函数方程不等式以及它们的图像PPT教学课件

函数 y x x 2c 在R上恒大于1
2020年8月20日
40
解：
y
x
x
2c
2x 2c
2c x
x 2c
2c
，
又当 x 2c 2x 2c 2c
函数 y x x 2c 在R上的最小值是2c
令 2c 1 c 1 ，即Q c 1
2
2
2020年8月20日
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解： 若P正确且Q不正确 P Q {c 0 c 1}
2020年8月20日
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二、典型习题
例题1、已知实数a b c，a b c ，1 a 2 b2 c2 1，求 a b 与 a 2 b2 的范围。
2020年8月20日
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解：
a bc 1 a b 1c a2 b2 c2 1 (a b)2 2ab c2 1 0
(1 c) 2 2ab c2 1 0
2020年8月20日
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解（1）：
当 0 m 1 时，f (x1 ) f (x 2 ) 0 ，
函数在 [,] 上是减函数
当 m 1时， f (x1 ) f (x 2 ) 0， 函数在 [,]上是增函数
2020年8月20日
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解（2）：
由(1)可知，当 0 m 1 时，
f (x) 为减函数， 则由其值域为 [log m m( 1), log m m( 1)]
x1, x2
[0,
1 ] ，都有
2
f (x1 x2 ) f (x1)f (x2 )
f (1) f ( 1 1 ) f ( 1 ) f ( 1 ) a f ( 1 ) a
22 2 2
2
类似地， f ( 1 ) f ( 1 1 ) f ( 1 )2 a
2 4 4 4
f(1) 4 a
2
若P不正确且Q正确 P Q {c c 1}
c 的取值范围是
(0,
1 2
]
[1,)
。
2020年8月20日
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例题7、已知函数
f (x)
logm
x x
3 3
。
（1）若 f (x) 的定义域为 [,] (0 )，
判断 f (x) 在定义域上的增减性，并用定 义证明；（2）当 0 m 1 时，使 f (x) 的值域为 [logm m( 1),logm m( 1)] 的定义区间 [,] (0 ) 是否存在？
（1）函数 f (x) x是否属于集合M？说明理由； （2）设函数 f (x) a x (a 0,a 1) 的图像与
y x 的图像有公共点，证明： f (x) a x M ；（3）若函数
f (x) sin kx M，求实数k的取值范围。
2020年8月20日
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解：（1）
对于非零常数T，f (x) x f (x T) x T Tf (x) Tx，由于对于任意的 x R ， x T Tx 不能恒成立，所以 f (x) x 不属于集合M。
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图像将使上述的思想具体化、形象化。 它从几何的角度描述问题的本质、变化 的规律，使数学问题更具有生命力。
2020年8月20日
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许多数学问题，不能简单地归结于函数、 方程或是不等式，而是它们的综合。通过 解决这些数学问题，不仅是对我们数学知 识掌握的考查，是对我们逻辑思维能力、 形象思维能力、综合解题能力、探索创新 能力的考查，更重要的是让我们体会到数 学知识之间是如何相互联系、相互渗透的， 又是联系渗透得那么惊人的深刻，那么意 想不到的精彩。
方程进行研究。
2020年8月20日
3
不等式是函数与方程关系的一个更为
广泛的补充。函数y=f(x)图像在x轴上方是 f (x) ，0 在x轴下方则是 f (x) 0。不等式
的作用还可以使动态的y=f(x)的图像上、
下、左、右的移动。
2020年8月20日
4
函数思想在解题中的应用主要体现在两
个方面：一是借助有关初等函数的性质， 解有关求值、解（证）不等式、解方程以 及讨论参数的取值范围等问题；二是在问 题的研究中，通过建立函数关系式或构造 中间函数，把所研究的问题转化为讨论函 数的有关性质，达到化难为易，化繁为简 的目的。
f (2 x) f (x) 即f(x)是以2为周期的周期函数
2020年8月20日
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解：（3）
由（2）知2n也是f(x)的周期
f (2n 1 ) f ( 1 ) 2n 2n
f (1) f ( 1 1 1 ) [f ( 1 )]2n
2n 2n
2n
2n
（把1分为2n个 1 的和） 2n
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解：
y
o c
2020年8月20日
x
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解：
(c 1) 2 4(c 2 c) 0
1 c
2
c
f (c) 3c 2 2c 0
2020年8月20日
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解： 1 c0 3
11 c 4 , 8 1 c2 1 39
a
b (1,
4) 3
,
a2
b2
(8 ,1) 9
2020年8月20日
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例题2、已知 x2 xy y2 1，求函数 u x2 y2的最大值和最小值。
2020年8月20日
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解：建立方程组
x2 xy y2 1
u
x2
y2
(u 1)x2 uxy (u 1)y2 0
（两式相乘并相减）
由题意x，y不能同时为零，不妨设 y 0
2020年8月20日
的两个根
2020年8月20日
2020年8月20日
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解： sin(kx k ) sin kx
k 2m
k (2m 1) m Z
由①②可知，实数k的取值范围是
{k k m, m Z}
2020年8月20日
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例题5、函数 f (x) 在 (1,1) 上有定义，
f ( 1 ) 1 且满足 x, y (1,1) 时，有
2020年8月20日
5
方程思想在解题中的应用主要表现在：
从问题的数量关系入手，运用数学语言将 问题中的条件转化为数学模型（方程、不 等式，或方程与不等式的混合组），然后 通过解方程（组）或不等式（组）来使问 题获解。有时，还实现函数函数与方程的 互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
2020年8月20日
2
f
(x)
f
(y)
f
xy 1 xy
。（1）证明：
f (x) 在 (1,1) 上是奇函数；
2020年8月20日
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（2）对于数列 {x n }，若
x1
1 2
，
x n1
2x n 1 xn2
，试求：f (x n )；
（3）求证：
1 1 1 2n 5
f (x1 ) 。f (x 2 )
f (xn ) n 2
4
2020年8月20日
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解：（2）
已知f(x)图像关于x=1对称（ x R ，都有 2 x x 1 ）
2
x R 有 f (2 x) f (x)
2020年8月20日
20
解： 又f(x)是R上的偶函数 f (x) f (x) f[2 (x)] f (x) f (2 x) f (x)
2020年8月20日
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证明（2）：
f
(x1
)
f
(
1 2
)
1
f
(x n1 )
f
( 1
2x n xn
2
)
f
( xn 1 xn
xn x
n
)
f
(x
n
)
f
(x
n
)
2f (xn )
f (xn1) 2 f (xn )
2020年8月20日
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证明（2）：
{f (xn )} 是以 1 为首项，2为 公比的等比数列
ab c2 c，且 a b 1 c
2020年8月20日
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解： 即a,b是一元二次方程 x 2 (1 c)x c2 c 0 的两个不相等 的根，且两根都大于c，令 f (x) x 2 (1 c)x c2 c ，则图像与 x轴有两个交点且都在 (c,) 内， 又图像开口向上
2020年8月20日
x
2
[0,
1 2
]
都有 f (x1 x 2 ) f (x1 ) f (x 2 )，且 f (1) a 0
（1）求 f ( 1 ) 及f ( 1 ) ；（2）证明f(x)是
2
4
周期函数；（3）已知
an
f (2n
1) 2n
求
lim
n
ln(a
n
)。
2020年8月20日
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解：（1）
对任意的
证毕。
2020年8月20日
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例题6、已知c 0，设P：函数 y c x 在R上 单调递减，Q：不等式 x x 2c 1
的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确， 求c的取值范围。
2020年8月20日
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解： P：函数 y c x在R上单调递减 0 c 1 Q：不等式 x x 2c 1 的解集为R
2020年8月20日
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解：
f(
1
)
a
1 2n
2n
1
11
ln(a n
)
ln
f (2n
) 2n
ln
f( ) 2n
2n
ln
a
lim
n
ln(a
n
)
lim
n
1 2n
ln a
0
2020年8月20日
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例题4、已知集合M是满足下列性质的 f (x)的全体：存在非零常数T，对任意 x R，有 f (x T) Tf(x)成立。
f (xn ) (1) 2n1
2020年8月20日
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证明（3）：由（2）
(1
1 2
1 22
1 2n1
)
1
1 2n
1 1
2
2
1 2n1
2
2n 5 2 1 2
n2
n2
2020年8月20日
37
证明（3）：
1 1 1 2n 5
f (x1) f (x2 )
f (xn ) n 2
2020年8月20日
27
解：（3）
当 k 0 时，f (x) 0，显然 f (x) 0 M
当 k 0 时，已知 f (x) sin kx M 存在非零常数T，对于任意 x R
有 f (x T) Tf (x) 成立，即
sin k(x T) sin(kx kT) T sin kx
2020年8月20日
32
证明（1）：令 x y 0
f (0) f (0)
f
0
0
f (0)
f (0)
0
10
令 y x f (x) f (x) f x x f (0) 0
1 xx
2020年8月20日
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证明（1）：
f (x) f (x)
f (x) 在 (1,1) 上是奇函数；
对于任意 x R恒成立
2020年8月20日
28
解： 由于x的任意性，则只有当 T 1 的时候可能恒成立 ①当 T 1 时，sin k(x 1) sin(kx k) sin kx 恒成立 k 2m，m Z
②当T 1时，
sin k(x 1) sin(kx k) sin kx 恒成立
2020年8月20日
47
解（2）：
f
()
log m
3 3
log m
m(
1)
3 3
m(
1)
f
()
log m
3 3
源自文库
log m
m(
1)
3 3
m(
1)
2020年8月20日
48
解（2）：
m2
m
2
(2m (2m
1) 3(m 1) 0 1) 3(m 1) 0
则 ,为方程 mx2 (2m 1)x 3(m 1) 0
2020年8月20日
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解：（2）
由题意可知方程组
y
ax
有解
ax
x
y x
显然 x 0 不是方程 a x x
的解，所以存在非零常数T，使得 a T T
2020年8月20日
26
解：
对于 f (x) a x ，有
f (x T) a xT a T a x T a x Tf (x) f (x) ax M
函数、方程、不等式 以及它们的图像
2020年8月20日
1
函数是中学数学的一个重要概念。函数 的思想，就是用运动变化的观点，分析和 研究具体问题中的数量关系，建立函数关 系，运用函数的知识，使问题得到解决。
2020年8月20日
2
和函数有必然联系的是方程，方程
f (x) 0 的解就是函数 y f (x) 的图像 与x轴的交点的横坐标，函数 y f (x) 也可以看作二元方程 f (x) y 0，通过
16
解： (u 1)( x )2 u x (u 1)( y )2 0
y
y
x
即为关于 x R 的一元二次方程，有实根 y
u2 4(u 1)(u 1) 0
2 u2
3
u max
2, u min
2 3
2020年8月20日
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例题3、设f(x)是定义在R上的偶函数，
其图像关于x=1对称，对任意的x1 ,
请说明理由。
2020年8月20日
43
解（1）： x 3 0 x 3 或 x 3，又
x3
f (x)的定义域为 [, ] (0 ) ， 则 3
2020年8月20日
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解（1）：
x1 x 2
x1 3 x 2 3 6(x1 x 2 ) 0 x1 3 x 2 3 (x1 3)(x 2 3)