直线圆锥曲线向量的综合问题
直线圆锥曲线与向量的综合问题
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知识要点：
1．直线与圆锥曲线的公共点的情况
00
),(0
2=++???
?==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B y A 或 （1）没有公共点 → 方程组无解 （2）一个公共点 → 0
,0)0)=?≠→=→A ii A i 相切相交
（3）两个公共点 → 0,0>?≠A
2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：2
121221
11AB k
x x y y k
=+-=+
- 3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量内容
（1） 给出直线的方向向量或；
（2）给出与相交,等于已知过的中点;
（3）给出
,等于已知
是
的中点;
（4）给出
,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①
；②存在实数
；③若存在实数
,等于已知
三点共线.
（6） 给出
，等于已知是的定比分点，为定比，即 （7） 给出,等于已知
,即
是直角,给出,等于已
知
是钝角, 给出
,等于已知
是锐角。
（8）给出,等于已知是的平分线。
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;
（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在中，给出等于已知通过的内心；
（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16）在中，给出,等于已知是中边的中线;
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主要题型：
1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题；
4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。
近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为
（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。
（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
特别提醒： 法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。
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1. [2012·上海卷] 若n ＝(－2,1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________(结
果用反三角函数值表示)．．arctan2 [解析] 考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率．
由已知可得直线的斜率k ×1－2
＝－1，∴k ＝2，k ＝tan α，所以直线的倾斜角α＝arctan2.
2.[2012·重庆卷] 如图1－3，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．
图1－3
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．
解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)．
因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c
2
.结合
c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2
，所以离心率e ＝c a ＝25
5.
在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故
S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c
2
·b ＝b 2.
由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为： x 220＋y 2
4
＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.
设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此
y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16
m 2＋5，
又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →
＝(x 2－2，y 2)，所以
B 2P →·B 2Q →
＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2
＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16
＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2
m 2＋5＋16
＝－16m 2－64m 2＋5
，
由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →
＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.
3 [2012·湖北卷] 设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k >0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)如图(1)，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，
可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m
|y |.①因为点A 在单位圆上运动，所以x 20＋y 2
0＝1.
②
将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y
2
m
2＝1(m ＞0，且m ≠1)．
因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)；
当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)． (2)方法1：如图(2)、(3)，对任意的k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)，
直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得(m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 21－m 2
＝0.
依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得
－x 1＋x 2＝－4k 2x 1m 2＋4k 2，即x 2＝m 2x 1m 2＋4k 2.因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝2km 2x 1
m 2＋4k 2
.
于是PQ →
＝(－2x 1，－2kx 1)， PH →
＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝? ?
?
??－4k 2x 1m 2＋4k 2，2km 2x 1m 2＋4k 2.
而PQ ⊥PH 等价于PQ →
·PH →
＝42－m 2k 2x 21
m 2＋4k 2
＝0，即2－m 2＝0，又m ＞0，得m ＝2， 故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2
＋y 2
2
＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .
方法2：如图(2)、(3)，对任意x 1∈(0,1)，设P (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－y 1)，N (0，y 1)．
因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以???
m 2x 2
1＋y 21＝m 2
，m 2x 22＋y 22＝m 2
，
两式相减可得m 2(x 21－x 22)＋(y 21－y 2
2)＝0.③ 依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故(x 1－x 2)(x 1＋x 2)≠0.于是由③式可得 y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 2.④又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN ＝k QH ，即2y 1x 1＝y 1＋y 2
x 1＋x 2
.
于是由④式可得k PQ ·k PH ＝y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝12·y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 2
2.
而PQ ⊥PH 等价于k PQ ·k PH ＝－1，即－
m 2
2
＝－1，又m ＞0，得m ＝2，
故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2
＋y 2
2
＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .
4大纲文数 [2011·全国卷] 已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：x 2
＋y 2
2
＝1在y 轴正半轴上的焦点，过F
且
图1－4
斜率为－2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足OA →＋OB →＋OP →
＝0.
(1)证明：点P 在C 上；
(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 【解答】 (1)证明：F (0,1)，l 的方程为y ＝－2x ＋1，代入x 2
＋y 2
2
＝1并化简得
4x 2－22x －1＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)， 则x 1＝
2－64，x 2＝2＋6
4
， x 1＋x 2＝
2
2
，y 1＋y 2＝－2(x 1＋x 2)＋2＝1， 由题意得x 3＝－(x 1＋x 2)＝－2
2
，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－1. 所以点P 的坐标为?
??
??－
22，－1. 经验证，点P 的坐标? ??
??－22，－1满足方程x 2
＋y 22＝1，故点P 在椭圆C 上．
(2)证明：由P ? ????－22，－1和题设知Q ? ??
??
22，1，PQ 的垂直平分线l 1的方程为y ＝－22x .①
设AB 的中点为M ，则M ? ??
??
24，12，AB 的垂直平分线l 2的方程为y ＝22x ＋14.②
由①、②得l 1、l 2的交点为N ? ?
?
??－28，18.
|NP |＝? ?
???－22
＋282＋? ????－1－182＝3118，
|AB |＝1＋－22
·|x 2－x 1|＝32
2
，
|AM |＝32
4，
|MN |＝
? ????2
4
＋282＋? ????12－182＝338，
|NA |＝|AM |2＋|MN |2＝311
8
，
故|NP |＝|NA |.
又|NP |＝|NQ |，|NA |＝|NB |， 所以|NA |＝|NP |＝|NB |＝|NQ |，
由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上．
5 [2012·福建卷] 如图椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝1
2
，过F 1
的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程；
(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明
理由．
解：解法一：
(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，
所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝1
2，所以c ＝1，
所以b ＝a 2－c 2＝ 3. 故椭圆E 的方程是x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由????
?
y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2
3
＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.
因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，
即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)
此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ? ????－4k m ，3m .由???
x ＝4，
y ＝kx ＋m 得Q (4,4k ＋m )．
假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．
设M (x 1,0)，则MP →·MQ →
＝0对满足(*)式的m 、k 恒成立．
因为MP →＝? ??
??－4k
m
－x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )，
由MP →·MQ →
＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m
＋3＝0， 整理，得(4x 1－4)k
m ＋x 21
－4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，
所以???
4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，
解得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .
解法二：(1)同解法一．
(2)由????
?
y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2
3
＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.
因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，
即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)
此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ? ????－4k m ，3m .由???
x ＝4，
y ＝kx ＋m ，
得Q (4,4k ＋m )．
假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．
取k ＝0，m ＝3，此时P (0，3)，Q (4，3)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y －3)2＝4，
交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取k ＝－1
2
，m ＝2，
此时P ? ????1，32，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为? ????x －522＋? ????y －342＝4516
，
交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)． 以下证明M (1,0)就是满足条件的点：
因为M 的坐标为(1,0)，所以MP →＝? ??
??－4k m －1，3m ，MQ →＝(3,4k ＋m )， 从而MP →·MQ →
＝－12k m －3＋12k m
＋3＝0，
故恒有MP →⊥MQ →
，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .
突破重难点
例1．过点P (x ,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O
为坐标原点，若2BP PA =u u u r u u u r 且1OQ AB ?=u u u
r u u u r ，则点P 的轨迹方程是（ D ）
A ．22331(0,0)2x y x y +=>>
B ．223
31(0,0)2x y x y -=>>
C ．22331(0,0)2x y x y -=>>
D ．223
31(0,0)2
x y x y +=>>
例2． 已知椭圆C 1：x 2
4
＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．
(1)求椭圆C 2的方程；
(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →
，求直线AB 的方程．
解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2
4
＝1(a >2)，
其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 2
4
＝1.
(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →
及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .
将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A
＝4
1＋4k 2， 将y ＝kx 代入
y 216＋x 2
4
＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k
2，又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2
A ， 即164＋k 2＝161＋4k 2
， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .
解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，
由OB →＝2OA →
及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入x 2
4＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，
所以x 2A ＝41＋4k
2，由OB →＝2OA →
， 得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 2
1＋4k 2
，
将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 2
1＋4k
2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .
例3.在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线y2＝2x 相交于A 、B 两点．
（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→
--OA →
--?OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2). 当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于 点A(3,6)、B(3,－6). ∴OB OA ?=3；
当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，
由22(3)
y x y k x =??=-?得 2122606ky y k y y --=?=- 又 ∵ 22112211,22
x y x y ==，
∴2121212121()34
?=+=+=u u u r u u u r
OA OB x x y y y y y y ，
综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OB OA ?=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ?=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(2
1
,1)，此时?u u u r u u u r OA OB =3,直线AB 的方程为：2(1)3y x =+，而T(3,0)
不在直线AB 上；
说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足OB OA ?=3，
可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2， 可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).
例4已知A,B 为抛物线x 2
=2py (p >0)上异于原点的两点，0OA OB ?=u u u r u u u r
，点C 坐标为（0，2p ）
（1）求证：A,B,C 三点共线；
（2）若AM ＝BM λ（R ∈λ）且0OM AB ?=u u u u r u u u r
试求点M 的轨迹方程。
（1）证明：设22
1212(,),(,)22x x A x B x p p
， 由0OA OB ?=u u u r u u u r 得22
21212120,422x x x x x x p p p
+
=∴=-， 又222
121121(,2),(,)22x x x AC x p AB x x p p
-=--=-u u u r u u u r Q 222
211121(2)()022x x x x p x x p p -∴-?
--?-=， //AC AB ∴u u u r u u u r
，即A,B,C 三点共线。
（2）由（1）知直线AB 过定点C ，又由0OM AB ?=u u u u r u u u r
及AM ＝BM λ（R ∈λ）知OM ⊥AB ，垂足为
M ，所以点M 的轨迹为以OC 为直径的圆，除去坐标原点。即点M 的轨迹方程为x 2+(y-p )2=p 2(x ≠0，y ≠0)。
例5椭圆22221(,0)x y a b a b +=>的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，| PF 1|=34，| PF 2|=3
14.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）若直线l 过圆x 2+y 2+4x -2y =0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程。
解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt△PF 1F 2中，,522
1
2221=-=
PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,
从而b 2
=a 2
－c 2
=4, 所以椭圆C 的方程为4
92
2y x +＝1. (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）.
由圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为y =k (x +2)+1, 代入椭圆C 的方程得
（4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0.
因为A ，B 关于点M 对称. 所以.29491822
221-=++-=+k
k k x x 解得9
8
=k ，
所以直线l 的方程为,1)2(9
8
++=x y 即8x -9y +25=0. (经检验，符合题意)
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且
,1492121=+y x ① ,1492
222=+y
x ②
由①－②得 .04
)
)((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x ③
因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2,
代入③得
2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为9
8，
所以直线l 的方程为y －1＝9
8
（x +2），
即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)
例6设F 1、F 2分别是椭圆14
22
=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ?u u u r u u u u r
的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.
解：（Ⅰ）解法一： 易知2,1,a b c ===，
所以())
12
,F F ，设(),P x y ，
则(
))
2212,,
,3PF PF x y x y x y ?=--=+-u u u r u u u u r
()22
21
133844
x x x =+--=-
因为[]2,2x ∈-，故当x=0，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ?u u u r u u u u r
有最小值-2 当x=±2，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ?u u u r u u u u r 有最大值1
解法二：易知2,1,a b c ===
(
))
12
,F F ，设(),P x y ，则
22212121212121212cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-?=??∠=???u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r
(
(2
2
2
2221
1232x y x y x y ??=+++-=+-?
???
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，
联立22
2
1
4
y kx x y =-???+=??，消去y ，整理得：22
14304k x kx ??+++= ???
∴12122
2
43,114
4
k x x x x k k +=-
?=
+
+
由()2
2
14434304k k k ???=-+
?=-> ?
?
?
得：k <
k > 又0
0090cos 000A B A B OA OB <∠??>u u u r u u u r ，∴12120OA OB x x y y ?=+>u u u r u u u r
又()()()2
121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2
2223841144k k k k -=++++22
114
k k -+=+
∵
2223
1
01144
k k k -++>++
，即24k < ∴22k -<<
故由①、②得2k -<<
2k << 例7已知椭圆22
132
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P.
（Ⅰ）设P 点的坐标为00(,)x y ，证明：22
00132
x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值。 （Ⅰ）证明:
椭圆的半焦距1c =
=，
由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22
001x y +=，
所以，222200001132222
x y x y ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，
代入椭圆方程
22
132
x y
+=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．
设11()B x y ，，22()D x y ，，则：2122632k x x k +=-+，212236
32k x x k -=+，
21221)
32k BD x x k +=-==+；
因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1
k
-
． 所以，2211132k AC k
?+?
??==?+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)96
2(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+=??==++??+++????
≥． 当k 2=1时，上式取等号．
（ⅱ）当BD 的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积S=4．
综上，四边形ABCD 的面积的最小值为
9625
． 例8已知函数y kx =与2
2(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是
22(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点．
（I ）求k 的取值范围；
（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域； （III ）试比较OM 与ON 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．
解：（I ）由方程2
2
y kx y x =??=+?，消y 得2
20x kx -+=． ···· ① 依题意，该方程有两个正实根，故212800k x x k ??=->?+=>?，
，
解得k >
（II ）由()2f x x '=，求得切线1l 的方程为1112()y x x x y =-+，
由2
112y x =+，并令0y =，得11
1
2x t x =
-
1x ，2x 是方程①的两实根，且12x x <，、
故1x ==
，k >1x 是关于k 的减函数，所以1x
的取值范围是(0．t 是关于1x
的增函数，定义域为(0，所以值域为()-∞，0，
（III ）当12x x <时，由（II ）可知11
1
2x OM t x ==-
+． 类似可得2212x ON x =
-．121212
2x x x x OM ON x x ++-=-+． 由①可知122x x =．从而0OM ON -=．
当21x x <时，有相同的结果0OM ON -=．所以OM ON =．
★★★自我提升
1、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （3，1），B （-1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=，其中α,β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为( D )
A ． 3x +2y -11=0
B ．(x -1)2+(y -2)2=5
C ． 2x-y =0
D ． x +2y -5=0 2、已知j i ρρ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a ρ=j y i x ρρ+-)2(, b ρ=j y i x ρρ++)2(,且满足|a ρ
|+|b ρ|=4.
则点P (x ,y )的轨迹是.( C )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．线段
D ．射线
3、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为2
1
，则椭圆方程为(C )
222222222222A. 1 B.1 C. 1 D.12575752525757525
x y x y x y x y +=+=+=+=
4、直线y=kx +1与椭圆152
2=+m
y x 恒有公共点，则m 的取值范围是（A ）. A 、m≥1且m≠5 B、m≥1 C 、m≠5 D、m≤5
5、已知j i ρρ,是x,y 轴正方向的单位向量，设a ρ
=j y i x ρρ+-)3(, b ρ=j y i x ρρ++)3(,且满足
|a ρ|-|b ρ|=2.则点P (x ,y )的轨迹C 的方程为__________.( 22
1(0)2
y x x -=<).
圆锥曲线与向量小题
圆锥曲线小题专项训练 1．已知抛物线x y 82 =的准线与双曲线A,B 两点，双曲线的一条渐近线 F 是抛物线的焦点，，且△FAB 是直角三角形，则双曲线的标准方程是（ ） 2所对应的图形变成方程221x y +=所对应的图形，需经过伸缩变换?为（ ） C.43x x y y '=??'=? 3的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0=+OB OA （O 为坐标原点），0212=?F F AF ，若椭圆的离心率等于则直线AB 的方程是 ( ) ． A ． 4．双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射 后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点。”由此可得如下结论：如右图，过双曲线C ：右支上的点P 的切线l 平分12F PF ∠。现过原点作l 的平行线交1PF 于M ，则||MP 等于（ ） A ．a B ．b C D ．与点P 的位置有关 5 e 右焦点为F (c ,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1,x 2) （ ） A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能 6．如图，在ΔABC C ，以A 、H 为焦点的双曲线的离心率为 （ ） A ．2 B ．3 C D
7 F 1是左焦点，O 是坐标原点，若双曲线上存在点P ，使1||||PO PF =，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．(1,)+∞ C ．（1，3） D ．[)2,+∞ 8．已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A.34 B. 35 C.2 D. 3 7 9． M ，N ，P 为椭圆上任意一点，且直线PM 则直线PN 的斜率的取值范围是( ) A ． B ． C ． ]2,8[-- D ． ]8,2[ 10．设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆 （ ） A 、 B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞ ； D 、[]2,2-. 11．已知实系数方程2(1)10x a x a b +++++=的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率， 值范围是（ ） A ．(2,1)-- B 12．如图，已知点B x 轴下方的端点，过B 作斜率为1的直线交椭圆于点M ，点P 在y 轴上，且 PM//x 轴，9=?BM BP ，若点P 的坐标为（0，t ） ，则t 的取值范围 是（ ）A ．0 平面向量与圆锥曲线的综合问题 例1 已知F 1、F 2分别是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，125 4 PF PF ?=- ，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围. 解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知2a =，1b = ，c = ∴1(F ，2F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则 2 2 125 (,,)34PF PF x y x y x y ?=--=+-=-，又2214 x y +=， 联立22 227414 x y x y ?+=????+=?? ，解得221134x x y y =??=?????== ???? ，P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 联立2 2222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ?+=??++=?+++=??=+? ∴1221214x x k = +，122 1614k x x k +=-+由22 (16)4(14)120k k ?=-?+?> 22163(14)0k k -+>，2430k ->，得23 4 k >．①又AOB ∠为锐角 c o s 00A O B O A O B ?∠>??>，∴12120OA OB x x y y ?=+> 又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴ 1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++222 1216(1)2()41414k k k k k =+? +?-+++ 222 12(1)21641414k k k k k +?=-+++224(4)014k k -=>+∴2144k -<<．② 圆锥曲线与向量的综合性问题 一、常见基本题型： 在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐 标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。 (1) 问题的条件以向量的形式呈现，间接的考查向量几何性质、运算性质， 例1、设(1,0)F ，M 点在x 轴的负半轴上，点P 在y 轴上，且,MP PN PM PF =⊥． 当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程； 解：（解法一）MP PN =，故P 为MN 的中点． 设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2 y M x P x -> 又(1,0)F ，(,),(1,)22 y y PM x PF ∴=--=- 又PM PF ⊥，2 04 y PM PF x ∴?=-+= 所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x => （解法二）MP PN =，故P 为MN 的中点． 设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2 y M x P x -> - 又由,MP PN PM PF =⊥，故FN FM =，可得22FN FM = 由(1,0)F ，则有222(1)(1)x y x -+=--，化简得：24(0)y x x => 所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x => 例2、已知椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点 重合，离心率e =，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆 于A 、B 两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点(1,0)M ，且()MA MB AB +⊥，求直线l 的方程； 解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为(,0)c ，因为2 8y x =的焦点坐标为(2,0)，所以2c = 因为c e a ==25a =，21b = 圆锥曲线综合练习 一、 选择题： 1．已知椭圆221102 x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 2．直线220x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ） A B ．12 C ．2 3 3．设双曲线22 219 x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2 2 1y x m +=的离心率是（ ） A B C D 5．已知双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ， 两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A B 6．已知点12F F ，是椭圆2 2 22x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +u u u r u u u u r 的最小值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．7．双曲线221259 x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A ．22或2 B ．7 C ．22 D ．2 8．P 为双曲线22 1916 x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点， 则||||PM PN -的最大值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =u u u r u u u r ，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ） A B 1 C 1 D 1 11．两个正数a b ，的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2b y x a =-的焦点坐标是（ ） A ．5(0)16- ， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1 (0)5 ， 12．已知12A A ，分别为椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P 圆锥曲线归纳总结 ——for Yuri 第22sin cos θθ+部分：知识储备 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-=+ （3）弦长公式 直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 12AB x =-=或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1) 椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n + =>>≠且 距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2) 双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n + =?< 距离式方程 ：2a = (3) 三种圆锥曲线的通径 椭圆：22b a ；双曲线：2 2b a ；抛物线：2p (4) 圆锥曲线的定义 黄楚雅，分别回忆第一定义和第二定义！ (5) 焦点三角形面积公式： P 在椭圆上时，122tan 2F PF b θ?=S P 在双曲线上时，122cot 2 F PF b θ ?=S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠===?） (6) 记住焦半径公式： ①椭圆焦点在时为0a ex ±，焦点在y 轴上时为0a ey ± ②双曲线焦点在x 轴上时为0||e x a ± ③抛物线焦点在x 轴上时为0||2p x + ，焦点在y 轴上时0||2 p y + 3333333333333333333333333333333333333333333333333华丽的分割线3333333333333333333333333333333333333333333333333333333 第0sin xdx π ?部分：三道核心例题 例1．椭圆长轴端点为,A B ,O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1AF FB ?=， 1OF =。 （1）求椭圆的标准方程； （2）记椭圆的上顶点为M ，直线交椭圆于,P Q 两点，问：是否存在直线 l 京翰提示：圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等,解答题目相对较难,同时平面向量的介入,增加了本专题高考命题的广度圆锥曲线高考热点题型归纳。正圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等。 高二数学—圆锥曲线综合练习 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知|→ a |=|→ b |，→ a ⊥→ b ，且（→a +→b ）⊥（k → a -→ b ） ，则k 的值是( ) A ．1 B ．-1 C ．0 D ．-2 2、已知3a =r ，23b =r ，3a b ?=-r r ，则a r 与b r 的夹角是（ ） A 、150? B 、120? C 、60? D 、30? 3、若)()(),1,2(),4,3(b a b x a b a -⊥+-==且,则实数x=（ ） A 、23 B 、223 C 、323 D 、4 23 4、已知(1,2)a =r ,(2,3)b x =-r 且a r ∥b r ,则x =（ ） A 、－3 B 、34 - C 、0 D 、 34 5．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b y a x 的离心率为 ( ） A ． 45 B ．2 5 C ．32 D ．4 5 6．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82 -= B ．y x 82 = C ． y x 162 -= D ．y x 162 = 7．若过原点的直线与圆2 x +2 y +x 4+3=0相切，切点在第三象限，直线的方程是( ） A ．x y 3= B ．x y 3-= C ．x y 3 3 = D ．x y 3 3- = 直线与圆锥曲线的位置关系 专题四：共线向量问题 1、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22 194 x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。 分析：由DP DQ l =uuu r uuu r 可以得到121 23(3)x x y y l l ì?=?í?=+-??，将P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),代人曲线方程，解出点的坐标，用l 表示出来。 解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2), Q DP DQ l =uuu r uuu r \(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3) 即121 23(3)x x y y l l ì=??í?=+-??? 方法一：方程组消元法 又Q P 、Q 是椭圆29x +24y =1上的点\22222222194()(33)19 4x y x y l l l ì??+=???í?+-?+=???? 消去x 2，可得222222(33)14 y y l l l l +--=- 即y 2=1356l l - 又Q －2￡y 2￡2，\－2￡1356l l -￡2 解之得：155 λ≤≤ 则实数l 的取值范围是1,55?? ????。 方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠， 由2234936 y kx x y =+??+=?消y 整理后，得22(49)54450k x kx +++= P 、Q 是曲线M 上的两点 22(54)445(49)k k ∴?=-?+＝2144800k ->即295k > ① 由韦达定理得：1212225445,4949k x x x x k k +=-=++ 212121221 ()2x x x x x x x x +=++ 222254(1)45(49)k k λλ+∴=+即22223694415(1)99k k k λλ+==++ ② 直线圆锥曲线与向量的综合问题 高考考什么 知识要点： 1．直线与圆锥曲线的公共点的情况 00 ),(0 2=++??? ?==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B y A 或 （1）没有公共点 → 方程组无解 （2）一个公共点 → 0 ,0)0)=?≠→=→A ii A i 相切相交 （3）两个公共点 → 0,0>?≠A 2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常 用的弦长公式：1212AB x y y =-=- 3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量容 （1） 给出直线的方向向量或； （2）给出与相交,等于已知过的中点; （3）给出,等于已知是的中点; （4）给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线; （5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线. （6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 （7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。 （8）给出,等于已知是的平分线。 （9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形; （10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形; （11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在中，给出等于已知通过的心； （15）在中，给出等于已知是的心（三角形切圆的圆心，三角形的心是三角形三条角平分线的交点）； （16）在中，给出,等于已知是中边的中线; 高考怎么考 主要题型： 1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题； 4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为 （1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。 （2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。 特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。 高考真题 1.[2012·卷] 若n＝(－2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．．arctan2 [解析] 考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率． 由已知可得直线的斜率k× 1 －2 ＝－1，∴k＝2，k＝tanα，所以直线的倾斜角α＝arctan2. 2.[2012·卷] 如图1－3，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形． 图1－3 高考数学专项突破：圆锥曲线专题 目录 一、知识考点讲解错误!未定义书签。 第一部分了解基本题型错误!未定义书签。 第二部分掌握基本知识错误!未定义书签。 第三部分掌握基本方法错误!未定义书签。 二、知识考点深入透析错误!未定义书签。 三、圆锥曲线之高考链接错误!未定义书签。 四、基础知识专项训练错误!未定义书签。 五、解答题专项训练错误!未定义书签。 附录:圆锥曲线之高考链接参考答案错误!未定义书签。 附录：基础知识专项训练参考答案错误!未定义书签。 附录：解答题专项训练参考答案错误!未定义书签。 一、知识考点讲解 一、圆锥曲线的考查重点: 高考试卷对圆锥曲线的考查主要是:给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有联系的有关问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等)；或讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系；或考查圆锥曲线与其它知识的综合（如与函数、数列、不等式、向量、导数等）等。 二、圆锥曲线试题的特点： １、突出重点知识的考查。直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是圆锥曲线命题的根本,在对圆锥曲线的考查中，直线与圆锥曲线的位置关系仍然是重点。 2、注重数学思想与方法的考查。 3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识,在知识网络的交汇点处设计问题是高考的一大特点，由于向量具有代数和几何的双重身份,使得圆锥曲线与平面向量的整合交汇成为高考命题的热点,导数知识的引入为我们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法。 三、命题重点趋势：直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线 1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线,直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。 ２、热点主要体现在:直线与圆锥曲线的基础题;涉及位置关系的判定;轨迹问题;范围与位置问题；最值问题;存在性问题;弦长问题;对称问题；与平面向量或导数相结合的问题。 3、直线与圆锥曲线的题型涉及函数的与方程，数形结合，分类讨论，化归与转化等重要的数学思想方法，是高考必考内容之一，这类题型运算量比较大，思维层次较高,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能,对学生的能力要求也相对较高,是每年高考中平面几何部分出题的重点内容 第一部分了解基本题型 一、高考中常见的圆锥曲线题型 １、直线与圆锥曲线结合的题型 圆锥曲线与方程同步测试 一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分） 1.准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（ ） A. 2 2y x =- B. 2 4y x =- C. 2 2y x =- D. 2 4y x = 2.曲线 221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的( ) A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同 3已知两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ） A. 221169x y += B.2211612x y += C. 22143x y += D. 22134 x y += 4．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π ，则双曲线的离心率为 （ ） （A ）3 （B ）3 （C （D ）2 5. 双曲线 221(0)x y mn m n -=≠的离心率为2, 有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合,则mn 的值为( ) A. 316 B.38 C.163 D.83 6. 设双曲线以椭圆 22 1259 x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ） A.2± B.43± C.12± D.34 ± 7. 抛物线2 4y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A. 1716 B. 1516 C. 7 8 D. 0 8.直线y=x+3与曲线9 y 2-4x x ?=1交点的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9过抛物线2 4y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ） A. 不存在 B. 有无穷多条 C. 有且仅有一条 D. 有且仅有两条 圆锥曲线综合题型归纳解析 【知识点精讲】 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作程序如下： （1）变量——选择适当的量为变量； （2）函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数； （3）定值——化简得到函数的解析式，消去变量得到定值。 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，在证明定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值。 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形的性质来解决。 （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等，这是代数法。 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的应用（优先考虑）； （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用； （3）重视根与系数的关系（韦达定理）在解题中的应用（涉及弦长、中点要用）。 四、求参数的取值范围 根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系，再求参数的范围。 题型一、平面向量在解析几何中的应用 【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个： （1）用向量的数量积解决有关角的问题： ①直角12120a b x x y y ?=+=； ②钝角12122222 1 22 10|||| a b a b x x y ?-< = <++； ③锐角12122222 1 22 01|||| a b a b x x y ?< = <++。 （2）利用向量的坐标表示解决共线、共面问题。 一、利用向量的数量积解决有关夹角（锐角、直角、钝角）的问题 其步骤是：弦写出向量的坐标形式，再用向量积的计算公式 12122222 1 22 cos ,|||| a b a b a b x x y <>= = ++。 圆锥曲线与平面向量的综合 （ 1） 解析几何是研究方程与曲线的一门学科，是用代数的方法研究曲线的性质，而平面向量既具有代数形式又具有几何形式，因此平面向量与解析几何的结合是顺理成章的事情，在解决解析几何问题时，平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征，而且又方便计算，把解析几何与平面向量综合在一起命制考题，可以有效地考查考生的数形结合思想，解析几何的基本思想以及数学联结能力等数学思想和数学能力。 在 2004 年的试卷中 , 向量与解析几何综合的解答题有：全国卷Ⅰ（文，理），全国卷Ⅱ（理），天津卷（文，理），湖南卷（文，理），江苏卷，辽宁卷等. 在 2005 年的试卷中 , 向量与解析几何综合的解答题有：全国卷Ⅰ（文，理），全国卷Ⅱ（文，理），天津卷（文，理），福建卷（文，理）， 重庆卷（文，理），湖南卷（文，理），辽宁卷等 . 这表明在全国2004 年的 25 套试卷中有9 套占36%，在 2005 年的 29 套试卷中 , 就有 13 套 , 占45% . (一 )解析几何与向量综合的题目，可能出现的向量内容： 1. 给出直线的方向向量u1, k或 u m, n，等于已知直线的斜率k 或n ；m 2. 给出OA OB 与 3. 给出PM PN 4. 给出AP AQ AB 相交,等于已知OA 0 ,等于已知P是MN BP BQ ,等于已知 OB 过 的中点 ; P,Q 与 AB 的中点; AB 的中点三点共线; 5.给出以下情形之一 ①AB // AC , ②存在实数, 使 AB AC , ③若存在实数 , ,且1, 使O C O A O B 等于已知 A, B, C 三点共线 . , 6. OA OB 为定比，即 AP PB 给出 OP，等于已知 P 是AB的定比分点， 1 7.给出 MA MB0 ,等于已知MA MB ,即AMB 是直角,给出MA MB m0 ,等于已知AMB 是钝角,给出MA MB m0 ,等于已知AMB 是锐角, 8.给出MA MB MP ,等于已知 MP 是 AMB 的平分线/ MA MB 9.在平行四边形 ABCD 中，给出 ( AB AD) ( AB AD)0 ，等于已知 ABCD 是菱形; 10.在平行四边形ABCD 中，给出AB AD AB AD ，等于已知ABCD是矩形; 2 OB 22 ABC 的外心； 11.在ABC 中，给出 OA OC ，等于已知 O 是 12.在ABC 中，给出OA OB OC0 ，等于已知O是ABC 的重心； 13.在ABC 中，给出OA OB OB OC OC OA ，等于已知O是ABC 的垂心； 14.在ABC 中，给出OP OA( AB AC )(R) 等于已知AP 通过ABC 的 AB AC 招式四：共线向量问题 1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2 2 定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=?=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围. 解：（1）.0,2=?=AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点 C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22 ===∴b c a ∴曲线E 的方程为.12 22 =+y x （2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12 ,222 =++=y x kx y 代入椭圆方程 得.2 3 0. 034)2 1(22 2>>?=+++k kx x k 得由设),,(),,(2211y x H y x G )2(216 2 13),1(2182142 2212221k k x x k k k k x x +=+=+-=+-= +则)2,()2,(, 2211-=-∴=y x y x λλ 又,, 2 1 21x x x x = ∴=∴λλ，)21 (332 ) 21(33221)2()1(222 2+=+=++?k k k λλ .33 1 .31621 4.316 )21(3324,2 3 22<<< ++ <∴<+<∴> λλ λ解得k k .13 1 ,10<<∴<<λλ 又 圆锥曲线大综合 第一部分圆锥曲线常考题型和热点问题 一．常考题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题 题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题 题型十：范围为题（本质是函数问题） =+，存在实数，三角形（等边、题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m 等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆） 二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题 2.交点与中点弦问题 3.弦长及面积问题 4.对称问题 5.范围问题 6.存在性问题 7.最值问题 8.定值，定点，定直线问题 第二部分知识储备 一． 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题） 1. 判别式：24b ac ?=- 2. 韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ， 则12b x x a +=- ，12c x x a ?= 3. 求根公式：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ， 则1,2x =二．与直线相关的知识 1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式 2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈； ②点到直线的距离公式： d = 或d = （斜截 式） 3. 弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 1212)AB x AB y =-==-或 4. 两直线1111122222:,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系： ① 12121l l k k ⊥??=- ②121212//l l k k b b ?=≠且 5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点， 则111 2 ,22 x x y y x y ++= = 三．圆锥曲线的重要知识 考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线 1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。 圆锥曲线大综合 第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题 一．常考题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题 题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题 题型十：范围为题（本质是函数问题） 题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆） 二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题 2.交点与中点弦问题 3.弦长及面积问题 4.对称问题 5.范围问题 6.存在性问题 7.最值问题 8.定值，定点，定直线问题 第二部分 知识储备 一． 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题） 1. 判别式：24b ac ?=- 2. 韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则 12b x x a +=- ，12c x x a ?= 3. 求根公式：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则 1,22b x a -= 二．与直线相关的知识 1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式 2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈； ②点到直线的距离公式： d = 或d = （斜截式） 3. 弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 1212)AB x AB y =-==-或 4. 两直线1111122222: ,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系： ① 12121l l k k ⊥??=- ②121212//l l k k b b ?=≠且 5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则 111 2 ,22 x x y y x y ++= = 三．圆锥曲线的重要知识 考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线 1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。 2. 圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程 ②双曲线的标准方程 ③抛物线的标准方程 3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数,,a b c 三者的关系，p 的几何意义等 4. 圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆22b a ，双曲线2 2b a ，抛物线2p ②焦点三角形的面积：p 在椭圆上时12 2tan 2 F PF S b θ =? p 在双曲线上时12 2/tan 2 F PF S b θ = 四．常结合其他知识进行综合考查 1． 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系 2． 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识 3． 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等 4． 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质 圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量的结合 一、PB AP λ= 【2004全国1理21】设双曲线C ：1x 2 22=-y a （a ＞0）与直线l ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ．设直 线l 与y 轴的交点为P ，且12 5 = ．求a 的值． 【解析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （0，1） 联立?? ???=+=-1x 1x 2 22y y a 整理得（1-2a ）2x +22a x-22 a =0. 又因为PB PA 125=，即???????-=-=)1(125)1(125x 2121y y x 构造两根之和与两根之积得???????=?=+② x 125①1217x 2221221x x x x 由②①2消去 x 2得2 1221)x x x x +（=60289 ，再由韦达定理得2 21a 2a -=60289，解得a=1317. 【2014四川理】已知3 x 2 2 y -=1（x>1）设直线y=﹣2x+m 与y 轴交于点P ，与C 相交于点Q 、R ，且|PQ|＜ |PR|，求 PQ PR 的取值范围． 【解析】设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2）， 联立???+-==--m x y y 203x 32 2 整理得 2x +4mx-2 m +3=0.因为直线与双曲线的右支相交，所以?????>?>+>?00x 0 2 121x x x 解得m>1. 又因为x ≠1，所以m ≠2.则可设PQ PR =12x x =1 2 x x =λ（λ>1），则???=?+=+② x ①)1(x 2 221221λλx x x x ，利用②①2 消去x 2 得21221)x x x x +（=λλ21）（+，再利用韦达定理得2 12 21)x x x x +（=316m 22+m ；316m 22+m =λλ2 1）（+，于是 316m 22 +m ）（），（16,7647644?∈，解得1<λ<7或7<λ<7+43，故PQ PR 的取值范围是（1,7）?（7，7+43） 【2012四川文21】 已知C:4 x 2 2 y -=1（x ≠1且x ≠-1）设直线(0)y x m m =+>与y 轴交于点P ，与轨 迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求|| || PR PQ 的取值范围。 【解析】解法一：设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2）， 联立???+==--m x y y 04x 422整理得 32x -2mx-2m -4=0.则可设PQ PR =12x x =12-x x =λ（λ>1），即x 2=-λx 1,此时 △=（-2m ）2 -4x3(-m 2 -4)=16m 2 +48>0,而当x=1或x=-1为方程 的根时，m 的值为-1或1. 结合题设可知m>0且m ≠1.则???=?=+②x -①)-1(x 2 221221λλx x x x ，利用②①2消去x 2得2 1221)x x x x +（=λλ--12 ）（ ，再利用韦达定理得2 12 21)x x x x +（=12-3-4m 22m ；12-3-4m 22m =λλ--12 ）（，，于是12-3-4m 22m ）（），（0,154-154-34-?∈，解得1< λ< 35或35<λ<3，故PQ PR 的取值范围是（1,35）?（35 ， 3）. 解法二： 由???=--+=0 442 2y x m x y 消去y ，可得3x 2-2mx-m 2 -4=0. 其判别式?=（-2m)2 －4×3（-m 2 -4）=16m 2 +48>0① 圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 (,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)， 则有020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0) 则有020 20=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点， ∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++=e ； （2）求|||PF PF 1323 +的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 2 10=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（围）问题 圆锥曲线中的有关最值（围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 （1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的围，即：“求围，找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的围；对于（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。 最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x 、y 的围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。 典型例题 已知抛物线y 2=2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与平面向量与圆锥曲线的综合问题
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