1 e ) C
f (u )du
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u ( x)
解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
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例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
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例3. 求
解:
a
dx
x)2 1 (a
x) d (a x )2 1 (a
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
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1 ln x a ln x a 2a
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1 xa C C ln 2a x a
常用的几种配元形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
注: 当
时
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例2. 求
解:
1 dx 2 x)2 a 1 (a x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C 2 a a 1 u
1 u2
想到公式 du
arctan u C
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求 解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
第四章
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
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基本思路
设 F (u ) f (u ) , 可导, 则有
dF [ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx F [ ( x)] C F (u ) C
例7. 求
e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
例8. 求 sec 6 xdx .
2 tan xd x 解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d sec
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
csc xdx ln csc x cot Biblioteka Baidu C
1 f (ln x) dx x
f (tan x)sec 2 xdx
dtan x
de
x
dln x
例6. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
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例4. 求 解:
sin x dcos x cos xdx cos x
类似
cos x dx d sin x sin x sin x
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例5. 求 解:
1 ( x a) ( x a) 1 1 1 1 ( ) 2 2 2a ( x a)( x a ) 2a x a x a x a
1 dx dx ∴ 原式 = 2a x a xa
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a
d(a x b)
dx
n
1 n d x xn
万 能 凑 幂 法
(4) (5)
f (sin x)cos xdx f (cos x)sin xdx
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dsin x dcos x
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(6) (7 )
(8)
x x f ( e )e dx
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
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dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 x x x d ( 1 e ) (1 e ) e dx d x x 1 ex 1 e x x ln(1 e ) C
f (u )du
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u ( x)
解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
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例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
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例3. 求
解:
a
dx
x)2 1 (a
x) d (a x )2 1 (a
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
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1 ln x a ln x a 2a
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1 xa C C ln 2a x a
常用的几种配元形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x