第48课时 极坐标及其运算

第47课时 极坐标

一．教学目标

1.考查极坐标方程与直角坐标方程的互化；

(2)考查利用极坐标方程讨论直线与直线、直线与曲线的位置关系． 二．知识梳理

常见曲线的极坐标方程 ①圆的极坐标方程

____________表示圆心在(r ,0)半径为|r |的圆；

____________表示圆心在(r ，π

2

)半径为|r |的圆；

________表示圆心在极点，半径为|r |的圆． ②直线的极坐标方程

________________表示过极点且与极轴成α角的直线； __________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；

__________表示过(b ，π

2

)且平行于极轴的直线；

ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)表示过(ρ0，θ0)且与极轴成α角的直线方程． 三．基础练习

1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为__________． 2．已知曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，将其化为直角坐标方程为____________．

3．在极坐标系(ρ，θ) (0≤θ<2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为__________．

4．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为______________．

5．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π

6

(ρ∈R )的距离是________．

四．例题选讲

例1 (1)把点M 的极坐标⎝

⎛⎭⎫－5，π

6化成直角坐标； (2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标．

变式： (1)把点M 的极坐标⎝

⎛⎭⎫8，2π

3化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π)

例2 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为

ρcos ⎝⎛⎭

⎫θ－π

3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．

练习：⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.

(1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．

例3 在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．

1．点M 的直角坐标为(－3，－1)，则它的极坐标为________． 2．在极坐标系中，点(ρ，θ)与(－ρ，π＋θ)的位置关系为________．

3．在极坐标中，直线ρsin(θ＋π

4

)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．

在极坐标系中，以(a 2，π2)为圆心，a

2为半径的圆的方程为________．

4．点M (5，π

6)为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：

①(－5，－π6)；②(5，7π6)；③(－5，π6)；④(－5，－7π

6

)．

其中可以作为点M 关于极点的对称点的坐标的是______(填序号)．

5．在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别为(3，π3)，(4，－π

6

)，则AB ＝________，S △AOB ＝________.(其

中O 是极点)

6．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________．

7.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－3

2

与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．

8极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝2

2

，

(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．

9．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为y ＝－x ＋3＋ 5.(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.

(1)求圆C 的直角坐标方程；

(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求P A ＋PB .