n阶行列式的定义

(1.1.5)
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31) a13 (a21a32 a22a31)
a11a22a33 a12a23a32 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33.
可见，计算三阶行列式时，可以先转化为二阶行列式 再计算.
(1.1.4)
同样可以利用消元法进行求解. 为了方便表示它的解，
我们定义三阶行列式及其展开式为：
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
(1)11
a11
a22 a32
a23 a33
(1)12 a12
a21 a31
a23 a33
(1)13 a13
a21 a31
a22 a32
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
这个符号称为二阶行列式，等式的右边称为二阶行列
式的展开式，数 aij (i 1,2; j 1,2) 称为该行列式的元素，每 个横排称为行列式的行，每个竖排称为行列式的列. aij
的右下角足标表示了元素 aij 在行列式中处在第 i 行第
.
目录
1.二阶行列式 2.三阶行列式 3.n阶行列式 4.小结
1. 二阶行列式
在初等数学中，常用加、减消元法或代入 消元法求解二元一次方程组
aa2111xx11
a12 a22
x2 x2
b1, b2 ,
(1.1.1)
其中， x1, x2 为未知数， a11, a12 , a21, a22 , b1, b2 为 已知常数，a11, a12, a21, a22 分别为 x1, x2 的系数， b1,b2 分别为常数项.
➢ 利用三阶行列式当然可以用来解三元一次方程组 (1-4).分别定义
a11 a12 a13
b1 a12 a13
D a21 a22 a23 , D1 b2 a22 a23 ,
a31 a32 a33
b3 a32 a33
a11 b1 a13
a11 a12 b1
D2 a21 b2 a23 , D3 a21 a22 b2 .
a22b1 a11a22
a12b2 a12 a21
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
a11b2 a11a22
a21b1 a12a21
(1.1.2)
为了方便记忆和表示，我们引入下列二阶行列式 的概念.
在方程组（1.1.1）中，把未知数 x1, x2 的系数相对 位置不变的写成二行二列的数表，两边用竖线标出， 并且规定这样的运算：
j 列的位置.
如果分别记
D a11 a21
a12 a22
,
D1
b1 b2
a12 a22
,
D2
a11 a21
b1 , b2
其中 D 为方程组(1.1.1)的系数行列式. 那么，方
程组的解(1.1.2)可以表示成
， x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2 a11a22
同理，在方程（1.1.1）的第 1 个方程两边同时乘以a21 , 第 2 个方程的两边同时乘以 a11 ，然后两边分别相减消 掉未知数 x1 ，得到
(a11a22 a12a21)x2 a11b2 a21b1 ,
如果 a11a22 a12a21 0 ，那么方程（1.1.1）就有唯一解：
， x1
a22
a2n
an1 an2 ann
称为 n 阶行列式，它等于某个按一定规则计算得到的
数.
当 n 1时， 当 n 2 时，
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
b1, b2 ,
(1.1.1)
利用加、减消元法的求解步骤是：在方 程（1.1.1）的第 1 个方程两边同时乘以a22 , 第 2 个方程的两边同时乘以 a12 ，然后两边分 别相减消掉未知数 x2 ，得到
. (a11a22 a12a21)x1 a22b1 a12b2
例 1.1.1 计算行列式
3 1 1 D 2 4 0
1 5 7
解 利用三阶行列式的展开式（1.1.5），得
D (1)11 3 4 0 (1)12 1 2 0 (1)13 (1) 2 4
57
1 7
1 5
3 (4 7 05) [27 0 (1)][25 4 (1)]
84 14 14 56.
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
.
(1.1.6)
显然，方程（1.1.1）、（1.1.4）有共同特点：方 程的个数和未知数的个数相等，它们的系数行列式都 不等于零.利用行列式计算它们的解(1.1.3)、(1.1.6) 非常简便，也容易记忆. 那么，对于方程的个数和未 知数的个数相等且都超过 3 的方程组，是否也有类似 的结果呢？那就需要认识更高阶的行列式的定义.
3. n阶行列式
从前面的讨论可以看到，利用低阶的行列式计算
高阶行列式可以化繁为简. 对于 n 阶行列式也可同样 讨论. 下面给出 n 阶行列式的递归法定义.
定义 1.1.1 将 n2 个数排列成 n 行 n 列的数表，并
在左、右两边各加一条竖线，记为 Dn ，即
a11 a12 a1n
Dn
a21
a31 b3 a33
a31 a32 b3
其中 D 为方程组(1.1.4)的系数行列式.我们可以观察
到， Di (i 1,2,3) 是系数行列式 D 中的第 i 列换成方程组
(1.1.4)中常数列的结果，而其他列不变.
➢利用消元法求解方程组(1.1.4)，在当 D 0 时有唯
一解，其解可以表示为：
x2
a11b2 a11a22
a21b1 a12a21
D2 D
.
(1.1.3)
思考：方程组的解(1.1.3)如何记忆？三元线性方 程组是否也有类似的公式？
2. 三阶行列式
与二元线性方程组的求解过程类似，对于三元线
性方程组
a11x1 a12 x2 a13x3 b1, a21x1 a22 x2 a23x3 b2 , a31x1 a32 x2 a33x3 b3
a21b1 a12a21
D2 D
.
(1.1.3)
由此可见，二元一次方程组的解可以通过二阶行
列式的计算求得，求解过程得到简化。
D a11 a21
a12 a22
, D1
b1 b2
a12 a22
, D2
a11 a21
b1 , b2
， x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D