2017线性代数基础班讲义

1）基本求逆公式： A1 1 A* A
2）初等变换法
2 2 3
例
1：
A
1
1
0
，求
A1
1 2 1
例 2： A 满足 A2 A 4E 0 ，求 (A E)1
三、矩阵的初等变换 1．初等变换的定义：
2．初等矩阵 （1）定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵 （2）三种初等矩阵： （3）性质：初等矩阵都是可逆的，其逆仍是初等矩阵，且：
Ax b 仅有一个解
（Cramer 法则）
A 0 ， Ax b 可能无解或无穷多个解
4．解的结构 Amn x b ，当 r(A) r(A) n 时，有通解： x k11 k22 knr nr
x1 x2 2x3 2x4 1 例 3：（具体方程组）求 2x1 x2 4x3 x4 5 的通解
对称
mn
A
aij
反对称
mn
3．矩阵运算 1）线性运算：加法与数乘
A
aij
A
nn
aij
，B
mn
bij
，则 A B
mn
2）乘法：
（1）乘法法则： A
aij
，B
ms
bij
sn ，则 Cmn AB
（2）运算律：
， kA
4
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3）方阵的运算 （1）方阵的幂及其运算律：
属于不同特征值的特征向量一定线性无关
2．特征值与特征向量的计算 1）具体矩阵情形 利用特征多项式、特征方程法
3 2 4
例
1：求
A
2 4
0 2
2 3
的特征值与特征向量
例 2： n阶矩阵A满足r(A E) r(A E) n，且A E，那么矩阵A必有一个特征值_______
2）抽象矩阵情形 A (aij )nn ， 是其特征值，则
不能由1,2,,n 线性表示 （2）线性相关（无关）的判定： 1,2,,n 线性相关（无关）
7
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例 1：1 (1,3, 6, 2)T ，2 (2,1, 2, 1)T ，3 (1, 1, a, 2)T 线性相关，则 a
例 2：
设1,2 ,3线性相关，2 ,
2,
5，求a,
b的值
3
11
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三、行列式计算
1．行列式的余子式、代数余子式
划去元素 aij 所在的行、列，剩下的元素按照原来的顺序排成的 n 1阶行列式称
为 aij 的余子式，记为 M ij ，称 Aij (1)i j Mij 为 aij 的代数余子式。 2．行列式的展开 （1）展开定理： D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain ， i 1, 2,, n
a11 a12 a1n
1．定义：矩阵是一个数表， A
aij
a21
mn
a22
a2n
am1
am2
amn
2．特殊矩阵：
（1）零矩阵：
（2） n 阶方阵：
（3）行矩阵（向量）、列矩阵（向量）：
（4）对角矩阵、单位矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：
（5）对称矩阵、反对称矩阵：
A
aij
第二步：分别解方程组 iE A x 0 ，得属于 i 的特征向量
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3）特征值与特征向量性质： （1）n 阶矩阵 A (aij )nn 有 n 个特征值 1,, n ，且
1 2 n a11 a22 ann tr(A)
12 n A
（2）关于特征向量的线性无关性：
a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ， j 1, 2,, n
（2）行列式某一行（列）每个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积 的和等于 0
ak1Ai1 ak2 Ai2 akn Ain 0 ， k i
a1k A1i a2k A2i ank Ani 0 ， k i
a a jn ) 1 j1 2
j2
anjn
j1 , j2 ,, jn
an1 an2
ann
称为一个 n 阶行列式。它表示所有取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和。
二、行列式的性质
（1）转置不改变行列式的值： D DT
（2）行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式之外 （3）行列式的分行（列）可加性 （4）行列式两行（列）元素成比例，则行列式值为 0 （5）互换行列式的某两行（列）行列式的值改变符号 （6）行列式某行（列）的 k 倍加到另外一行（列），行列式值不变
2．方程组的解： 1）解的形式：零解、非零解 2）解的线性性质：（1）
（2） 3．解的判定：
1）一般情况： Amn x 0
Ax 0仅有零解 Ax 0有非零解
2）特别地： Ann x 0
Ax 0仅有零解 Ax 0仅有非零解 4．解的结构： 1）基础解系的定义：
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（2）方阵的行列式： Ann ， Bnn
性质： AB A B ， kA k n A ， A1 A 1 ， A* A n1
4）转置：
性质：
AT
T
(kA)T
(A B)T
5）伴随矩阵 A
aij
，则 A*
nn
性质： AA* A*A A E
ABT
二、可逆矩阵
1．可逆的定义： 2． n 阶矩阵 A 可逆的充要条件： 3．逆矩阵的计算
3．初等变换的本质（初等变换与初等矩阵的关系） 行变换： A B 列变换： A B
5
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例 3： 设A是3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记
1 0 0 1 0 0
P1
1
1
0
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,
P2
0
0
1 ，则A=
0 0 1
0 1 0
设A
4
t
3 ，B为三阶非零矩阵，且AB 0，则t _____
3 1 1
6
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4．秩的计算 基本方法：初等变换法 对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。
1 1 1 1
例
6：求
A
0 2
1 3
1 2
2
的秩
4
3
5
1
7
第三章 向量
3 (5, 0, 7, 5)T ，4 (2,1, 2, 2)T ，求向量组的秩及一个极大无关组
第四章 线性方程组
一、齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
1．齐次线性方程组的定义：
am1x1 am2 x2 amn xn 0
注：方程组的矩阵形式、向量形式：
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3，
线性无关，证明：
4
（1）1可由 2 ,3线性表示
（2） 4不可由1 , 2 ,3线性表示
二、向量组的秩 1．极大线性无关组与秩 定义：I：1,2,,n ，若1,2,,r 为其一个部分组，满足
（1）1,2,,r 线性无关，（2）1,2,,n 中任一向量都可由1,2,,r 线性
表示，则称1,2,,r 为 I 的一个极大线性无关组， r 称为向量组的秩，记为
r(1,2,,n ) r
注： r(I ) r ，则 I 中任意 r 个线性无关的部分组都是 I 的极大无关组 2．秩的计算 方法：定义法、初等变换法（以向量组中各向量为列作矩阵，对矩阵作初等行变 换，化为阶梯形） 例 3：设向量组1 (1, 2,3, 1)T ，2 (3, 1,5, 3)T ，
mn
（4） P,Q 可逆，则 r(PA) r(AQ) r(PAQ) r(A)
1 0 2
例
4．
A43
，
r ( A)
2
，
B
0
2
0
，则
r ( AB)
1 0 3
（5） r(A B) r(A) r(B)
（6） Amn ， Bns ， AB 0 ，则： r(A) r(B) n
例 5：
1 2 2
a1n
a2 ( n 1)
a1n * *
*
*
a2 ( n 1)
a1n
an1
an1
*
* an1
五、行列式的计算
方法一：三角形法
4124 例 2： D 1 2 0 2
3320 0112
a0 1 1
例 3： Dn1 1
a1
1
an
(ai 0)
a1 x 例 4： D= a1
a1 a1
a2 a2 x
一、向量的概念及向量间的关系 1．向量及其运算 （1）定义： （2）运算： 2．线性表示、线性组合 定义：
3．向量间的关系的描述（线性相关、线性无关） 1）定义：若存在一组不全为 0 的数 x1, x2,, xn ，使得 x11 x22 xnn 0 ，
则称向量组1,2,,n 线性相关，否则称为线性无关
x1
x2
2x3
3x4
0
例 2：
1 2 1 2
设A
0
1
t
t ，且方程组Ax 0的基础解系中仅含有两个线性无关的解向量，
1 t 0 1
求Ax 0的通解
二、非齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
1．非齐次线性方程组的定义：
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1 2x2 2x3 x4 4
例 4：（抽象方程组）设四元非齐次方程组 Ax b ， r(A) 3 ，已知1,2,3 是 3 个解向量，且1 2 (1,1, 0, 2)T ，2 3 (1, 0,1,3)T ，求 Ax b 的通解
第五章 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念、性质、计算 1．特征值与特征向量 1）定义： Ax x ， x 0 2）求法：第一步：解 E A 0 ，得特征值 1,, n
a2 a2
a3 a3 a3 x a3
a4 a4 a4 a4 x
3
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方法二：展开法 3 2 4
例 5：求方程 2 2 0 的根 4 2 3
21 0 0 12 1 0 例 6：计算行列式 Dn 0 1 2 0
0 0 1 2
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第二章 矩阵
一、矩阵及其运算
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2017 考研数学线性代数基础讲义
章飞
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第一章 行列式
一、行列式定义
n2 个数 aij （ i, j 1, 2,, n ）排成的 n 行 n 列的方形表
a11 a12 a1n
D a21
a22
a2n
(1) (
j1 , j2 ,,
a1 x a2 a3 a4
例 1： D4
x 0
x0 x x
0 0
0 0 x x
2
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四、特殊行列式
a11
（1）三角形行列式：
a22
ann
a11
* * a11
（2）上三角形行列式、下三角形行列式：
a22
* *
a22
（3）副对角行列式：
ann * *
ann
a2 ( n 1)
（1）若 f (A) am Am a1A a0E ，则 f ( A) 一定有特征值 f () 如： （2） kA, Am, A1, A* 分别有特征值 k, m , 1 , A
例 3：设方阵 A 满足 A2 3A 2E O ，求 A 的特征值.
2 0 0
例
4：
A
0 0
a b
b
,
A的特征值为1,
四、矩阵的秩 1．定义： r(A) r A 至少有一个 r 阶子式 Dr 0 （ r(A) r ）
所有 r+1 阶子式 Dr1 0 （ r(A) r ）
2．性质： （1）初等变换不改变矩阵的秩
（2） r(A) 0
（3） A
aij
，则 r(A) r(AT ) r(kA) min{m, n}
注：1,2,,n 线性无关 2）结论 （1） 线性相关（无关） （2）含有零向量的向量组一定线性相关 （3）向量组的一个部分组线性相关，则向量组一定线性相关
向量组本身线性无关，则其任何一个部分组线性无关 （4）m 个 n 维向量构成的向量组， m n 时向量组一定线性相关 （5）1,2,,n 线性无关，1,2,,n ， 线性相关，则 可由1,2,,n 线 性表示。 4．相关判定 （1）线性表示的判定： 可由1,2,,n 线性表示
注：方程组的矩阵形式、向量形式：
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2．方程组的解： 1）解的形式：无解、仅有一个解、无穷多个解 2）解的线性性质：（1）
（2） 3．解的判定：
1）一般情况： Amn x b
Ax b 无解 Ax b 仅有一个解 Ax b 有无穷多个解
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2）特别地： Ann x b
2）基础解系特点及求法： 对于方程组 Amnx 0 ，若 r(A) r n ，则其一定有基础解系，且基础解系中一定
含有 n r 个向量，故 Amn x 0 的通解为 x k11 k22 knr nr
x1 x2 x3 x4 0
例
1：（具体的方程组）求
x1
x2
x3
3x4
0
的基础解系与通解