05角的相关计算和证明
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角的相关计算和证明（讲义）
一、知识点睛
在证明的过程中，
由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、____________________； 由外角想到________________________________________．
二、精讲精练
1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则∠BCE =_________．
F
E
D C
B
A
G F
E
D
B A
第1题图 第2题图
2. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ，AE
⊥DG 于E ，CF ⊥DG 于F ．若∠DAE =25°，则∠GCF =_________．
3. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠B =∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，
∠F =∠F AG =45°，∠CAG =20°，则∠AEB =_________，∠ADC =_________．
G
F
E D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
2
1
P D C
B
A
第3题图 第4题图 第5题图
4. 如图，ED ⊥AB 于D ，EF ∥AC ，∠A =35°，则∠DEF =______．
5. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =________．
6. 已知：如图，直线BD 交CF 于点D ，交AE 于点B ，连接AD ，
BC ，∠1+∠2=180°，∠A =∠C ．求证：DA ∥CB ． 证明：如图，
∵∠1+∠2=180° （__________________________） ∠2+∠CDB =180° （__________________________） ∴_______=_______ （__________________________） ∴______∥________ （__________________________） ∴∠A +∠CDA =180°
（__________________________）
∵∠A =∠C （__________________________） ∴______+______=180° （__________________________） ∴DA ∥CB （__________________________） 7. 已知：如图，E ，F 分别在AB ，CD 上，EC ⊥AF ，垂足为O ，∠1+∠C =90°，∠2=∠D ．求
证：AB ∥CD ．
2
1
O E F
D
C
B
A
8. 如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度
数．
E D
C A
第6题图21
F E
D
C
B A
9.已知：如图，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE．求证：∠A=2∠P．
A
P
C
E 证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β
∵BP平分∠ABC （_______________________）
∴∠ABC=2∠PBC=2α（_______________________）
∵CP平分∠ACE （_______________________）
∴∠ACE=______=_______ （_______________________）
∵∠ACE是△ABC的一个外角（_____________________）
∴2β=2α+∠A （_______________________）
∴∠A=2(β-α) （_______________________）
∵∠PCE是△BCP的一个外角（_____________________）
∴β=______+_______（_______________________）
∴∠P=β-α（_______________________）
∴∠A=2∠P （_______________________）
10.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠A=2∠BCD．
A
D
C
B
【参考答案】
一、知识点睛
1. 同位角、内错角、同旁内角
2. 直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等
3. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 二、精讲精练 1. 20° 2. 25° 3. 65°，70°
4. 125°
5. 60°
6. 已知
平角的定义
∠1，∠CDB ；同角的补角相等 AB ，CD ；同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 已知
∠C ，∠CDA ；等量代换 同旁内角互补，两直线平行 7. 证明：如图，
2
1
O E F
C
B
A
∵EC ⊥AF
（已知）
∴∠COF =90° （垂直的定义）
∴∠C +∠2=90° （直角三角形两锐角互余） ∵∠1+∠C =90 （已知） ∴∠1=∠2 （同角的余角相等） ∵∠2=∠D （已知） ∴∠1=∠D （等量代换）
∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）
8. 解：如图，
∵∠B =35°，∠C =75° （已知）
∴∠BAC =180°-∠B -∠C
=180°-35°-75° A