【电动力学课件】3-2-3 磁标势-磁多极矩

1 1 3 . a1 = M 0 , b1 = M 0 R0 3 3 an = bn = 0, Baidu Nhomakorabea ≠ 1.
3 3 M 0 R0 R cos θ 0 M0 ⋅ R , = 于是得 ϕ1 = 2 3 3 3 R R
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1 1 ϕ 2 = M 0 R cos θ = M 0 ⋅ R. 3 3
由此可见，铁球外的磁场是磁偶极子产生的场，磁 矩为
§3.2
磁标势
Magnetic scalar potential
由于 ∇ ⋅ B = 0 ，所以任何情况下都可以用矢势A描 述磁场，但解矢势的边值问题是比较复杂的。如果 能引入磁标势的话，问题将变得简单。
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一、引入磁标势的条件 我们考虑在某些条件下是否存在着引入标势的 可能性。 1. 不能引入磁标势的原因 由磁场环路定律得
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2. 磁荷的概念 静电场： D = ε 0 E + P 静磁场： B = µ 0 H + µ 0 M 与ρp = -∇⋅P 相对应
∇ ⋅ D = ρ 自由电荷
∇⋅B = 0
不存在自由磁荷。∇⋅B 为自由磁荷密度。
ρ m = −∇ ⋅ ( µ 0 M ) = − µ 0∇ ⋅ M
这就是（束缚）磁荷密度。
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注意： 磁偶极子受到外磁场Be的力和力矩，应根据势函数 来计算。磁偶极子在外场Be中的势函数为：
U = −m ⋅ Be
这式子和电偶极子在外场中的能量-p⋅E完全对应。 磁偶极子在外磁场中所受的力是
F = −∇U = ∇(m ⋅ Be ) = m × (∇ × Be ) + (m ⋅ ∇) Be
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二、磁标势的引入及其方程 1. 磁标势的引入 若对于求解区域内的任何闭合回路，都有
∫ H ⋅ dl = 0,
L
则 仿照 由
∇× H = 0 ∇× E = 0 ∇× H = 0
引入φ ， E = −∇ϕ
H = −∇ϕ m 引入φm ，
引入磁标势以后，也有零势点的选择问题，与 静电场的处理方法类似。
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特例：圆形载流线圈，圆面积ΔS=πR2 因此
二、磁偶极矩的场和磁标势 由A(1)可算出磁偶极矩的磁场
(1)
µ0 R B = ∇× A = ∇ × (m × 3 ) 4π R µ0 R R (∇ ⋅ 3 )m − (m ⋅ ∇) 3 = R 4π R
因为
R 2 1 ∇ ⋅ 3 = −∇ = 0 ( R ≠ 0) R R
= (m ⋅ ∇) Be
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磁偶极子所受的力矩为
∂ ∂ L=− U = mBe cos θ = −mBe sin θ ∂θ ∂θ 计及力矩的方向，得 L = m × B
电偶极子 磁偶极子
F = p ⋅ ∇E e
L = p×E
F = m ⋅ ∇Be
L = m×B
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磁偶极势形式上和电偶极势相似。
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三、小区域内电流分布在外磁场中的能量 设外磁场Be的矢势为Ae, 则J(x) 在外磁场中的相 互作用能量为：
W = ∫ J ⋅ Ae dV
载电流I 的线圈在外磁场中的能量为：
W = I ∫ Ae ⋅ dl = I ∫ Be ⋅ dS = IΦ e
L S
Φe为外磁场对线圈L的磁通量。
L
2. 引入磁标势的前提条件 对于求解区域内的任何闭合回路，都有
∫ H ⋅ dl = 0,
L
3
3. 实际问题的处理 (1) 空间中没有自由电流，全空间均可以引入磁标 势描述磁场。 (2) 空间中有自由电流， 则挖去电流及电流线所 围着的一个曲面 S ，在 剩下的空间中可以引入 磁标势。
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例如电磁铁，我们想求出两磁极间隙处的磁场， 在这个区域内也可以引入磁标势。 至于永磁体，它的磁场都是由分子电流激发的， 没有任何自由电流，因此永磁体的磁场甚至在空 间（包括磁铁内部）都可以用磁标势来描述。 总结起来，在某区域内能够引入磁标势的条件是 该区域内的任何回路都不被电流所链环，就是说 该区域是没有自由电流分布的单连通区域。
I 式中 m = ∫ x ′ × dl ′ 称为电流线圈的磁矩。 2
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因为
Idl ' → JdV '
所以磁矩为：
1 m = ∫ x ′ × J ( x ′)dV ′ 2
对于一个小线圈，设它所围的面元为△S ，有
1 ∆S = ∫ x ′ × dl ′ 2
所以
m = I∆S
ˆn m = IπR e
2
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§3 磁多极矩
本节研究空间局部范围内的电流分布所激发的磁场 在远处的展开式。与电多极矩对应，引入磁多极概 念，并讨论这种电流分布在外磁场中的能量问题。 1、矢势的多级展开 给定电流分布激发的磁场矢势为 µ 0 J ( x′)dV ′ A( x ) = 4π ∫ r 如果电流分布于小区域V内，而场点x又比较远， 可以把A(x)作多极展开。
n ⋅ (B2 − B1 ) = 0 → n ⋅ (µ 2 H 2 − µ1 H1 ) = 0
∴
µ1
∂ϕ m1 ∂n
= µ2
∂ϕ m2 ∂n
∂ϕ m1 ∂ϕ m 2 注意该式与 − = n ⋅ (M1 − M 2 ) 的异同。 ∂n ∂n
[例1] 证明μ→∞的磁性物质表面为等磁势面。 解: 以角标1代表磁性物质，2代表真空，由磁场边 界条件 n ⋅ (B2 − B1 ) = 0 ,
n × (H 2 − H1 ) = 0
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以及
B1 = µ1 H1
B2 = µ0 H 2
可得
µ 0 H 2 n = µH1n
H 2t = H1t ,
H 2t µ 0 H1t = →0 H 2 n µ H1n
两式相除得 式中n和t分别表示法向和切向分量。
因此，在该磁性物质外面，H2与表面垂直，因而 表面为等磁势面。
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取区域内某点O为坐标原点，把1/r的展开式得 µ0 1 1 A( x ) = J ( x ′)[ − x ′ ⋅ ∇ ∫ 4π R R ∂2 1 1 + ∑ xi′x′j + ⋅ ⋅ ⋅]dV ′ ∂xi ∂x j R 2! i , j
µ0 J ( x ′)dV ′ 则第一项为 A ( x ) = ∫ 4πR
(0)
由恒定电流的连续性，可把电流分为许多闭合的流管， 则
∫ J ( x′)dV ′ = ∫ Idl = I ∫ dl = 0
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I为在该流管内流过的电流。因此 A( 0 ) = 0，此式表示 磁场展开式不含磁单极项，即不含与点电荷对应的项
第二项为
µ0 1 ′ ′ ′ A =− J x x ( ) ⋅ ∇ d V 4π ∫ R
dm = IdS ′
磁偶极子的磁标势为
dm ⋅ r I r ⋅ dS ′ = dϕ m = 3 4πr 4π r 3 I = dΩ, 4π
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其中dΩ为面元dS’对场点x张开 的立体角。整个电流线圈产生的 磁标势为
I Ω, ϕm = 4π
Ω为线圈对场点x所长开的立体角 如图，若x点在线圈所围曲面的上方时，则Ω >0 ； 若x点在曲面下方，则Ω <0 。当x点跨越曲面时, Ω 有不连续值ΔΩ=4π，因此，用磁标势法描述电流 的磁场时，必须除去线圈所围的一个曲面。
µ1
µ2
∆l
n
ϕ m1
h
H1
ϕm2
H2
n ⋅ ( H 2 + M 2 ) = n ⋅ ( H1 + M1 )
σm ∂ϕ m1 ∂ϕ m 2 − = n ⋅ ( M1 − M 2 ) = ∂n ∂n µ0
σ m = µ 0 n ⋅ ( M1 − M 2 ) 为（束缚）磁荷面密度
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对于线性介质： B = µH
(1)
先就一个闭合线圈情形计算上式。若线圈电流为I， 有
µ0 I µ0 I 1 R A =− x ′ ⋅ ∇ dl ′ = x ′ ⋅ 3 dl ′ ∫ ∫ 4π 4π R R
(1)
在被积式中，R/R3为固定矢量，与积分变量无关。 x’为线圈上各点的坐标，因此
dx ′ = dl ′
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利用全微分绕闭合回路的线积分等于零
4πR m= M = MV 3 V为铁球的体积。 球内磁场是
3 0
1 H = −∇ϕ 2 = − M 0 , 3 2 B = µ0 ( H + M 0 ) = µ0 M 0 . 3
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例3 求电流线圈的磁标势。 解: 设电流线圈载有电流I，它可以看作线圈所围 的一个曲面上许多载电流I的小线圈组合而成。 设位于x点上的小线圈的面元为dS’，它的磁 矩为
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3. 与静电场的对比 静电场
∇× E = 0
静磁场
ρf + ρp ∇⋅ E = ε0 D = ε0E + P
ρm ∇⋅ H = µ0 B = µ0 (H + M )
H = −∇ϕ m
∇× H = 0
E = −∇ϕ e
ρf + ρp ∇ ϕe = − ε0 ρ p = −∇ ⋅ P
2
ρm ∇ ϕm = − µ0
(1)
µ0 R 所以 B = − (m ⋅ ∇) 3 4π R
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在电流分布以外的空间中，磁场应可以用标势描 述，因此再把上式化为磁标势的梯度形式。m为 常矢量，由附录（I.23式），
R R R ∇(m ⋅ 3 ) = m × (∇ × 3 ) + (m ⋅ ∇) 3 R R R R = (m ⋅ ∇) 3 R 所以 B (1) = − µ 0 ∇(m ⋅ R3 ) = − µ 0∇ϕ m 4π R m⋅R (1) ϕm = 4πR 3
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当R→∞时，φ 1→0 ，所以φ 1只含R负幂次项。
bn ϕ1 = ∑ n +1 Pn (cos θ ) n R
当R=0时，ϕ2为有限值，所以ϕ2只含R正次幂项。
ϕ 2 = ∑ an R P n (cos θ ).
n n
铁球表面边界条件为当R=R0 (R0为铁球半径)时，
ϕ1 = ϕ 2
∂ϕ1 ∂ϕ 2 − = n ⋅ ( M1 − M 2 ) = − M 0 cos θ ∂n ∂n
∫ H ⋅ dl = ∫ J ⋅ dS ,
L S
其中L为S的边界。如果回路L连环着电流，即 有电流穿过L所围曲面S，则
∫ H ⋅ dl ≠ 0,
L
2
在这种情况下H和力学中的非保守力场相似，因而 不能引入标势。 如果想引入磁标势，所研究的磁场必须与保守场相 似，即在求解区域内
∫ H ⋅ dl = 0,
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例2 求磁化矢量为M0的均匀磁化铁球产生的磁场。 解: 铁球内和铁球外两均匀区域。在铁球外没有磁荷。 在铁球内由于均匀磁化，则有
M = M0
ρ m = − µ 0∇ ⋅ M 0 = 0
因此磁荷只分布在铁球表面上。球外磁势φ1和 球内磁势φ 2 都满足拉普拉斯方程，即
∇ ϕ1 = 0,
2
∇ ϕ 2 = 0.
2
ρ m = − µ 0∇ ⋅ M
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4. 磁标势的边值关系： ∫ H ⋅ dl = 0 ⇒ ( H 2t − H1t )∆l = 0 ⇒ ϕ m1 = ϕ m 2 推导时已注意到：∆l >> h 又由 n ⋅ (B2 − B1 ) = 0 → B2 n = B1n 得
n ⋅ [µ 0 ( H 2 + M 2 ) − µ 0 ( H1 + M1 )] = 0
0 = ∫ d[( x ′ ⋅ R) x ′] = ∫ ( x ′ ⋅ R)dl ′ + ∫ (dl ′ ⋅ R) x ′
得到
1 ∫ ( x′ ⋅ R)dl ′ = 2 ∫ [( x′ ⋅ R)dl ′ − (dl ′ ⋅ R) x′]
A(1)可写为
A(1)
1 = ∫ ( x ′ × dl ′) × R 2 µ0 I µ0 m × R = ⋅ ∫ ( x ′ × dl ′) × R = 3 4πR 2 4πR 3
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(n + 1)b n n −1 = − P (cos θ ) na R ∑ ∑ n n 0 Pn (cos θ ) + M 0 P 1 (cos θ ) n+2 R0 n n
bn n P (cos θ ) na R = ∑ ∑ n 0P n (cos θ ). n +1 n n R0 n
比较Pn的系数，得