理论力学:第3章 力系的平衡

理论力学:第3章 力系的平衡
理论力学:第3章 力系的平衡

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第3章 力系的平衡 3.1 主要内容

空间任意力系平衡的必要和充分条件是:力系的主矢和对任一点的主矩等于零,即 0=R F 0=O M 空间力系平衡方程的基本形式 0,0,

0=∑=∑=∑z y x F F F 0)(,

0)(,

0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M

空间汇交力系平衡的必要和充分条件是:力系的合力 0=R F

空间汇交力系平衡方程的基本形式

0,0,0=∑=∑=∑z y x F F F

空间力偶系平衡的必要和充分条件是:各分力偶矩矢的矢量和 0=∑i M

空间力偶系平衡方程的基本形式 0)(,0)(,

0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M

平面力系平衡的必要和充分条件:力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零,即:

0=∑='F F R

;0)(=∑=F O O M M 平面力系的平衡方程有三种形式:

基本形式: 0)(,0,0=∑=∑=∑F M F F O y x

二矩式: 0)(,0)(,0=∑=∑=∑F M F M F B A x (A 、B 连线不能与x 轴垂直)

三矩式: 0)(,

0)(,

0=∑=∑=∑F M F M M C B A (A 、B 、C 三点不共线)

平面力系有三个独立的平衡方程,可解三个未知量。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零,即

0=∑=F F R 平衡的解析条件:各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零,即

0,0=∑=∑y x F F

两个独立的平衡方程,可解两个未知量。

平面力偶系平衡的必要和充分条件为:力偶系中各力偶矩的代数和等于零,即

∑=0

M

i

一个独立的平衡方程,可解一个未知量。

3.2 基本要求

1.熟练掌握力的投影,分布力系的简化、力对轴之矩等静力学基本运算。

2.能应用各种类型力系的平衡条件和平衡方程求解单个刚体和简单刚体系统的平衡问题。对平面一般力系的平衡问题,能熟练地选取分离体和应用各种形式的平衡方程求解。

3.正确理解静定和超静定的概念,并会判断具体问题的静定性。

3.3 重点讨论

主要研究单个刚体和刚体系统受平面力系而平衡的问题。

在研究系统的平衡问题时,首先应进行静定性的判断。刚体静力学,只研究静定的系统。

求解单个刚体平衡时,应选择合适的平衡方程的形式。对投影轴的取向及矩心和取矩轴的位置也要灵活选择,以便列一个平衡方程就能求出一个未知量。如列力矩方程时,把矩心选在一个未知力的作用线上或两个未知力的交点上;列投影方程时,选择投影轴与一个力或几个未知力垂直,则在方程中不会出现这些未知力,可使方程所含未知力数目减少。

求解刚体系统平衡时,原则上讲,可以将刚体系拆成单个刚体,对每一单个刚体列写平衡方程,再将所有平衡方程联立求解。如果刚体系是静定的,由所列方程能解出全部位置量。这种方法比较规范,但求解联立方程的计算量大,只适用于计算机求解,而且物理概念不清楚,也不适用于只求解某几个指定的未知量的情况。在理论力学学习阶段,应重视物理概念,并主要靠手工运算求解;因此,应灵活选取研究对象,灵活列写平衡方程,尽量做到列一个平衡方程就解出一个未知量。

求解力系平衡问题的方法和步骤。

1.选取研究对象;

2.分析研究对象受力,画受力图;

3.根据力系的类型列写平衡方程,选取适当的坐标轴和矩心,以使方程中未知量个数最少;

4.求未知量,分析和讨论计算结果。

2

3

分析物体系统平衡时,注意分清内力和外力,并注意灵活选择研究对象及平衡方程,以便简捷求解。如系统是由n 个受平面力系作用的物体组成,则独立的平衡方程个数为3 n 个。

求解刚体在空间力系作用下的平衡问题,其分析方法和解题步骤与平面问题基本相同。空间力系的平衡方程,除基本形式外,也有其它形式。投影方程可部分或全部由力矩方程代替。但所写的平衡方程必须都是彼此独立的。和平面问题不同的是,求解空间问题要有清楚的空间概念,明确力与坐标间的空间关系,熟练计算力在空间三个坐标轴上的投影和力对轴之矩。

3.4 例题分析

例3-1 刚架如图3-1(a)所示,在B 点受一水平力作用。设F =20 kN ,刚架的重量略去不计。求A 、D 处的约束力。

解:(1)根据题意,选刚架为研究对象。选择长度比例尺u l =2 m/cm ,画出刚架的轮廓图形。

(2)画受力图,刚架受水平主动力F 作用。D 点为可动支座,故约束力F R D 通过销钉中心D ,垂直于支承面,方向朝上。A 点为固定铰支座,约束力的方向未定。由于刚架在三个力作用下处于平衡,而力F 与F R D 交于C ,所以力F R A 必沿AC 连线的方向。受力图如图3-1(b)所示。

图3-1

(3)作力多边形,求未知量,选择力比例尺 F =5 kN/cm 作封闭的力三角形,如图3-1(c)所示。量得:F R A =22.4 kN ,F R D =10 kN

F

F R D

F R A

F

F F R D

F R A

4 两约束力的指向由力三角形闭合的条件确定如图3-1(c)所示。

或根据三角形关系计算得到:

F R A kN 4.2225205

2cos =?===F

F

α,

F R D = F R A kN 105

1

4.22sin =?=α

通过以上例题,可以看出,用几何法解题具有直观、简便、一目了然的优点。 用解析法求解 解:

(1)选刚架为研究对象。

(2)画受力图,约束力F R A 的指向假设如图3-1(b) 所示。 (3)列平衡方程,选坐标轴如图所示。有:

0=∑x F ,0548

R =?

+A F F (a)

0=∑y F ,05

44

R R =?+A D

F F (b)

(4)求未知量,由式(a)得

kN 4.222

5

R -=-=

F F A F R A 得负值,表示假设的指向与实际指向相反。

由式(b)得

F R D = - F R A 5

1?

5

例3-2 塔式起重机如图3-2所示。机架重

kN 7001=P ,作用线通过塔架的中心。最大起重

量kN 2002=P ,最大悬臂长为12m ,轨道AB 的间距为4m 。平衡重3P 到机身中心线距离为6m 。

(1)保证起重机在满载和空载时都不致翻到,平衡重3P 应为多少?

(2)当平衡重kN 1803=P 时,求满载时轨道A 、B 的约束力。

解:(1)起重机受力如图。满载时,在起重机即将绕B 点翻倒的临界情况,有0=A F 。由此可求出平衡重3P 的最小值。 0)(=∑F B M

021*******=--++)(P P )(P min

752108

1

123=-=)P P (P min kN

空载时,载荷02=P 。在起重机即将绕A 点翻倒的临界情况,有0=B F 。由此可求出

P 3的最大值。

0)(=∑F A M

022613=--P )(P max

3504

21

3==

P P max kN 实际工作时,起重机不致翻到的平衡重取值范围为 kN 350P kN 753<<

(2)当kN 1803=P 时,由平面平行力系的平衡方程 0)(=∑F A M

04)212(2)26(213=?++-?--B F P P P 0=∑y F

0213=++---B A F F P P P 解得

8704

42143

12=-+=

P P P F B kN , 210=A F kN 。

物系在力系作用下处于平衡状态,这意味着系统整体、部分物体的组合及每个物体都处于平衡状态。对于n 个物体组成的系统,若系统是静定的,

受平面任意力系作用的每个物体

图3-2

可列写三个独立方程,求解出3n个未知量。虽然需要求解联立方程,但是在理论上和技术上已不存在困难。现在的问题是如何使过程最简捷,这需要恰当地选取研究对象,熟练地进行力的分析,并有一定的技巧性。

对于平衡的物系,可提供选取的研究对象大于n个,因而不必拘泥于以每个物体为研究对象。这样,解题的原则是选取恰当的研究对象求出一些未知量。显然,以建立的平衡方程只包含一个未知量为最佳,即尽量做到列一个平衡方程就能解出一个未知量。之后再选取另外的研究对象求出有关未知量,连续求解,直至求得全部的未知量。所以在解题之前要先制定出解题步骤。此外,在求解过程中应注意以下几点:

1.首先判断物体系统是否属于静定问题

2.恰当地选择研究对象

在一般情况下,首先以系统的整体为研究对象,这样则不出现未知的内力,易于解出未知量。当不能求出未知量时应立即选取单个物体或部分物体的组合为研究对象,一般应先选受力简单而作用有已知力的物体为研究对象,求出部分未知量后,再研究其它物体。

3.受力分析

(1)首先从二力构件入手,可使受力图比较简单,有利于解题。

(2)解除约束时,要严格地按照约束的性质,画出相应的约束力,切忌凭主观想象画力。对于一个销钉连接三个或三个以上物体时,要明确所选对象中是否包括该销钉?解除了哪些约束?然后正确画出相应的约束力。

(3)画受力图时,关键在于正确画出铰链反力,除二力构件外,通常用两个相互垂直的分量表示铰链的约束力。

(4)不画研究对象的内力。

(5)两物体间的相互作用力应该符合作用与反作用定律,即作用力与反作用力必定等值,反向和共线。

4.列平衡方程,求未知量

(1)列出恰当的平衡方程,尽量避免在方程中出现不需要求的未知量。为此可恰当地运用力矩方程,适当选择两个未知力的交点为矩心,所选的坐标轴应与较多的未知力垂直。

(2)判断清楚每个研究对象所受的力系及其独立方程的个数及物体系独立平衡方程的总数,避免列出不独立的平衡方程。

(3)解题时应从未知力最少的方程入手,尽量避免联立解。

(4)校核。求出全部所需的未知量后,可再列一个不重复的平衡方程,将计算结果代入,若满足方程,则计算无误。

6

7

例3-3图示刚架自重不计。已知:kN/m 2=q ,m kN 210?=M ,m 2=L ,C 、D 为光滑铰链。试求:支座A 、B 的约束力。

解:

AC 为二力杆,受力如图(a ) (1)取CD 杆为研究对象,受力如图(b ) ()

=0F M C

045sin 20

=??+-L F M D ,

kN 5=D F

∑=0x

F

045sin 45sin 00='+-AD

D F F D AD

F F =' kN 5='AC F kN 5=''AC F (2)取BD 杆为研究对象,受力如图(c )

∑=0x F , 045cos 0

=-?'Bx D F F , /2kN 25=Bx

F

0=∑y F , 045sin 0

=+-?'By Q D F F F , kN 46.8=By

F

()∑=0F M B

,05.123=+?+??'-B Q D M L F L F ,m 2kN 4.6?=B

M

图3-3

图3-3

8 例3-4图式构架ABC 由AB ,BC ,DF 组成,杆DF 上的销子E ,可在杆BC 的光滑槽内滑动,在杆DH 上作用一力偶,其矩为M ,A 为固定端,C 为可动铰支座。试求A 、C 的约束力。

解:取DH 为研究对象

()

0=∑F M D

045sin 0=-?M a F E

()

045sin /a M F E =

取BC 为研究对象

()

0=∑F M B 022=?'-?a F a F E C

a M F C /=

∑=0y

F

0cos cos =-+P DE AE F F F αα

取整体为研究对象

∑=0x F , 0=-C Ax

F F a M F Ax /=

∑=0y F , 0=Ay F

()0=∑F M A

, 02=-?+M a F M

C A M M A -=

图3-4

图3-4

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例3-5简单构架如图,已知:r=1m ,绳EK 水平,F P =4kN ,L=4m ,不计直杆及滑轮的重量。求铰链B 的约束力和圆柱销钉C 作用于CA 杆的力。

(a) (b) (c)

图3-5

解:取整体为研究对象

()0=∑F M A

()

045sin 45cos 020=+?-?L r F L F P B

kN 24.4=B F

∑=0x F , 045sin 0=-B Ax F F , kN 3=Ax F

∑=0y F , 045cos 0=+-B P Ay F F F ,kN 1=Ay F

取AC 杆为研究对象

∑=0y

F , 0=-Ay Cy F F , Ay Cy F F =

∑=0x

F

, 0=+-Ax P Cx F F F ,kN 1=Cx F

例3-6正方形板ABCD 由六根直杆支撑于水平位置,若在A 点沿AD 作用水平力F ,尺寸如图3-6所示,不计板重和杆重,试求各杆的内力。

(a) (b)

图3-6

解:取板为研究对象。设各杆均为拉杆,板的受力如图3-6(b )所示。现应用六个力矩方程求解。

F

F

10 0)('=∑F BB M , 045cos 2=?+a F Fa

0)('=∑F CC M , 045cos 5=?-a F Fa

0)('=∑F DD M , 045cos 45cos 54=?-?a F a F 0)(=∑F AD M , 045cos 34=+?a F a F

0)(=∑F CD M , 045cos 65=+?a F a F

0)(''=∑F C B M , 016=+a F a F

各杆内力为

F F =1 (拉),F F 22-= (压),F F -=3 (压), F F 24=

(拉),F F 25= (拉),F F -=6 (压)。

第三章 平面一般力系

第三章平面一般力系 教学目的及要求 1.掌握平面任意力系向一点简化的方法,会应用解析法求主矢和主矩,熟知平面任意力系简化的结果。 2.深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3.能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系统的平衡问题。 4.正确理解静定与静不定的概念,会判断物体系统是否静定。 5.理解简单桁架的简化假设,掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。 §3-1 平面一般力系向作用面内一点简化 教学重点:1.平面一般力系如何向作用面内一点简化 2. 主矢与主矩的概念 教学难点:对力的平移定理的理解和应用 教学内容: 首先对什么是平面一般力系进行分析。对于平面一般力系如何向其作用面内一点简化,从而引出力的平移定理。 1.力的平移定理 作用在刚体上的力可以向任意点平移,但必须附加一力偶,附加力偶的力偶矩等于原来的力对平移点(新作用点)的矩,它是一般力系向上点简化的依据。2.基本概念 1) 合力矢:汇交力系一般地合成为一合力,合力的作用线通过汇交点,合力矢等于力系的主矢。 2)主矢:平面力系各力的矢量和,即 3.应用力的的平移定理将平面一般力系向作用面内一点简化 用图形来进行讲解力系向一点简化的方法和结果。最终平面一般力系向一点简化可以得到两个简单的力系:平面汇交力系和平面力偶系。应用前两章学过的内容,这两个简单的力系还可以进一步简化成一个主矢和对简化中心的主矩。 结论:平面一般力系向作用面内任选一点O简化,可得到一个力和一个力偶,这个力等于该力系的主矢,作用线通过简化中心O,这个力偶的矩等于该力

系对于点O的主矩。 注意:主矢与简化中心无关;而主矩与简化中心有关,必须指明对于哪一点的主矩。 4.固定端约束 它是平面一般力系向作用面内一点简化的一个典型应用。可以将固定端支座的约束反力向作用平面内点A简化得到一个力和一力偶,这个力用两个未知分力来代替。 它限制了物体在平面内的转动,所以比铰支座多了一个给反力偶。 §3-2 平面一般力系简化结果与分析 教学重点:平面一般力系向作用面内一点简化的结果 教学难点:将一个力系向指定点简化的具体应用。 教学内容: 1.平面力系的简化步骤如下: 1)选取简化中心O:题目指定点或自选点(一般选在多个力交点上) 2) 建立直角坐标系Oxy 3) 求主矢 4) 求主矩:逆正顺负,画在图中 5) 简化结果讨论 2.平面力系的简化结果 一个力系的主矢与简化中心的选取无关;一般情况下,主矩与简化中心的选取有关。 平面一般力系向作用面内一点简化结果,有四种情况: 1) 简化为一个力偶的情形: 力系的主矢等于零,而力系对于简化中心的主矩不等于零。即: F R′=0,M o≠0 2) 简化为一合力的情形 力系向点O简化的结果为主矩等于零,主矢不等于零。即: F R′≠0,M o=0 3)若F R′≠0,M o≠0 平面力系与一力偶等效,此力偶为平面力系的合力偶,其力偶矩用主矩M o 度量,这时主矩与简化中心的选择无关。 原力系合成为作用点为O′的力F R,合力作用线在点O的哪一侧,由主矢和

平面一般力系的平衡 作业及答案

平面一般力系的平衡 一、 判断题: 1.下图是由平面汇交力系作出的力四边形,这四个力构成力多边形封闭,该力系一定平衡。( ) 图 1 2.图示三个不为零的力交于一点,则力系一定平衡。( ) 图 2 3.如图3所示圆轮在力F和矩为m的力偶作用下保持平衡,说明力可与一个力偶平衡。( ) 4.图4所示力偶在x轴上的投影ΣX=0,如将x轴任转一角度 轴,那么Σ =0。( ) 图 3 图 4

5.如图5所示力偶对a的力矩Ma(F,F')=F·d,如将a任意移到b,则力矩Mb(F,F')将发生变化。( ) 图 5 图 6 6.图6所示物体的A、B、C、D四点各有一力作用,四个力作出的力多边形闭合,则此物体处于平衡状态。( ) 7.如果两个力偶的力偶矩大小相等,则此两个力偶等效。( ) 8.图示构件A点受一点力作用,若将此力平移到B点,试判断其作用效果是否相同( ) 图 7 图 8 9.图8所示梁,若求支反力 时,用平面一般力系的平衡方程不能全部求出。 ( ) 10.图9所示物体接触面间静摩擦系数是f,要使物体向右滑动。试判断哪种施力方法省力。( ) 图 9 图 10 11.力在坐标轴上的投影和该力在该轴上分力是相同的。( )

12.如果将图10所示力F由A点等效地平移到B点,其附加力矩M =Fa ( )。 13.平面任意力系,其独立的二力矩式平衡方程为 ∑Fx=0, ∑M A =0, ∑M B=0,但要求矩心A、B的连线不能与x轴垂直。( ) 二、选择题 1.同一个力在两个互相平行的同向坐标轴上的投影( )。 A.大小相等,符号不同 B.大小不等,符号不同 C.大小相等,符号相同 D.大小不等,符号相同 2.图11所示圆轮由O点支承,在重力P和力偶矩m作用下处于平衡。这说明( )。 图 11 A. 支反力R0与P平衡 B. m与P平衡 C. m简化为力与P平衡 D. R0与P组成力偶,其m(R0,P)=-P·r与m平衡 3. 图12所示三铰刚架,在D角处受一力偶矩为m的力偶作用, 如将该力力偶移到E角出,支座A、B的支反力 ( )。 图12 A.A、B处都变化 B.A、B处都不变 C.A处变,B处不变

3-第三章力系的简化和平衡解读

第三章 力系的简化和平衡 引言 力系分为:空间一般力系(空间汇交系、空间平行力系)和平面一般力系(平面汇交力系、平面平行力系)。 研究物体受力情况→作用在物体上的一组复杂力系→简化及合成→平衡条件研究。 §3.1 力线平移定理 力线的平移定理:作用在刚体上O 点的力F 可平移到任意O '点,但必须附加上一个相应的力偶(称附加力偶),这个附加力偶矩失等于原来的力F 对新作用点O '和矩。且 ()d F F M M O ?==' (d 是力偶臂) 力线平移定理不仅是力系简化的依据,也是分析力所物体效应的一个重要方法。注:力线平移定理只能适应于静定刚体 证明:如F 图所示 a. 力F 作用于刚体上O 点; b. 在刚上'O 处加上一对平衡力(F F ''',),且F F F ''-='=。根据加减平衡力系原理:(F F F ''',,)中(F F '',)等值反向不共线,是一对力偶, 这个力偶称为附加力偶。附加力偶距失()F M d F M O '=?= b a

§3.2 力系的简化、主矢与主矩 一、力系的简化 在工程中,最常见的力系是不同一平面内,不完全相交,也不完全平行的空间的一般力系。在对作用于物体的力系的研究过程当中,首先将力系向任意一点进行简化。 如图所示:空间力系(1F ,2F ,…n F ),O 点为任取的简化中心 1) 根据力线平移定理,将力系中各力1F ,2F ,…m F 平移到O 点→作用于O 点的空间汇力系(1'F ,2'F ,…n F ')及附加力偶系(1M ,2M ,…n M ) 11'F F =,22'F F =,… n n F F '= ()11F M M O = ()22F M M O = … ()n O n F M M = 2) 将以上两个力系分别合成 F F F F F F F R n n ∑=+++=+++=' 2121 n O M M M M +++= 21 ()()()()i O n O O O F M F M F M F M ∑=+++= 21 R ':原力系主矢,是空间一般力系中各力的矢量和,与简化中心无关。 O M :原力系的主矩,空间力系中各力对简化中心O 点的矩的矢量和。O M 与简化 中心有关。 总结: y M y ) M O

《理论力学》第三章 力系的平衡习题解

《理论力学》第三章力系的平衡习题解

C 45α α O R C R P F 2 l B l C A A R 'C R 第三章 力系的平衡习题解 [习题3-1] 三铰拱受铅直力F 作用,如拱的重量不计,求A 、B 处支座反力。 [解]: (1)画受力图如图所示。 (2)因为BC 平衡,所以 ①0 =∑ix F sin 45cos 0=-αB C R R 10 14492sin 2 2 = += l l l α 10 34 4923cos 2 2 = +=l l l α ? ?= =B B C R R R 5 1sin 2α ②0 =∑iy F cos 45sin 0=-+P B C F R R α P B C F R R =+10321 P B B F R R =+ 10 32 15 1

F W A R θ A B C O P P B F F R 79.04 10 == P P C F F R 35.079.05 1=?= (3)由AC 的平衡可知:P P C A F F R R 35.079.05 1'=?= = [习题3-2] 弧形闸门自重W =150kN,试求提起闸门所需的拉力F 和铰支座处的反力。 解: )(=∑i A F M 6860sin 260cos 00=?+?-?-W F F 061508866.0=?+?--F F 900 928.7=F ) (522.113kN F =

F B R T A R C F T B R 0 =∑ix F 60cos 0=-Ax R F ) (761.565.0522.113kN R Ax =?= (←) =∑iy F 60sin 0=-+W R F Ay ) (690.51866.0522.11315060sin 0kN F W R Ax =?-=-= (↑) ) (77.7669.51761.5622kN R A =+= 323.42761 .5669 .51arctan ==θ [习题3-3] 已知F =10kN,杆AC 、BC 及滑轮重均不计,试用作图法求杆AC 、BC 对轮的约束力。

ll第三章 平面力系教学提纲

第三章 平面力系 一、填空题 1.力F 作用线向O 点平移时,为不改变它对刚体的作用效果,这时应该 附加一力偶,该力偶的矩等于力F 对O 点的矩。 2.平面任意力系向其作用平面内不同两点简化,所得主矢的关系是相同,所得主矩的关系是力系对新简化中心的主矩等于原力系对原简化中心的主矩加上作用于原简化中心的主矢对新简化中心的矩。 3.平面任意力系平衡方程的二矩式应满足的附加条件是两矩心的连线不垂直于投影轴。 二、选择题 1.一平面任意力系向点A 简化后,得到如图3.1所示的主矢和主矩,则该力系的最后合成结果应是(A ) (A ) 作用在点A 左边的一个合力 (B ) 作用在点A 右边的一个合力 (C ) 作用在点A 的一个合力 (D ) 一个合力偶 2.在刚体同一平面内A ,B ,C 三点上分别作用1F ,2F ,3F 三个力,并构成封闭三角形,如图3.2所示,此力系是属于什么情况(C ) (A ) 力系平衡 (B ) 力系简化为合力 (C ) 力系可简化为合力偶 (D ) 无法判断 3.均质杆长为l ,重为W ,在D 处用一绳将杆吊于光滑槽内,则槽壁在A ,B 处对杆产生的反力A F ,B F 有关系(D ) (A ) A B F F > (B ) A B F F < (C ) 0A B F F == (D ) 0A B F F =≠ 三、计算题 1.试求图3.4中力P 对点O 的矩,已知60a cm =,20b cm =,3r cm =,400P N =。 解:(a )()4000.6240O M Pa N m ==?=?P (b )o 1 ()sin304000.61202 O M P a N m =-?=-??=-?P 图3.2 图3.1 图 3.3

理论力学 陈立群 第3章 平衡问题 解答

第三章平衡问题:矢量方法习题解答 3-1讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的,若是静不定的试确定其静不定的次数。 题3.1图 解:(1)以AB杆为对象,A为固定端约束,约束力有3个。如果DC杆是二力杆,则铰C处有1个约束力,这4个力组成平面一般力系,独立平衡方程有3个,所以是1次静不定;如果DC杆不是二力杆,则铰C和D处各有2个约束力,系统共有7个约束力,AB 杆和DC杆上的约束力各组成平面一般力系,独立平衡方程共有6个,所以,是1次静不定。 (2)AD梁上,固定铰链A处有2个约束力,辊轴铰链B、C和D各有1个约束力,共有5个约束力,这5个约束力组成平面一般力系,可以列出3个独立的平衡方程。所以,AD梁是2次静不定。 (3)曲梁AB两端都是固定端约束,各有3个共6个约束力组成平面一般力系,而独立的平衡方程只有3个。所以是3次静不定。 (4)刚架在A、B和C处都是固定端约束,各有3个共9个约束力组成平面一般力系,而独立的平衡方程只有3个。所以是6次静不定。 (5)平面桁架在A处为固定铰链,B处为辊轴铰链,共有3约束力组成平面一般力系,而独立的平衡方程也有3个,因此,该平面桁架的外力是静定的。 平面桁架由21根杆组成,所以有21个未知轴力,加上3个支座反力,共有24个未知量。21根杆由10个铰链连接,每个铰链受到平面汇交力系作用。若以铰链为研究对象,可以列出2×10=20个平衡方程。所以,此平面桁架的内力是24-20=4次静不定。 (6)整体在A处为固定铰链,B处为辊轴铰链,共有3约束力组成平面一般力系,而独立的平衡方程也有3个,因此,该系统的外力是静定的。 除了3个约束外力外,3根杆的轴力也是未知的,共有6个未知量。AB梁可以列出3个平衡方程,连接3根杆的铰链可以列出2个平衡方程,共有5个方程,所以,该系统的内力是1次静不定。 3-2炼钢炉的送料机由跑车A与可移动的桥B组成,如图示。跑车可沿桥上的轨道运动,两轮间距离为2米,跑车与操作架、手臂OC以及料斗相连,料斗每次装载物料重W=15kN,平臂长OC=5m。设跑车A、操作架和所有附件总重量为P,作用于操作架的轴线。试问P至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒?

理论力学第三章空间力系习题解答

习 题 3-1 在边长为a 的正六面体上作用有三个力,如图3-26所示,已知:F 1=6kN ,F 2=2kN ,F 3=4kN 。试求各力在三个坐标轴上的投影。 图3-26 kN 60 1111====F F F F z y x 0kN 245cos kN 245cos 2222== ?=-=?-=z y x F F F F F kN 3 3 433kN 3 3 433kN 3 34333 33 33 3==-=-===F F F F F F z y x 3-2 如图3-27所示,已知六面体尺寸为400 mm ×300 mm ×300mm ,正面有力F 1=100N ,中间有力F 2=200N ,顶面有力偶M =20N ·m 作用。试求各力及力偶对z 轴之矩的和。 图3-27 203.034 44.045cos 2 1-?+??-=∑F F M z m N 125.72034 240220?-=-+ -= 3-3如图3-28所示,水平轮上A 点作用一力F =1kN ,方向与轮面成a=60°的角,且在过A 点与轮缘相切的铅垂面内,而点A 与轮心O '的连线与通过O '点平行于y 轴的直线成b=45°角, h =r=1m 。试求力F 在三个坐标轴上的投影和对三个坐标轴之矩。 图3-28 N 354N 225045sin 60cos 1000sin cos ==????==βαF F x N 354N 225045sin 60cos 1000cos cos -=-=????-=-=βαF F y

N 866350060sin 1000sin -=-=??-=-=αF F z m N 25845cos 18661354cos ||||)(?-=???-?=?-?=βr F h F M z y x F m N 96645sin 18661354sin ||||)(?=???+?=?+?=βr F h F M z x y F m N 500160cos 1000cos )(?-=???-=?-=r F M z αF 3-4 曲拐手柄如图3-29所示,已知作用于手柄上的力 F =100N ,AB =100mm ,BC =400mm ,CD =200mm ,a=30°。试求力F 对 x 、y 、z 轴之矩。 图3-29 N 2530sin 100sin sin 2=??==ααF F x N 3.43N 32530cos 30sin 100cos sin -=-=????-=-=ααF F y N 6.8635030cos 10030cos -=-=??-=?-=F F z 3 .03504.0325)(||||)(?-?-=+?-?-=CD AB F BC F M z y x F m N 3.43325?-=-= m N 104.025||)(?-=?-=?-=BC F M x y F m N 5.73.025)(||)(?-=?-=+?-=CD AB F M x z F 3-5 长方体的顶角A 和B 分别作用力F 1和F 2,如图3-30所示,已知:F 1=500N ,F 2=700N 。试求该力系向O 点简化的主矢和主矩。 图3-30 N 4.82114100520014 25 221R -=--=? -?-='F F F x N 2.561141501432R -=-=?-='F F y N 7.4101450510014 15 1 21R =+=? +?='F F F z N 3.10767.410)2.561()4.821(222R =+-+-='F

九、平面一般力系平衡方程的其他形式

第九讲内容 一、平面一般力系平衡方程的其他形式 前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式,除了这种形式外,还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式。 1.二力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任取两点A 、B 及X 轴,如图4-13所示,可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式,即 ?? ? ?? =∑=∑=∑000B A M M X (4-6) 式中X 轴不与A 、B 两点的连线垂直。 证明:首先将平面一般力系向A 点简化,一般可得到过A 点的一个力和一个力偶。若0A =M 成立,则力系只能简化为通过A 点的合力R 或成平衡状态。如果0B =∑M 又成立,说明R 必通过B 。可见合力R 的作用线必为AB 连线。又因0=∑X 成立,则0X =∑=X R ,即合力R 在X 轴上的投影为零,因AB 连线不垂直X 轴,合力R 亦不垂直于X 轴,由0X =R 可推得 0=R 。可见满足方程(4-6)的平面一般力系,若将其向A 点简化,其主 矩和主矢都等于零,从而力系必为平衡力系。 2.三力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点A 、B 、C ,如图4-14所示,则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式,即

?? ? ?? =∑=∑=∑000C B A M M M (4-7) 式中,A 、B 、C 三点不在同一直线上。 同上面讨论一样,若0A =∑M 和0B =∑M 成立,则力系合成结果只能是通过A 、B 两点的一个力(图4-14)或者平衡。如果0C =∑M 也成立,则合力必然通过C 点,而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点,除非合力为零,0C =∑M 才能成立。因此,力系必然是平衡力系。 综上所述,平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程,即式(4-5)、 式(4-6)、式(4-7),在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。无论采用哪种形式,都只能写出三个独立的平衡方程,求解三个未知数。任何第四个方程都不是独立的,但可以利用这个方程来校核计算的结果。 【例4-7】 某屋架如图4-15(a )所示,设左屋架及盖瓦共重 kN 31=P ,右屋架受到风力及荷载作用,其合力kN 72=P ,2P 与BC 夹角 为?80,试求A 、B 支座的反力。 【解】 取整个屋架为研究对象,画其受力图,并选取坐标轴X 轴和Y 轴,如图4-15(b )所示,列出三个平衡方程 kN 39.2342.0770cos 0 70cos 02A 2A =?=?==?-=∑P X P X X 30tan 470cos 1270sin 416 0221B A =????+??-?-?=∑P P P Y M

平面一般力系的平衡方程

....................... 装.............订.......... 线 ..................... .

分配记 20 ∑Fy=0 ∑MO(F)=0 不难看出,平面平行力系的二矩式平衡方程为 ∑MA(F) =0 ∑MB(F) =0 其中A、B两点的连线不能与各力平行。 平面平行力系只有两个独立的方程,因而最多能解出两个未知量。 三.应用平面一般力系平衡方程的解题步骤如下: (1) 根据题意,选取适当的研究对象。 (2) 受力分析并画受力图。 (3) 选取坐标轴。坐标轴应与较多的未知反力平行或垂直。 (4) 列平衡方程,求解未知量。列力矩方程时,通常选未知力较多的交点为矩心。 (5) 校核结果。 应当注意:若由平衡方程解出的未知量为负,说明受力图上原假定的该未知量的方向与其实际方向相反。而不要去改动受力图中原假设的方向。 例4-2 已知F=15kN,M=3kN.m,求A、B处支座反力。 解(1) 画受力图,并建坐标系 (2) 列方程求解 图4-8

分配记 20例4-3 如图3-9所示外伸梁上作用有集中力FC=20kN,力偶矩M=10kN.m ,载荷集度为q=10kN/m的均布载荷。求支座A、B处的反力。 图4-9 解取水平梁AB为研究对象, 画受力图如图4-9(b)所示。 列平衡方程并求解

分配记 结果均为正,说明图示方向与实际方向一致。 例3-4 塔式起重机如图4-10所示。设机架自重为G,重心在C点,与右轨 距离为e,载重W,吊臂最远端距右轨为l,平衡锤重Q,离左轨的距离为a, 轨距为b。试求塔式起重机在满载和空载时都不致翻倒的平衡锤重量的范围。 图4-10 解取塔式起重机为研究对象,作用在起重机上的力有重物W、机架重G、 平衡锤的重力Q及钢轨的约束反力NA和NB,这些力构成了平面平行力系,起 重机在该平面平行力系作用下平衡。 (1)满载时W=Wmax,Q=Qmin,机架可能绕B点右翻,在临界平衡状 态,A处悬空,NA=0,受力图如图3-10b所示。则

第三章 力系简化的基础知识演示教学

第三章 力系简化的基础知识 作用在物体上的一组力称为力系。 如果某力与一力系等效,则此力称为该力系的合力。 本章将介绍力学中的几个重要基本概念:力对点的矩;力偶和力偶矩;力的等效平移等。这些概念不但是研究力系简化的基础知识,而且在工程问题中得到广泛应用。 § 3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件 力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点,这样的力系称为平面汇交力系。在工程中经常遇到。例如在施工中起重机的吊钩所受各力就构成一个平面汇交力系,如图3-1(a )、(b )所示。 图3-1 一、两汇交力的合成 二、平面汇交力系的合成 1.平面汇交力系合成的几何法 如图)(33a -示,可以先将力系中的二个力按力的平行四边形法则合成,用所得的合力再与第三个力合成。如此连续地应用力的平行四边形法则,即可求得平面汇交力系的合力,具体作法如下: 任取一点a ,作矢量1__F ab =,过b 点作矢量2__F bc =,由力的三角形法则,矢量21__1F F ac R +==,即为力1F 和2F 的合力矢量。再过c 点作矢量3___F cd =,矢量32131__2F F F F R ad R ++=+==,即为力21F F 、和3F 的合力矢量。最后,过d 点作矢量4__F de =,则矢量432142F F F F F R R +++=+= ,即为力系中各力矢量的合矢量。 图3-3 上述过程示于图)(33b -。可以看出,将力系中的各力矢量首尾相连构成开口的力多边形abcde ,然后,由第一个力矢量的起点向最后一个力矢量的末端,引一矢量R 将力多边形封闭,力多边形的封闭边矢量R 即等于力系的合力矢量。这种通过几何作图求合力矢量

第三章平面力系平衡方程应用

第三章平面力系平衡方程的应用 第1节物体系统的平衡问题 一、外力、内力的概念 (1)外力。系统外任何物体作用于该系统的力称为这个系统的外力。 (2)内力。所研究的系统内部各物体间相互作用的力称为内力,内力总是成对地作用于同一系统上。因此,当取系统为研究对象时,不必考虑这些内力。 二、静定与静不定概念 (1)静定系统。系统中所有未知量的总数小于或等于系统独立的平衡方程的总数时,称这系统为静定系统。这类系统仅应用刚体的静力平衡条件,就可以求得全部未知量的解。 (2)静不定系统。系统中所有未知量的总数大于系统独立的平衡方程的总数时,称这系统为静不定系统或超静定系统。这类问题仅应用刚体的静力平衡条件,不能求得全部未知量的解。 三、物体系统的平衡问题 常见的物体系统的平衡问题有三类,即构架;多跨静定梁;三铰拱。 这三类问题都有其相应的求解特点,在求解过程中能总结归纳。在求解这三类问题时通常要注意以下情况,如固定端约束、铰上受力、分布荷载计算、二力构件等。 例1 图3-1-1-1所示结构由AB、CD、DE三个杆件铰结组成。已知a=2m,q=500N/m,F =2000N。求铰链B的约束反力。 图3-1-1-1 解: 取整体为研究对象,其受力如图3-1-1-2所示。

图3-1-1-2 列平衡方程,有 ∑ F y =0, F Ay ?F?qa=0 得 F Ay =300N ∑ M C (F)=0,?3a F Ay ?a F Ax +aF+×qa=0 得 F Ax =?5500N 分析AEB杆,受力图如图3-1-1-3所示。 图3-1-1-3 ∑ F x =0, F Ax + F Bx =0 故 F Bx =? F Ax =5500N ∑ M E ( F → )=0, F By a+ F Bx a+ F Bx a? F Ay a=0 则得 F By = F Ay ? F Bx =?2500N 例2 求图3-1-1-4所示多跨静定梁的支座反力。梁重及摩擦均不计。

第三章 力系的平衡

第三章 力系的平衡 力系的平衡条件及其应用是刚体静力学研究的重点内容,在工程实践中有广泛的应用。本章首先介绍各种力系的平衡方程,然后应用平衡方程研究物体及物体系统的平衡问题。 3.1 力系的平衡方程 ● 空间力系的平衡方程 根据1.4中力系的简化结果分析,空间任意力系n F F F ,,21平衡的充分必要条件是:力系的主矢和对于任意简化点的主矩均等于零矢量。即 01 =∑=n i i F ,0)(1 =∑=n i i O F M (3–1) 以任意简化中心为原点建立直角坐标系Oxyz ,并将以上二式分别投影到各个坐标轴上,得到空间任意力系平衡条件的解析表达式。 )(0 )(0 )(0 1 1 1111======∑∑∑∑∑∑======n i i z n i i y n i i x n i ix n i ix n i ix F M F M F M F F F (3–2) 式(3–2)称为空间任意力系的平衡方程。一般情况下共有6个独立方程。对于空间特殊力系,式(3–2)中的某些方程将变成恒等式,独立方程的个数相应减少。 例3–1:如图3–1(a),镗刀杆在根部被夹具固定,刀头在镗削工件时受到切向力z P 、径向力y P 和轴向力x P 作用,其 大小分别为N 5000 、N 1500和N 750,方向如图。刀尖B 位于Axy 平面内。试求刀杆根部约 束力的各个分量(图中 尺寸单位为mm )。 解:如图3–1建立坐标系。夹具对镗刀杆构成空间固定端约束,镗刀杆受力如图3–1(b)所示。现在镗刀杆受空间任意力系作用,根据平衡方程(3–2),故有 00=-=∑x Ax x P N F 00=-=∑y Ay y P N F (a) (b) 图3–1 例3–1图

理论力学:第3章 力系的平衡

1 第3章 力系的平衡 3.1 主要内容 空间任意力系平衡的必要和充分条件是:力系的主矢和对任一点的主矩等于零,即 0=R F 0=O M 空间力系平衡方程的基本形式 0,0, 0=∑=∑=∑z y x F F F 0)(, 0)(, 0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M 空间汇交力系平衡的必要和充分条件是:力系的合力 0=R F 空间汇交力系平衡方程的基本形式 0,0,0=∑=∑=∑z y x F F F 空间力偶系平衡的必要和充分条件是:各分力偶矩矢的矢量和 0=∑i M 空间力偶系平衡方程的基本形式 0)(,0)(, 0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M 平面力系平衡的必要和充分条件:力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零,即: 0=∑='F F R ;0)(=∑=F O O M M 平面力系的平衡方程有三种形式: 基本形式: 0)(,0,0=∑=∑=∑F M F F O y x 二矩式: 0)(,0)(,0=∑=∑=∑F M F M F B A x (A 、B 连线不能与x 轴垂直) 三矩式: 0)(, 0)(, 0=∑=∑=∑F M F M M C B A (A 、B 、C 三点不共线) 平面力系有三个独立的平衡方程,可解三个未知量。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零,即 0=∑=F F R 平衡的解析条件:各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零,即 0,0=∑=∑y x F F

两个独立的平衡方程,可解两个未知量。 平面力偶系平衡的必要和充分条件为:力偶系中各力偶矩的代数和等于零,即 ∑=0 M i 一个独立的平衡方程,可解一个未知量。 3.2 基本要求 1.熟练掌握力的投影,分布力系的简化、力对轴之矩等静力学基本运算。 2.能应用各种类型力系的平衡条件和平衡方程求解单个刚体和简单刚体系统的平衡问题。对平面一般力系的平衡问题,能熟练地选取分离体和应用各种形式的平衡方程求解。 3.正确理解静定和超静定的概念,并会判断具体问题的静定性。 3.3 重点讨论 主要研究单个刚体和刚体系统受平面力系而平衡的问题。 在研究系统的平衡问题时,首先应进行静定性的判断。刚体静力学,只研究静定的系统。 求解单个刚体平衡时,应选择合适的平衡方程的形式。对投影轴的取向及矩心和取矩轴的位置也要灵活选择,以便列一个平衡方程就能求出一个未知量。如列力矩方程时,把矩心选在一个未知力的作用线上或两个未知力的交点上;列投影方程时,选择投影轴与一个力或几个未知力垂直,则在方程中不会出现这些未知力,可使方程所含未知力数目减少。 求解刚体系统平衡时,原则上讲,可以将刚体系拆成单个刚体,对每一单个刚体列写平衡方程,再将所有平衡方程联立求解。如果刚体系是静定的,由所列方程能解出全部位置量。这种方法比较规范,但求解联立方程的计算量大,只适用于计算机求解,而且物理概念不清楚,也不适用于只求解某几个指定的未知量的情况。在理论力学学习阶段,应重视物理概念,并主要靠手工运算求解;因此,应灵活选取研究对象,灵活列写平衡方程,尽量做到列一个平衡方程就解出一个未知量。 求解力系平衡问题的方法和步骤。 1.选取研究对象; 2.分析研究对象受力,画受力图; 3.根据力系的类型列写平衡方程,选取适当的坐标轴和矩心,以使方程中未知量个数最少; 4.求未知量,分析和讨论计算结果。 2

平面力系合成与平衡习题0

平面力系合成与平衡习题 1、判断题: (1)无论平面汇交力系所含汇交力的数目是多小,都可用力多边形法则求其合力。()(2)应用力多边形法则求合力时,所得合矢量与几何相加时所取分矢量的次序有关。()(3)若两个力在同一轴上的投影相等,则这两个力的大小必定相等。() (4)两个大小相等式、作用线不重合的反向平行力之间的距离称为力臂。() (5)平面力偶系合成的结果为一合力偶,此合力与各分力偶的代数和相等。() (6)平面任意力系向作用内任一点简化的主矢,与原力系中所有各力的矢量和相等。()(7)一平面任意力系向作用面内任一点简化后,得到一个力和一个力偶,但这一结果还不是简化的最终结果。() (8)平面任意力系向作用面内任一点简化,得到的主矩大小都与简化中心位置的选择有关。() (9)只要平面任意力系简化的结果主矩不为零,一定可以再化为一个合力()。 (10)在求解平面任意力系的平衡问题时,写出的力矩方程的矩心一定要取在两投影轴的交点处。() (11)平面任意力系平衡方程的基本形式,是基本直角坐标系而导出来的,但是在解题写投影方程时,可以任意取两个不相平行的轴作为投影轴,也就是不一定要使所取的两个投影轴互相垂直。() 2、填空题: (1)在平面力系中,若各力的作用线全部,则称为平面汇交力系。 (2)平面汇交力系平衡的几何条件为:力系中各力组成的力多边形。 (3)若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭,则表示该力系的等于零。(4)合力在任一轴上的投影,等于各分力在轴上投影的代数和,这就是合力投影定理。 (5)平面任意力系向作用面内任一点简化结果,是主矢不为零,而主矩为零,说明力系与通过简化中心的一个______等效。 (6)平面任意力系向作用面内的一点简化后,得到一个力和一个力偶,若将其再进一步合成,则可得到一个_____。 (7)平面任意力系向作用面内任一点简化后,若主矢_____,主矩_____,则原力系必然是平衡力系。 (8)平面任意力系只要不平衡,则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。(9)建立平面任意力系的二力矩式平衡方程应是:任取两点A、B为矩心列两个力矩方程,取一轴X轴为投影列一个投影方程,但A、B两点的连线应_____于X轴。 (10)平面任意力系的平衡方程可以表示成不同的形式,但不论哪种形式的独立方程应为______个。 (11)平面平行力系的平衡方程,也可以是任取A、B两点为矩心而建成两个力矩方程,但

建筑力学大纲 知识点第三章 平面力系得平衡条件

第3章 平面力系的平衡条件 3.1平面汇交力系的合成与平衡条件 力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点,这样的力系称为平面汇交力系。 3.1.1 平面汇交力系合成的解析法 设作用于O 点的平面汇交力系(F 1,F 2,…,F n ),其合力矢量为R F (图3-2)。按合力投影定理求合力R F 在x , y 轴上的投影 ∑∑====n i yi Ry n i xi Rx F F F F 1 1 y 图3-2 R F = cos Rx R F F α= (3-1) cos Ry R F F β= 式中 α,β------合力矢量F R 与x 和y 轴的正向夹角。 3.1.2 平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力F R 等于零。 1 0n Rx xi i F F ===∑

1 0n Ry yi i F F == =∑ (3-2) 于是,平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为:力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。式(3-2)称为平面汇交力系的平衡方程。 3.2平面力偶系的合成与平衡条件 3.2.1 平面力偶系的合成 应用力偶的等效条件,可将n 个力偶合成为一合力偶,合力偶矩记为M 。 ∑==n i i M M 1 (3-3) 3.2.2 平面力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的必要与充分条件:力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零,即 1 0n i i M M == =∑ (3-4) 3.3平面任意力系的合成与平衡条件 3.3.1工程中的平面任意力系问题 力系中各力的作用线在同一平面内,且任意地分布,这样的力系称为平面任意力系。 3.3.2 平面任意力系向一点的简化 主矢和主矩 如图3-7(a )所示。在力系作用面内任选一点O ,将力系向O 点简化,并称O 点为简化中心。 i ′ 图3-7

平面一般力系的平衡作业及答案

平面一般力系的平衡作业 及答案 -标准化文件发布号:(9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

平面一般力系的平衡 一、判断题: 1.下图是由平面汇交力系作出的力四边形,这四个力构成力多边形封闭,该力系一定平衡。() 图 1 2.图示三个不为零的力交于一点,则力系一定平衡。() 图 2 3.如图3所示圆轮在力F和矩为m的力偶作用下保持平衡,说明力可与一个力偶平衡。() 4.图4所示力偶在x轴上的投影ΣX=0,如将x轴任转一角度轴,那么Σ=0。()

图 3 图 4 5.如图5所示力偶对a的力矩Ma(F,F')=F·d,如将a任意移到b,则力矩Mb(F,F')将发生变化。() 图 5 图 6 6.图6所示物体的A、B、C、D四点各有一力作用,四个力作出的力多边形闭合,则此物体处于平衡状态。() 7.如果两个力偶的力偶矩大小相等,则此两个力偶等效。() 8.图示构件A点受一点力作用,若将此力平移到B点,试判断其作用效果是否相同() 图 7 图 8

9.图8所示梁,若求支反力时,用平面一般力系的平衡方程不能全部求出。() 10.图9所示物体接触面间静摩擦系数是f,要使物体向右滑动。试判断哪种施力方法省力。() 图 9 图 10 11.力在坐标轴上的投影和该力在该轴上分力是相同的。() 12.如果将图10所示力F由A点等效地平移到B点,其附加力矩M =Fa ()。 13.平面任意力系,其独立的二力矩式平衡方程为∑Fx=0,∑M A=0,∑M B=0,但要求矩心A、B的连线不能与x轴垂直。() 二、选择题 1.同一个力在两个互相平行的同向坐标轴上的投影()。 A.大小相等,符号不同 B.大小不等,符号不同 C.大小相等,符号相同 D.大小不等,符号相同

《理论力学》第三章力系的平衡习题解

第三章力系的平衡习题解 [习题3- 1]三铰拱受铅直力F作用,如拱的重量不计, 求A、B处支座反 力。 [解 ]: (1)画受力图如图所示。 (2)因为BC平衡,所以 ①' F ix = 0 R C cos45°-R B sin : =0 sin :-二 ,9 丄 2 2 l2 -+ — 4 1 10 31 cos 2- .4 4 _ 3 .10 R C"2R B sin:5 R B ②二F iy = 0 R C sin 45°R B cos : - F P = 0 R C -^+』R B下 2 ,10 A B I、”邱 R「主F P"79F P 4 R c 10.79F P=0.35F P -.5 B F P C C a 450 1 2 l R B

(3)由AC的平衡可知:R A二R C 二10.79F P =0.35F P <5 [习题3-2]弧形闸门自重W= 150 kN,试求提起闸门所需的拉力F和铰支座处的反力。 -Fcos60°2-Fsi n 60°8 W 6=0 -F -0.866F 8 150 6 =0 7.928F =900 F =113.522(kN) 、F ix " F cos60°- R Ax = 0 R AX -113.522 0.5 =56.761(kN) O) 、F, -0 Fsin 60°R Ay-W = 0 R AX二W-Fsin60°=150 -113.522 0.866 = 51.690(kN) (f) R A二‘56.761251.692= 76.77(kN) 丄51.69 --arctan 42.323 56.761 [习题3-3]已知F= 10kN,杆AC B(及滑轮重均不计,试用作图法求杆AC BC寸轮的约束力。

平面一般力系的平衡作业及答案

平面一般力系的平衡作业及答案 平面一般力系的平衡 一、判断题: 1.下图是由平面汇交力系作出的力四边形,这四个力构成力多边形封闭,该力系一定平衡。() 图1 2.图示三个不为零的力交于一点,则力系一定平衡。() 图2 3.如图3所示圆轮在力F和矩为m的力偶作用下保持平衡,说明力可与一个力偶平衡。() 4.图4所示力偶在x轴上的投影ΣX=0,如将x轴任转一角度轴,那么 Σ=0。()

图3图4 5.如图5所示力偶对a的力矩Ma(F,F')=F·d,如将a任意移到b,则力矩Mb(F,F')将发生变化。() 图5图6 6.图6所示物体的A、B、C、D四点各有一力作用,四个力作出的力多边形闭合,则此物体处于平衡状态。() 7.如果两个力偶的力偶矩大小相等,则此两个力偶等效。() 8.图示构件A点受一点力作用,若将此力平移到B点,试判断其作用效果是否相同() 图7图8 9.图8所示梁,若求支反力时,用平面一般力系的平衡方程不能

全部求出。() 10.图9所示物体接触面间静摩擦系数是f,要使物体向右滑动。试判断哪种施力方法省力。() 图9图10 11.力在坐标轴上的投影和该力在该轴上分力是相同的。() 12.如果将图10所示力F由A点等效地平移到B点,其附加力矩M=Fa()。 13.平面任意力系,其独立的二力矩式平衡方程为∑Fx=0,∑M A =0,∑M B=0,但要求矩心A、B的连线不能与x轴垂直。() 二、选择题 1.同一个力在两个互相平行的同向坐标轴上的投影()。 A.大小相等,符号不同 B.大小不等,符号不同 C.大小相等,符号相同 D.大小不等,符号相同 2.图11所示圆轮由O点支承,在重力P和力偶矩m作用下处于平衡。 这说明()。

九、 平面一般力系平衡方程的其他形式

第九讲内容 一、平面一般力系平衡方程的其他形式 前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程 的基本形式,除了这种形式外,还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩 形式。 1.二力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任取两点 A 、B 及 X 轴,如图 4-13 所示,可以证明 平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式,即 X =0 M A = 0 M B = 0 式中X 轴不与A 、B 两点的连线垂直。 证明:首先将平面一般力系向A 点简化, 一般可得到过A 点的一个力 和一个力偶。若M A = 0成立,则力系只能简化为通过 A 点的合力R 或成平 衡状态。如果M B = 0又成立,说明 R 必通过 B 。可见合力 R 的作用线必 为AB 连线。又因 X = 0成立,则R X =X =0,即合力R 在X 轴上的投 影为零,因 AB 连线不垂直 X 轴,合力 R 亦不垂直于 X 轴,由 R X =0可推 得R = 0 。可见满足方程(4-6)的平面一般力系,若将其向 A 点简化,其 主矩和主矢都等于零,从而力系必为平衡力系。 2.三力矩形式的平衡方程 在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点 A 、B 、C ,如图 4-14 所示,则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式,即 (4-6)

M A = 0 M B = 0 M = 0 式中,A 、B 、C 三点不在同一直线上。 同上面讨论一样,若M A =0和M B = 0成立,则力系合成结果只能 是通过A 、B 两点的一个力(图4-14)或者平衡。如果 M C = 0也成立, 则合力必然通过 C 点,而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点,除 非合力为零,M C = 0才能成立。因此,力系必然是平衡力系。 综上所述,平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程,即式(4-5)、 式(4-6)、式(4-7),在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。无论 采用哪种形式,都只能写出三个独立的平衡方程,求解三个未知数。任何第 四个方程都不是独立的,但可以利用这个方程来校核计算的结果。 【例 4-7】 某屋架如图 4-15(a )所示,设左屋架及盖瓦共重 P 1 = 3kN ,右屋架受到风力及荷载作用,其合力P 2 =7kN ,P 2与BC 夹角 轴,如图 4-15(b )所示,列出三个平衡方程 X = 0 X -P cos70 = 0 X =P cos70 = 7 0.342= 2.39kN M =0 Y 16-4P -P sin 7012 + P cos70 4 tan30 = 0 4-7) 为80 ,试求 A 、B 支座的反力。

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